借題探究·著力策略·提升素養(yǎng)

劉振雄

一、問題的提出

孩子們的數(shù)學(xué)素質(zhì)是在解決一道道“好問題”的過程中發(fā)展起來的?！霸O(shè)計(jì)租船問題方案”是一道與生活實(shí)際緊密相連的、有現(xiàn)實(shí)意義的問題，也是一道經(jīng)典開放性的數(shù)學(xué)問題。在我們的教學(xué)中，孩子們對(duì)于解決這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題是否感興趣，會(huì)運(yùn)用怎么樣的解題策略，采用不同策略的學(xué)生人數(shù)各是多少，第一學(xué)段和第二學(xué)段學(xué)生的解題方法是否不同，這些問題并不十分清楚。為讓學(xué)生解決一個(gè)租船問題，試圖發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解題策略，了解學(xué)生對(duì)解決這個(gè)問題的感受，分析學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，從而調(diào)控我們的課堂教學(xué)，使其達(dá)到高效。

二、測(cè)試的問題、對(duì)象和過程

1.測(cè)試的問題

三（5）班同學(xué)去春游。要組織50名同學(xué)去劃船，大船每條可以坐6人，租金10元；小船可以坐4人，租金8元。如果你是領(lǐng)隊(duì)人，準(zhǔn)備怎樣租船？（請(qǐng)你把所有租船的方法都寫出來）

如果你完成了，請(qǐng)?zhí)顚懀?/p>

你能用 （ ）種方法，第 （ ）種方法你覺得最合理。

*你喜歡這樣的數(shù)學(xué)題嗎？ （請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)的括號(hào)里打√）

喜歡（ ） 不喜歡 （ ） 一般（ ）

*你覺得這道題難嗎？ （請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)的括號(hào)里打√）

很難（ ） 比較難 （ ） 不難（ ）

2.測(cè)試的對(duì)象

按照現(xiàn)行的北師大版教材，深圳市三年級(jí)以上的學(xué)生已經(jīng)學(xué)過整數(shù)的四則混合運(yùn)算：知道乘除法的有關(guān)應(yīng)用題的計(jì)算方法。因此，測(cè)試的對(duì)象隨機(jī)選擇了水庫小學(xué)的三四五年級(jí)各一個(gè)班。人數(shù)分別是50，52，54人，共計(jì)156人。年齡分布在8—11歲之間。

3.測(cè)試的過程

2018年11月8日下午，在學(xué)生不知情的情況下，由調(diào)查者組織進(jìn)行測(cè)試。不給學(xué)生任何的解題提示，教師也不用讀題，直接讓學(xué)生獨(dú)立作答。那么，學(xué)生在整個(gè)解題過程中，都是獨(dú)立完成的，不能相互交流，在這樣的過程中，基本反映出學(xué)生獨(dú)立解答這道經(jīng)典生活開放題的水平。三年級(jí)學(xué)生做題時(shí)間為15分鐘，四年級(jí)學(xué)生做題時(shí)間15分鐘，五年級(jí)學(xué)生做題時(shí)間為10分鐘。

三、測(cè)試結(jié)果及分析

1.三、四、五年級(jí)有85%以上的學(xué)生至少能用一種方法解答這個(gè)問題，12%左右的學(xué)生不能解決這個(gè)問題。在對(duì)學(xué)生的解題試卷批改過程中，我們發(fā)現(xiàn)：三-五年級(jí)的學(xué)生用正確方法解答的比例是：三年級(jí)43人，占86%；四年級(jí)45人，占86.5%；五年級(jí)49人，占91%。從數(shù)據(jù)說明這個(gè)年段的學(xué)生絕大多數(shù)有基本的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用已有的能力獨(dú)立地解決問題，并可以找出至少一種解決問題的方法。

三、四、五年級(jí)分別有14%（7人），23.5%（7人），9%（5人）的學(xué)生不能解決這個(gè)問題。分析學(xué)生全錯(cuò)的原因有：

①有個(gè)別學(xué)生題意不清，理解能力較差。如：題目問“怎樣租船？”學(xué)生卻回答大船每條可以坐7，10，9，8人，小船可以坐3，5，2，7人，與已知條件“大船每條坐6人，小船每條坐4入”相違背，不理解題的意思。

②沒能將數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活相結(jié)合

如，三年級(jí)某學(xué)生A，設(shè)計(jì)小船0條，大船8條，總計(jì)80元，而題目是“組織50人去劃船，大船每條可以坐6人”，照這名學(xué)生的安排，尚有2人無法上船。

四年級(jí)某學(xué)生B，大船：50×6×lO=300×lO=3000（元）；小船：50×4×8=200×8=1600（元），按此題意是一人坐一條大船或一人坐一條小船，這也不符合實(shí)際，可見這些學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)，只能答題，不能解決生活中遇到的數(shù)學(xué)問題。

③ 對(duì)題意不夠理解，出現(xiàn)簡(jiǎn)單算錯(cuò)的問題

如，四年級(jí)學(xué)生C： =5（條）……lO（人）答：大船1條，小船5條。三年級(jí)學(xué)生D：2×6=12（人），20元，50-12=48（人）， =12（人），32元，20+32=52（元），答：我要準(zhǔn)備4條小船，2條大船共52元。這些都是在計(jì)算上出了問題。

