☉北京豐臺二中 甘志國
對于“基本初等函數(shù)”這個概念,一般是這樣定義的:
基本初等函數(shù)包括以下六類:
(1)常數(shù)函數(shù)y=c;
(2)冪函數(shù)y=xα;
(3)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1);
(4)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1);
(5)三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx;
(6)反三角函數(shù)y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx,y=arcsecx,y=arccscx.
初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合而成的函數(shù).
但筆者認為,基本初等函數(shù)的個數(shù)應盡可能的少,否則不能稱其為“基本”.事實上,在上述列舉的基本初等函數(shù)中,個數(shù)還可以減少.
①因為ax=e(lna)x,所以在“(3)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)”中,可得“指數(shù)函數(shù)y=ax可由y=eu,u=(lna)x(u是由常數(shù)函數(shù)y=lna及冪函數(shù)y=x相乘得到的)復合得到”.
因而可把“(3)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)”改為“(3)基本指數(shù)函數(shù)y=ex”(把y=ax(a>0,且a≠1)仍然叫做指數(shù)函數(shù)).
因而可把“(4)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)”改為“(4)基本對數(shù)函數(shù)y=lnx”(把y=logax(a>0,且a≠1)仍然叫做對數(shù)函數(shù)).
因而可把“(6)反三角函數(shù)y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx,y=arcsecx,y=arccscx改為“(6)反正弦函 數(shù)y=arcsinx”(把y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx,y=arcsecx,y=arccscx分別叫做反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)、反余切函數(shù)、反正割函數(shù)、反余割函數(shù),把它們及反正弦函數(shù)統(tǒng)稱為反三角函數(shù)).
綜上所述,筆者認為“基本初等函數(shù)”的定義應當是:
基本初等函數(shù)包括以下五個:
(1)冪函數(shù)y=xα;
(2)基本指數(shù)函數(shù)y=ex;
(3)基本對數(shù)函數(shù)y=lnx;
(4)正弦函數(shù)y=sinx;
(5)反正弦函數(shù)y=arcsinx.
初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合而成的函數(shù).
注:可能有讀者還有以下思考:
因為y=xα=elnxα=(eα)lnx,所以“冪函數(shù)y=xα是由指數(shù)函數(shù)y=(eα)u與基本對數(shù)函數(shù)u=lnx復合得到的”.所以應把“基本初等函數(shù)”定義中的“(1)冪函數(shù)y=xα”去掉.
實際上,這是不對的.因為當x>0時,才有y=xα=(eα)lnx,函數(shù)y=xα(x>0)是由指數(shù)函數(shù)y=(eα)u與基本對數(shù)函數(shù)u=lnx復合得到的;但當x≤0時,就不能這樣復合,并且在以上③的論述中,用到了“(2)冪函數(shù)y=xα(選α=2)”,所以在改動后的“基本初等函數(shù)”定義中,“(1)冪函數(shù)y=xα”不能去掉.