佘海艷

2019年高考全國Ⅰ卷理科數(shù)學卷整體設計靈活，注重對學生數(shù)學思維的考查和應用能力的培養(yǎng)。在試題排列順序上，依然是由易到難，循序漸進，但是主觀題的難易程度和順序也做出了一定的調(diào)整，打破了過去將函數(shù)與導數(shù)作為壓軸題的慣例，最后一個選做題也著重考查了消元的數(shù)學思想方法和數(shù)學運算，這樣有助于考查考生靈活應變的能力，有助于學生在全面掌握和學習重點知識的前提下，綜合考查應用能力和數(shù)學思維方法，特別注重考查數(shù)學抽象和數(shù)學應用的學科素養(yǎng)。本套試卷設置的情境真實，貼近生活，而且有深厚的文化底蘊，體現(xiàn)了數(shù)學的方法和思想在解決問題中的價值和作用，促進了對學生的素質(zhì)教育和全面發(fā)展的要求。考完就有學生討論極坐標與參數(shù)方程的計算問題，下面就第22題選做題談談筆者的幾種做法和思考。

22.[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）

在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程

為（t為參數(shù)）。以坐標原點為極點，將軸正半軸作為極軸建立極坐標系，則直線的極坐標方程為。

（1）求和的直角坐標方程;（2）求上的點到距離的最小值。

試題分析：本題注重考查對曲線的參數(shù)方程的理解和轉(zhuǎn)化，看到已知條件學生不能很快計算出來，原因是對消元和方程的思想理解不到位，感覺無從下手，導致失分。我們可以通過參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到圓錐曲線的結(jié)構(gòu)都有平方，則想到兩邊平方消元，或者通過類比三角函數(shù)的萬能公式想到三角消元，先觀察式子變形，說不定就會有柳暗花明，眼前一亮的靈感。

解法一：平方消元法

解：（1）因為，先得到的范圍，且，所以C的直角坐標方程為.的直角坐標方程為.

解法二：分離常數(shù)，代入消元法

解：（1）觀察兩個等式的結(jié)構(gòu)特征，分母相同，可以先將分離常數(shù)，再兩式相除得到，代入消元如下：，

將代入?yún)?shù)方程，化簡可得

解法三：分離常數(shù)，平方消元法

解：同解法二，可得觀察的形式，可以變形為兩邊平方，化簡可得

拓展延伸：由完全平方公式可以聯(lián)想到為常數(shù)，所以將式變形為，再將得，這兩式平方作差，化簡可得

解法四：三角消元法

解：通過觀察參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特點，分子與分母都有平方，類比圓錐曲線的萬能公式，可以進行弦化切，用三角消元法，可以設，并由萬能公式可得，，則由三角換元可得，所以C的直角坐標方程為。

反思總結(jié)：對于參數(shù)方程的消元法，其實在選修4-4教材第25頁例3和例4方程的互化中就有要求，因此在實踐教學中，我們應該回歸教材，引導學生理解消元的原理并掌握數(shù)學思想方法，例如：求參數(shù)方程為（t為參數(shù)）的曲線C的普通方程。消元法是高中數(shù)學學習的一個重要思維方法，在本節(jié)課后習題4，也主要強化訓練了消元的思想，進行直角坐標方程與參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化，特別要注意變量的取值范圍，這也是學生的易錯點。本題解析如下：解：∵參數(shù)方程為（t為參數(shù)），∴，代入第二個等式，得y=1-2（x-1）=-2x+3，（）即，（）。

以此類推，求雙曲線和拋物線的參數(shù)方程也可以通過消元法得到普通方程，那么能否得到一種通用的參數(shù)方程表示圓錐曲線呢？如果能讓學生總結(jié)一些通法，對于學生的理解和知識遷移有很大幫助，能更好地培養(yǎng)數(shù)學應用能力。

接下來看第（2）問，由（1）可設C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，-π-π）。

C上的點到的距離為。當時，取得最小值7，故C上的點到距離的最小值為。

試題分析：第（2）問主要考查橢圓的參數(shù)方程的應用，可以借助草圖先形成大概印象，再用解析幾何的方法表示成三角函數(shù)，很快求出距離、弦長或面積的最值。在近幾年的高考題中除了參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值還考查用極坐標方程，求得曲線與直線交點的極坐標，由極徑的概念將弦長轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值問題，也是這種問題的變式，具體以一個高考題為例。

變式 （2015高考新課標Ⅱ） 在直角坐標系中，曲線（為參數(shù)，），其中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線，曲線.

（Ⅰ）.求與交點的直角坐標;

（Ⅱ）.若與相交于點，與相交于點，求的最大值。

解：（Ⅱ）曲線的極坐標方程為，其中。因此得到極坐標為，的極坐標為。所以，當時，取得最大值為4。

反思總結(jié)：主要考查極坐標方程和直角坐標方程的轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)化化歸的思想求三角函數(shù)的最值。先將曲線與的極坐標方程化為直角坐標方程，再聯(lián)立方程組求交點的直角坐標，第2問分別聯(lián)立與和與的極坐標方程，可以求得，的極坐標，再由兩點間舉例公式將表示，從而可以把距離問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值問題處理，近幾年的高考試題很重視對極坐標和極徑概念的理解，建議復習時要避免把所有的已知條件都化為直角坐標，學生也很容易忽略變量范圍。這道選做題也給我們教師教學提供了參考和啟示，平時課堂教學要回歸教材，掌握通性通法，引導學生學會分析問題，解決問題，提高數(shù)學運算的技巧和能力，將不熟悉的形式靈活轉(zhuǎn)換為熟悉的結(jié)構(gòu)形式，從而能很好地應用數(shù)學思維解決問題。