2.三、四、五年級(jí)學(xué)生正確解題方法的數(shù)量存在著一定的差異

在小學(xué)三-五年級(jí)中，一些學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)思維，善于思考，給出多種租船方案。有些學(xué)生卻只能給出單一的方案，不同年級(jí)之間給出不同方案的數(shù)量也不一樣，如下圖。

數(shù)據(jù)可以反映出：同一一做題時(shí)間（15分鐘），三年級(jí)正確解題方法數(shù)量少于四年級(jí)：不同做題時(shí)間，三年級(jí)正確解題方法數(shù)量還是少于五年級(jí)（9分鐘）。三年級(jí)學(xué)生的解題策略與四、五年級(jí)相比要單一些，往往只會(huì)從比較單一的角度去思考問題。能用5種或5種以上的方法解答的三年級(jí)學(xué)生約占5 3%，四年級(jí)學(xué)生約占42 1%，五年級(jí)學(xué)生約占10%。說明三、四年級(jí)學(xué)生思維多樣性比例相差較大，可以肯定這是兩個(gè)不同的發(fā)展水平階段。四年級(jí)平均每人解題方法的數(shù)量為3 3種，五年級(jí)是2.6種，四年級(jí)用5種或5種方法以上的百分比比五年級(jí)高22%，可以發(fā)現(xiàn)，不同做題時(shí)間能影響四、五年級(jí)之間的解題數(shù)量，因此，這兩個(gè)年級(jí)思維相差不大。

3.四、五年級(jí)學(xué)生思維已具靈活性，解題策略呈現(xiàn)多樣性

在有1種或1種以上的解答方法的137人中，出現(xiàn)了以上10種不同的方法，體現(xiàn)學(xué)生獨(dú)立解決問題是具有個(gè)性的。其中使用方法5的學(xué)生占了70.1%，可見較多學(xué)生的解題策略是從已知條件中的數(shù)字角度去考慮，如6×5=30（人），4×5=20（人）或 =10（人），正好除盡，說明絕大多數(shù)的學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，更側(cè)重對(duì)已知條件數(shù)是否剛好計(jì)算來考慮，而不是對(duì)整個(gè)題意的理解。同理，使用方法3、方法7的學(xué)生分別占了55.2%，59.7%，也都是剛好坐滿，沒有多余的座位，這是一種思維定勢(shì)（平時(shí)“數(shù)學(xué)題”計(jì)算大多是正好的）。其他的方法使用次數(shù)在10.4%至17.9%之間，這個(gè)數(shù)據(jù)表明，少數(shù)學(xué)生考慮問題思路開闊，思維靈活，但從總體上看，學(xué)生的思維變通性很弱。這樣的思維水平值得老師注意和反思。

“先猜后推”型。學(xué)生先從其中的一種方法入手，然后進(jìn)行有序推導(dǎo)，計(jì)算出其他方法。如一名三年級(jí)學(xué)生的解答：

①[猜]6×7=42（人），50-42=8（人），8÷4=2（只）。答：大船租7只，小船租2只。

②[推]6×6=36（人），50-36=14（人），14÷4=3（只）......2（人）。答：大船租6只，小船租4只，由此推導(dǎo)出③，④，⑤，⑥，⑦種。采用這種策略的三年級(jí)學(xué)生有5人，占10%，四年級(jí)學(xué)生有2人，占3.8%，五年級(jí)學(xué)生有10人，占18.5%。采用此種方法的學(xué)生一般都能找到4～8種方法，正確率較高。

“列表”型。采用列表格的形式設(shè)計(jì)方案，有序，簡(jiǎn)潔，清晰。采用這種策略的四年級(jí)學(xué)生有30人，占57.7%，五年級(jí)學(xué)生有2人，占3.7%。這是一種系列性策略，思維有序，條理清晰。采用這種策略的學(xué)生都能用7～10種方法解決問題，是最多的。通過訪談四年級(jí)學(xué)生，得知許多學(xué)生已經(jīng)做過這樣的題目，所以能很快找出多種方法。

4.各年級(jí)學(xué)生關(guān)注解決問題合理性的認(rèn)識(shí)不夠。

從上表可以看出，學(xué)生對(duì)方法合理性的認(rèn)識(shí)角度是不同的，出現(xiàn)了6種情況，其中認(rèn)為方法3合理的學(xué)生占28.47%，說明這一小部分學(xué)生是從省錢的角度去考慮的。認(rèn)為方法5合理的學(xué)生占25.5%，這一小部分學(xué)生是從大船、小船數(shù)量同樣多就合理的角度去思考的。

數(shù)學(xué)中有沒有相對(duì)優(yōu)化的東西，筆者認(rèn)為肯定是有的，而且數(shù)學(xué)本身肯定也是要追求優(yōu)化的。這一道經(jīng)典開放題——“租船問題”，從省錢角度去考慮，對(duì)第三種方法，我們又作了進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)，見表4。

