如何在解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維發(fā)展

☉甘肅省民樂縣職教中心學(xué)校 錢 沛

掌握數(shù)學(xué)即意味著解題者善于解決一些標(biāo)準(zhǔn)題以及一些要求獨(dú)立思考、思路合理、有發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的題.揭開“條件”和“結(jié)論”之間的內(nèi)在聯(lián)系，并從“已知”的探索中導(dǎo)出“未知”的結(jié)論就是解題，解題思路正是在運(yùn)用揭開手段以及探索技巧時(shí)的具體體現(xiàn).數(shù)學(xué)解題活動(dòng)，這一借助數(shù)學(xué)知識(shí)來分析問題、解決問題的思維活動(dòng)具有明顯的思維深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、廣闊性、敏捷性、批判性，數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的成果在數(shù)學(xué)解題方法的呈現(xiàn)中得到了具體的體現(xiàn).

筆者認(rèn)為，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的教學(xué)應(yīng)從如下幾個(gè)方面設(shè)計(jì)與落實(shí).

一、加強(qiáng)反思

學(xué)生對(duì)事物規(guī)律的認(rèn)識(shí)往往能在其思維的深刻性上表現(xiàn)出巨大的差異.學(xué)生思維的深刻性是其有效解題的重要基礎(chǔ).教師在具體的解題教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過程進(jìn)行積極地反思并因此促進(jìn)其思維深刻性的發(fā)展.

設(shè)u=x2-x，則

從結(jié)論上來看，這一解題過程明顯不對(duì)，但學(xué)生對(duì)于錯(cuò)在哪里卻始終摸不清頭腦.此時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其解題過程中的每一步進(jìn)行推理并重新思考.學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，解題時(shí)首先應(yīng)確定函數(shù)的定義域：（0，1）∪（1，2］.接著根據(jù)得出，當(dāng)u取最小值時(shí)y取得最大值，這是不夠嚴(yán)密的.因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域∪（0，2］上并不是單調(diào)遞減的，應(yīng)對(duì)其進(jìn)行分區(qū)間考慮才行，因此可得出函數(shù)的值域?yàn)楫?dāng)然，運(yùn)用判別式法求值域也是可行的.學(xué)生在解題反思中也獲得了思維深刻性的鍛煉與發(fā)展.

二、突破思維定式

解題能力在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中是思維的靈活性的具體表現(xiàn)，因此思維靈活性也是一種重要的思維品質(zhì)，學(xué)生一旦具備思維的靈活性就能夠在不同的解題思路中靈活轉(zhuǎn)化.學(xué)生形成思維定式的一般表現(xiàn)就是多次運(yùn)用同一思維方式對(duì)同一類問題進(jìn)行解題，在解題中一般都會(huì)作出習(xí)慣性的反應(yīng)，而且不作新的探討.思維定式在學(xué)生運(yùn)用同化的方式來發(fā)展其認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)時(shí)往往能夠表現(xiàn)出其積極作用的一面，教師在解題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生舉一反三實(shí)際上就是充分發(fā)揮思維定式的積極作用的具體操作.思維定式在學(xué)生運(yùn)用異化或調(diào)整的方式來發(fā)展其認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)時(shí)往往體現(xiàn)出其干擾作用的一面，教師此時(shí)應(yīng)幫助學(xué)生克服思維定式的負(fù)面效應(yīng)，并使其獲得思維靈活性的發(fā)展.

例如，試求拋物線y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo).

有學(xué)生在二次函數(shù)知識(shí)的影響下往往會(huì)立即得出焦點(diǎn)為F（0，1），這明顯不對(duì).這是在圓錐曲線的教學(xué)中出現(xiàn)的一題，學(xué)生的思維仍舊陷于二次函數(shù)的圖像中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生變換條件并將方程改寫為，進(jìn)而迅速地得出焦點(diǎn)為

由此可見，教師關(guān)注題目條件的變更能幫助學(xué)生克服思維定式帶來的負(fù)面影響，并令其思維靈活性得到發(fā)展.

三、打破思維常規(guī)

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中能夠獨(dú)立思考、分析、解決問題并具有探索與創(chuàng)新的精神即為其思維獨(dú)創(chuàng)性的表現(xiàn).事實(shí)上，很多學(xué)生在解題時(shí)都會(huì)受到傳統(tǒng)解法的約束并表現(xiàn)出不能接受違反“常規(guī)”的解法的思想，很多學(xué)生在各類題目中僅僅滿足于解題成功的快感，而在解題技巧、解法探索上不能進(jìn)行深刻的探索，解題速度緩慢也是普遍存在的弱點(diǎn).教師應(yīng)高度關(guān)注這些現(xiàn)象，以此引導(dǎo)學(xué)生對(duì)多種解法進(jìn)行思考和探索，幫助學(xué)生在多種方法嘗試解題的過程中總結(jié)簡(jiǎn)捷明快的解法，這也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力的有效手段.如果任由學(xué)生養(yǎng)成照本宣科、生搬硬套的解題習(xí)慣，定會(huì)令學(xué)生獲得題越做越死、思路越走越窄的學(xué)習(xí)感受，因此，教師在具體的教學(xué)過程中一定要幫助學(xué)生打破常規(guī)并使其思維的獨(dú)創(chuàng)性得到發(fā)展.

