分?jǐn)?shù)延時濾波器設(shè)計與研究

徐 宇，安 濤，楊祎綪

(中國船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

分?jǐn)?shù)延時濾波器是指一種可以延時分?jǐn)?shù)個采樣間隔的數(shù)字濾波器。在雷達(dá)對抗領(lǐng)域，主要用于相控陣?yán)走_(dá)接收端和數(shù)字多波束干擾機(jī)發(fā)射端的相位延時控制。常用的分?jǐn)?shù)延時設(shè)計方法有2種：第1種是通過把數(shù)字信號轉(zhuǎn)變成帶寬受限的連續(xù)信號，再進(jìn)行精確延遲后重新采樣；第2種方法是通過設(shè)計有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器使得濾波器在整個有效帶寬內(nèi)的幅度響應(yīng)為1，并且在相位上有理想分?jǐn)?shù)延時特性[1]，本文是研究的后一種方法。

1 數(shù)字波束形成原理

數(shù)字波束形成技術(shù)是通過數(shù)字技術(shù)實現(xiàn)波束形成，如圖1所示，廣泛應(yīng)用于電子對抗、相控陣?yán)走_(dá)和通信領(lǐng)域。為了獲得高距離分辨率、低旁瓣的能力，相控陣?yán)走_(dá)必須要擁有大的瞬時帶寬。對于傳統(tǒng)的寬帶數(shù)字陣?yán)走_(dá)，傳統(tǒng)的波束形成方法經(jīng)常會引起主瓣寬度變寬，天線波束掃描不準(zhǔn)，這是因為傳統(tǒng)的波束形成網(wǎng)絡(luò)里面的延時精度不準(zhǔn)，做不到精確補償引起的，這就需要引入分?jǐn)?shù)延時濾波器。

圖1 寬帶陣列數(shù)字波束形成結(jié)構(gòu)

常見的寬帶雷達(dá)信號是經(jīng)過載波調(diào)制的脈沖，可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為：

(1)

(2)

(3)

其基帶形式為：

(4)

比較式(2)和(4)，可以發(fā)現(xiàn)，對式(4)第2項進(jìn)行數(shù)字移相、第3項進(jìn)行時延補償，就能使各陣元信號同相疊加，在預(yù)期的方向上波束形成。第k個陣元上的時延τk為：

(5)

采樣周期為T時，補償?shù)趉個陣元的時延是：

(6)

2 分?jǐn)?shù)延時設(shè)計方法

一般對于輸入信號x(t)進(jìn)行時延D，得到輸出信號：

y(t)=x(t-D)

(7)

對于采樣周期為T的離散信號有：

(8)

hd(n)=sinc(n-d)

(9)

式中：hd(n)為理想響應(yīng)的分?jǐn)?shù)延時濾波器。

由于延時數(shù)d通常不是一個整數(shù)，hd(n)往往會是一個非因果的系統(tǒng)。設(shè)Hd(ejω)為期望的頻率響應(yīng)，有：

(10)

分?jǐn)?shù)延時濾波器的目的是尋找有限長度的h(n)去逼近理想的hd(n)。這里引入頻域誤差函數(shù)去決定h(n)的系數(shù)：

E(ejω)=H(ejω)-Hd(ejω)

(11)

由上面的誤差函數(shù)可以看出，要使得實際的頻率響應(yīng)越接近理想的頻率響應(yīng)，那么E(ejω)就得越小。通過這種方法求解的均方誤差如下：

(12)

根據(jù)Parseval定理可以得到時域的表達(dá)式：

(13)

從上式可以看出要使均方誤差最小，h(n)得等于hd(n)。在均方誤差的準(zhǔn)則中，理想的無限長沖擊響應(yīng)最有效和最簡單的逼近方法是截斷。因此，有限長的沖擊響應(yīng)濾波器可以表示為：

h(n)=hd(n)，M≤n≤M+N

(14)

即：

(15)

式中：M為沖擊響應(yīng)的第1個非零值的下標(biāo)，為了滿足因果系統(tǒng)，M的值需要大于0。

一般情況下設(shè)計一個低通的(0～απ)FIR濾波器，則有：

(16)

2.1 窗函數(shù)法

通常直接截斷的sinc函數(shù)會產(chǎn)生吉布斯效應(yīng)，設(shè)計出來的分?jǐn)?shù)延時濾波器往往達(dá)不到期望的要求。窗函數(shù)法能夠有效地改善吉布斯效應(yīng)。窗函數(shù)法的實質(zhì)是對時域的加權(quán)：

h(n)=w(n)*hd(n)

(17)

(18)

通常使用的窗函數(shù)有切比雪夫窗或者海明窗。此方法不但可以體現(xiàn)脈沖響應(yīng)的中間值，還能減小峰值幅度誤差。采取加窗法設(shè)計分?jǐn)?shù)延時濾波器的對理想響應(yīng)的逼近程度取決于窗函數(shù)頻率響應(yīng)的主瓣寬度和旁瓣幅度的尖峰值[2]。理想狀態(tài)下窗函數(shù)主瓣窄，旁瓣幅度低，但是由于選取的窗長度固定，很難達(dá)到理想狀態(tài)。一般情況下，隨著窗長度L的增加，主瓣寬度會隨之減小，而副瓣的幅度是由窗函數(shù)的形狀決定的，與窗的長度無關(guān)。

