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      立足母題 展開聯(lián)想

      2019-09-05 07:55:46谷一
      新高考·高二數(shù)學(xué) 2019年3期
      關(guān)鍵詞:引例半軸母題

      谷一

      進入高三以來,老師一直要求我們多做題、做好題、多思考、多聯(lián)想,能夠通過解一道題,聯(lián)想到多種方法和類似的題,有助于開拓我們的思維.

      前幾天老師布置我們做一道關(guān)于重心的題,題目是這樣的:

      如圖1,若點G為△ABC的重心,且AG⊥BG,則sin C的最大值為____.

      立即向老師匯報我的做法,老師很贊賞.卻又提出一個問題:從形的角度看,還有其他想法嗎?

      引例的幾何解法:

      如圖5,過A,B兩點作⊙M(當然可以作出無數(shù)個圓),若使得⊙M與x軸正半軸相切,則切點即為所求點C(可由平面幾何知識證明:∠ACB>∠ADB)!此時,由切割線定理可以得到:OC2=OA·OB,即x=√ab時取“=”!

      從引例我得到啟發(fā):本題不過是把引例中的x軸正半軸換成了⊙D而已,只需找出動⊙M與⊙D的切點即可!

      如圖6,過A,B兩點作⊙M,逐步增加其半徑,直至與⊙D內(nèi)切,顯然切點為AB中垂線與⊙D的交點Ci此時∠ACB取得最大值.(在⊙D上任選一異于點C的點N,連結(jié)AN交⊙D于點K,則∠ACB=∠AKB>∠ANB,即可證明)

      看了我的完整解答,老師笑了:“聯(lián)想是一種非常有效的解題方式,它不僅能夠幫助我們突破思維中的局限瓶頸,拓展思維,還可以提高思維靈活性與想象能力.”

      至此,我從幾個不同角度探究了本題的一些解法.這些,都是聯(lián)想得來的,在以后的數(shù)學(xué)解題中,我們應(yīng)仔細觀察題設(shè)條件中的細微之處,發(fā)掘題目的隱含條件,大膽聯(lián)想,從而找到解題的突破口,使得數(shù)學(xué)問題快速得解.

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