如果要考慮省錢的因素，那么第三種方案比較好。使用這種方法的學(xué)生中，三年級(jí)占56%，四年級(jí)占28%，五年級(jí)占54%。使用了這種方法并認(rèn)為合理的學(xué)生中，三年級(jí)占28%，四年級(jí)占20%，五年級(jí)占40%?？梢妼W(xué)生從經(jīng)濟(jì)方面考慮合理性能力還不夠，只有一小部分學(xué)生有這方面的合理應(yīng)用意識(shí)。例如，一名四年級(jí)學(xué)生設(shè)計(jì)：大船30只，小船20只，共用460元，就不符合實(shí)際，不合理。

5.題目的難易程度

基于學(xué)生對(duì)題目的難易有一種直接感受心理，筆者在測(cè)試卷最后設(shè)計(jì)了一些選項(xiàng)，如此調(diào)查學(xué)生對(duì)于解決問題的真實(shí)感受。據(jù)此，也可以窺見學(xué)生對(duì)開放題的心理接受度，調(diào)查結(jié)果見表5。

由表5可看出：三年級(jí)喜歡這道經(jīng)典開放題的學(xué)生比例明顯高于四、五年級(jí)，三年級(jí)認(rèn)定此題的難度也同樣高于四、五年級(jí)學(xué)生，有82%的三年級(jí)學(xué)生喜歡這道題，認(rèn)為很難或比較難的占了55%。所以，筆者認(rèn)為，這道租船開放題，對(duì)三年級(jí)學(xué)生來說有一定的難度，雖有86%的學(xué)生至少能用一種方法做題，但要求解題呈現(xiàn)多樣性有難度。相對(duì)于四、五年級(jí)學(xué)生來說，此題對(duì)三年級(jí)學(xué)生更有挑戰(zhàn)性，比較適合三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)。

由于這是一道開放性的問題，學(xué)生在解題時(shí)入手很容易，所以有一半的學(xué)生認(rèn)為題目比較容易，覺得“把所有租船的方法都寫出來”比較難，如果，不深入有序思考，是很難有10種方法的。通過訪談全對(duì)的那名學(xué)生得知，他都是用“列表法”設(shè)計(jì)出10種方法的，這樣的問題，他以前在數(shù)學(xué)‘‘思維興趣班” 中已經(jīng)做過，所以很容易。從這個(gè)意義上說，這道題如果不是有個(gè)別學(xué)生學(xué)過，很可能沒有一個(gè)會(huì)設(shè)計(jì)出10種方法。所以，四、五年級(jí)認(rèn)為很難和比較難的學(xué)生占52%和40%。平時(shí)教師在教學(xué)中，應(yīng)該重視學(xué)生對(duì)策略認(rèn)知的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)有序思考的思維，養(yǎng)成好的習(xí)慣。

四、通過“租船問題”的測(cè)試和分析，筆者得到以下幾點(diǎn)教學(xué)體會(huì)

1.三、四、五年級(jí)學(xué)生已初步建立數(shù)感，能聯(lián)系身邊具體、有趣的事物進(jìn)行估算。所以在設(shè)計(jì)問題時(shí)，要適當(dāng)選擇數(shù)的大小，不要用太容易口算的數(shù)，使學(xué)生只看數(shù)的大小，而不去理解題意。

2.多讀題，加強(qiáng)對(duì)題意的正確理解。多個(gè)已知條件下，學(xué)會(huì)科學(xué)選擇。教會(huì) 學(xué)生分析題目的策略：一抓、二列、三找、四補(bǔ)。第一，抓題目的問題；第二，根據(jù)問題列出主要的數(shù)量關(guān)系式；第三，找已知與中間問題；第四，解決中間問題。實(shí)現(xiàn)2011版數(shù)學(xué)新課標(biāo)提出的課堂從原來的“兩基”到“四基”中新增加的“基本方法”與“基本思想”的滲透與落實(shí)。

3.要重視培養(yǎng)學(xué)生估算、猜測(cè)的意識(shí)和能力。列表法是數(shù)學(xué)中最常用的解決問題策略，在課堂教學(xué)中我們要舍得花時(shí)間有意識(shí)滲透教授學(xué)生此法的運(yùn)用。

4.小學(xué)生喜歡被表揚(yáng)，教師應(yīng)該在他們解答問題時(shí)多鼓勵(lì)，尊重學(xué)生的差異性，并肯定每一種解題表達(dá)形式，讓他們敢于思考、敢于表達(dá)。教學(xué)要具有靈活性，不要把老師或成人的思維方式去影響學(xué)生的思維能力，老師要給學(xué)生一個(gè)獨(dú)立思考的思維空間及其創(chuàng)新思維能力。

5.從以前的經(jīng)驗(yàn)我們知道，這道題在教學(xué)過程中面臨尷尬：思考過程步驟多；數(shù)學(xué)技能要求高；經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備不充分等。數(shù)學(xué)教學(xué)中要時(shí)時(shí)考慮數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際聯(lián)系，這不僅有利于學(xué)生活學(xué)活用，還有利于達(dá)成數(shù)學(xué)教育的目的，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。