2.2 復(fù)頻響應(yīng)法

窗函數(shù)法是在時域上去逼近理想分?jǐn)?shù)延時濾波器，同樣可以通過對頻域誤差函數(shù)加權(quán)去逼近。原則上只需要關(guān)注帶寬內(nèi)的誤差，因此只需要定義低通頻率的帶寬，從而得到誤差公式：

(19)

這里令濾波器的系數(shù)矩陣和離散傅里葉變換的因子矩陣為：

(20)

(21)

令:

C=Re{eeH}=

(22)

那么誤差公式可以簡化為：

E2=hTPh-2hTP1+p0

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

要使誤差達(dá)到最小，即E2對h求導(dǎo)使其等于0，得到：

2Ph=2P1=0

(29)

求得濾波器系數(shù)矩陣為：

h=P-1P1

(30)

此方法計算濾波器系數(shù)要求積分，復(fù)雜度與線性方程的個數(shù)成3次方正比，計算的代價比上面的方法大很多。

2.3 可變延時參數(shù)的Farrow結(jié)構(gòu)法

上面的2種方法都是固定延時參數(shù)，而Farrow結(jié)構(gòu)可以連續(xù)不斷地控制分?jǐn)?shù)延時。這種方法是先計算好原型濾波器的系數(shù)，再用最小二乘曲線去擬合這個曲線。每個系數(shù)都是延時值d的Q階多項式，d的范圍是0～1，則：

(31)

那么濾波器的傳播函數(shù)可以表示為：

(32)

從上式可以看出，濾波器系數(shù)可以用幾個固定長度的濾波器以并行方式，通過延時d的冪指數(shù)來產(chǎn)生。

圖2 Farrow結(jié)構(gòu)濾波器實現(xiàn)圖

由圖2可知，F(xiàn)arrow結(jié)構(gòu)由M組N階FIR濾波器構(gòu)成，其中虛線框圖中具體畫出了第M組N階FIR濾波器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，其余M-1組N階FIR濾波器的實現(xiàn)方式與之相同。Farrow結(jié)構(gòu)所需要的濾波器階數(shù)遠(yuǎn)大于前2種濾波器結(jié)構(gòu)，運算量很大，它的優(yōu)點是當(dāng)時延變化時，僅改變時延參數(shù)D，就可以獲得不同的分?jǐn)?shù)時延，不用重新加載系數(shù)，節(jié)省了存儲空間，降低了硬件實現(xiàn)的復(fù)雜度。

3 仿真分析

這一小節(jié)對上文中的幾種方法進(jìn)行了仿真分析，對不同方法設(shè)計相同的濾波器階數(shù)和歸一化頻率，分析分?jǐn)?shù)延時濾波器幅度頻率響應(yīng)和相位延時響應(yīng)特性。

在仿真過程中，4種方法都選擇設(shè)計階數(shù)為16階的分?jǐn)?shù)延時濾波器，有效帶寬的歸一化頻率為0.8π，其中Farrow結(jié)構(gòu)的濾波器系數(shù)曲線通過擬合的復(fù)頻響應(yīng)法計算出來。圖3是4種方法的幅度頻率響應(yīng)圖，分?jǐn)?shù)延時濾波器實現(xiàn)的是數(shù)字時延，因此其幅度響應(yīng)特性在線性時延帶寬中應(yīng)該與全通濾波器一致，即濾波器的幅度頻率響應(yīng)應(yīng)該為1。從圖中可以看出，簡單的截斷不加窗函數(shù)的方法在通帶和阻帶在1附近有較大的波動，吉布斯現(xiàn)象明顯，而通過添加切比雪夫窗可以明顯改善吉布斯效應(yīng)，在整個有效帶寬內(nèi)獲得的幅度基本為1。復(fù)頻響應(yīng)法相比于切比雪夫窗函數(shù)法，有效帶寬更加寬，過渡帶更窄；而通過Farrow結(jié)構(gòu)去擬合的方法，可以發(fā)現(xiàn)幅頻特性基本一致。

圖3 幅度頻率響應(yīng)圖

圖4是4種方法的延時響應(yīng)曲線圖，本文選取16階的分?jǐn)?shù)延時濾波器理論值為7.4個采樣周期。從圖中可以看出，不加窗直接截斷的相位延時特性在有效帶寬內(nèi)比較差，上下浮動接近0.1個采樣周期，而簡單的加切比雪夫窗后，得出的相位延時在通帶內(nèi)只有0.02個采樣周期的誤差。復(fù)頻響應(yīng)法雖然計算特別復(fù)雜，但是得到的效果最好，基本與理想曲線一致。Farrow結(jié)構(gòu)法的相位延時特性同樣能夠接近復(fù)頻響應(yīng)法的相位延時特性。

圖4 群延時響應(yīng)圖

4 結(jié)束語

本文闡述了數(shù)字波束形成原理，并對分?jǐn)?shù)延時濾波器進(jìn)行了多種算法的推導(dǎo)和仿真，對比它們的性能。分?jǐn)?shù)延時濾波器是數(shù)字波束形成技術(shù)中的核心，能夠應(yīng)用于同時多波束干擾機(jī)，解決以前干擾多部目標(biāo)需要分時干擾和分子陣同時干擾的功率不足問題。