例如，利用一般解法求sin210°+sin250°+sin10°sin50°的值時(shí)，解法如下：

不過，教師如果能從三角函數(shù)的平方關(guān)系上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題的思考，就會(huì)有學(xué)生想到以下解法：

這種構(gòu)造對(duì)偶式求解的思路表現(xiàn)出了學(xué)生獨(dú)創(chuàng)性的解題思維.

四、優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)

引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)條件聯(lián)系的關(guān)節(jié)點(diǎn)上探索多種解題途徑能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.因此，教師應(yīng)不斷引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行多角度、多方位的思考并促進(jìn)學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的不斷優(yōu)化，使學(xué)生在不斷加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系的同時(shí)獲得思維廣闊性的發(fā)展.

例如，已知a2+b2=1，c2+d2=1，求證：|ac+bd|≤1.

這種從平方和的相等關(guān)系出發(fā)來探索乘積和的不等關(guān)系的題目對(duì)于解題者思維廣度的要求較高.大部分學(xué)生在證明此題時(shí)會(huì)運(yùn)用到比較法、綜合法和分析法.教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)式子的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行觀察并令其發(fā)掘題目中的隱含條件，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)散的同時(shí)令其獲得其他的證明方法.有學(xué)生在一定的觀察、分析和聯(lián)想之后獲得了三角函數(shù)的證明方法：

因?yàn)閍2+b2=1，c2+d2=1，因此可令a=sinα，b=cosα，c=cosβ，d=sinβ.

所以|ac+bd|=|sinαcosβ+cosαsinβ|=|sin（α+β）|.

因?yàn)閨sin（α+β）|≤1，所以|ac+bd|≤1.

學(xué)生的思路在這樣的訓(xùn)練中能夠得到有效的開拓，其學(xué)習(xí)興趣也會(huì)因此變得更加濃厚.

五、強(qiáng)化限時(shí)訓(xùn)練

學(xué)生思維的敏捷性一般表現(xiàn)在其運(yùn)算環(huán)節(jié)與推理過程的縮減上，高考對(duì)于學(xué)生全面掌握知識(shí)作出要求，對(duì)有限時(shí)間內(nèi)是否能夠迅速提取大腦所貯存的相關(guān)知識(shí)并加以綜合運(yùn)用也提出了要求.

聯(lián)想正弦函數(shù)的有界性|sinθ|≤1即可使問題得到迅速地解決.

教師在具體的解題教學(xué)中應(yīng)做到以下幾點(diǎn)來培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性：（1）幫助學(xué)生熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)與技能；（2）教會(huì)學(xué)生預(yù)先思考并引導(dǎo)學(xué)生在教師講授過程中獲得一定的思路，使學(xué)生能夠有效地提取大腦中所貯存的知識(shí)并將其運(yùn)用到具體的思維活動(dòng)中；（3）精心設(shè)計(jì)限時(shí)作業(yè)并使學(xué)生在層次合理的訓(xùn)練中提升作業(yè)效率.

六、加強(qiáng)錯(cuò)題教學(xué)

學(xué)生在解題中能夠嚴(yán)格估計(jì)思維材料并精細(xì)檢查思維過程能令其更加準(zhǔn)確地解題，這是學(xué)生在解題過程中的一種趨向與能力，具備較強(qiáng)批判性思維的學(xué)生往往能夠更好地發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤之處并尋得癥結(jié)所在，解題的正確率也會(huì)因此得到保證.

例如如下一題：已知a、b、c均不相等，且abc=0，a2=bc，b2=ac.求證：a+b+c=0.

參考答案如下：

證明：因?yàn)閍2=bc，b2=ac，所以a2-b2=bc-ac，即（a+b）·（a-b）=-c（a-b）.

又a≠b，所以a+b=-c，a+b+c=0.

有學(xué)生在推敲后發(fā)現(xiàn)：根據(jù)題設(shè)可以得出b、c同號(hào)且a、c同號(hào)，因此a、b、c同號(hào)，所以a+b+c≠0.跟題目要求證明的關(guān)系式相互矛盾.實(shí)際上，參考答案中體現(xiàn)出的推理并沒有錯(cuò)誤之處，只因?yàn)樵}本身是錯(cuò)誤的.

很多學(xué)生的數(shù)學(xué)思維都缺乏一定的批判性，這是教師在具體教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注的.

當(dāng)然，學(xué)生思維的發(fā)展不可能一蹴而就，教師在平日的教學(xué)中應(yīng)不斷加強(qiáng)引導(dǎo)并從上述各方面落實(shí)符合學(xué)生實(shí)際的具體教學(xué)，使學(xué)生的思維在有的放矢的針對(duì)性教學(xué)中獲得全面發(fā)展.