把握基本模型，搞定復雜問題

王森林

在解決實際問題時，需要從實際情境中抽象出數(shù)學問題，并建立數(shù)學模型去解決.數(shù)學模型思想就是將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題類型，所以掌握好已經(jīng)解決了的問題類型，有利于我們解決更復雜問題.進入高一以來，我們學了一些基本模型，如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型，還有概率模型（古典概型和幾何概型）、三角函數(shù)模型等等，今后還會學習到更多的數(shù)學模型.只要熟練掌握這些基本模型，我們的思維能力就會得到提升.

例1 設以為實數(shù)，求函數(shù)f（x）=a√1-x2+√1+x+√1-x的最大值g（a）.

解析 起初看到這個題我們可能無從下手，有3個根號，去根號只能平方，但一平方，表達式就會變得很復雜.但仔細審題后，發(fā)現(xiàn)第一個根號中的代數(shù)式恰為后面兩個根號中代數(shù)式的乘積.到了這里，請你想一想，以前是否遇到過類似問題（表達式的結構上）.在三角的學習中曾經(jīng)遇到一類這樣的問題：求函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.此時，我們利

用同角三角函數(shù)中的平方關系令sinx+cosx=t，得sinxcosx=t2-1/2，而將一個三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)問題.如果你深刻理解這類問題的解題思路和思維方法，也就在你的頭腦當中形成了一種數(shù)學模型，有了這種模型，例1就迎刃而解了，后面的解題過程請你試一試.

例2 已知向量a，b滿足|a|=a，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是___ ，最大值是____.

解析 思路1：審題發(fā)現(xiàn)條件中有a+b和a-b，它們是向量a，b的和向量以及差向量，聯(lián)想到平行四邊形法則和三角形法則，你的思路中自然就開始建立幾何模型.由于|a|=1，|b|=2，你可能會聯(lián)想到兩個同心網(wǎng)，但事實上a，b的位置是相對而言的，不妨讓一個不動，而另一個運動，如圖1，令a=OA，b=OB，其中OB固定不動，則|a+b|和|a-b|是以|a|，|b|為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線，|a+b|2 +|a-b|2=2（|a|2+|b|2）=1O，A是以O為圓心的單位網(wǎng)上的一動點，構造兩個全等的平行四邊形AOBD，平行四邊形ECOA.所以|a+b|+|a-b|=|AB|+|AC|.易知當A，B，C三點共線時，|AB|+|AC|最小，此時|AB|+|AC|=|BC|=4;當AO⊥BC時，|AB|+|AC|最大，此時|AB|+|AC|=2|AB|= 2√5.

思路2：已知條件中有a，b的模，可以根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，其中只有夾角是未知的，所以可以設夾角θ為變量，建立關于θ的三角函數(shù)模型.

（|a+b|+|a-b|）2=|a+b|2+|a-b|2+2|a+b||a-b|=2（|a|2 +|b|2） +2√a2+b2+2|a||b|cosθ√a2+b2-2|a||b|cosθ=10+2√5+4cosθ√+-4cosθ=10+2√25-16cos2θ（θ是向量a，6的夾角）.

所以當COS2θ=1時，|a+b|+|a-b|取得最小值4;當COS2θ=0時，|a+b|+|a-b|取得最大值2√5.

例3 如圖2所示，在同一個平面內(nèi)，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，√2，OA與OC的夾角為α，且tanα=7，OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB（m，n∈R），則m+n=____.

解析 思路1：根據(jù)已知條件可以建立坐標系，把向量用坐標來表示，再由平面向量基本定理，建立方程模型.如圖3所示，以OA所在的直線為x軸，過O且垂直于OA的直線為y軸建立平面直角坐標系，由題意結合可得A（1，0），C（1/5，7/5），B（-3/5，4/5），由OC=mOA+nOB，得（1/5，7/5）=m（1，0）+n（-3/5，4/5），即{1/5=m-3/5n， 7/5=4/5n，解得{m=5/4，n=7/4，故m+n=3.

思路2：如果你發(fā)現(xiàn)三個向量的模和夾角都知道了，由平面向量的數(shù)量積可以用向量OA，OB分別點乘向量OB，也可以建立方程模型.由題意

{OC·OA=mOA·OA+nOB·OA，OC·OB=mOA·OB=nOB·OB

（*）而由tanα=7，得sinα=7/5√2，COSα=1/5√2，

OA·OB=1*1*cos（α+π/4）=cosα·cos/4-sinα·sinπ/4=-3/5.將（*）式化簡為{1/5=m-3/5n， ① 1=-3/5m+n，②式①加式②，得m+n=3.思路3：由向量的分解可知以OC為對角線，OA，OB的延長線為一組鄰邊作平行四邊形OA1CB1，這樣只要求出OA1，OB1的長即可，根據(jù)已知條件可以將問題放到三角形內(nèi)解決，從而建立三角形模型，由tanα=7，可得sinα=7√2/10，COSα=√2/10，如圖4所示，根據(jù)向量的分解，易得

例4在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2.若BD=2DC，AE=λAC-AB（λ∈R），且AD·AE=-4，則λ的值為

解析 思路1：題目中兩個向量的模和夾角都已知，其他向量嘗試用AB和AC來線性表示，這實際上是建立基底模型，即用基底表示題中其他向量.如圖5所示，以向量AB，AC為平面向量的基底，則依題意可得AB·AC=|AB||AC|cos60°一3×2×1/2=3.又因為BD=2DC，則AD=AB+BD=AB+2/3BC=AB+2/3（AC-AB）=2/3AC+1/3AB，則 -4=AD·AE=2λ/3AC-1/3AB+（λ/3-λ2/3）AC·AB=11/3λ-5，解得λ=3/11.

思路2：建立坐標系，將向量的運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，再根據(jù)已知條件可以建立方程模型.以點A為坐標原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角坐標系（如圖6所示）.依題意易得A（O，O），B（3，O），C（1，√3），AB=（3，0），BC=（ -2，√3），AC=（1，√3）.則可得AD=AB+BD=AB+2/3BC=（5/3，2√3/3），AE=λAC-AB=（λ-3，√3λ），于是有 -4=AD·AE=5/3（λ-3）+2λ=11/3λ-5，解得λ=3/11.

學習數(shù)學需要掌握豐富的解題經(jīng)驗，其中，模型思想是最重要的經(jīng)驗之一.怎樣才能積累更多的數(shù)學模型呢？其實也不算難，只要用心，上課認真聽課，課后把做過的題（特別是做錯的題）進行整理，思考這個題還與哪個題有相似之處，能否并成同一類，解法是否一樣.這樣認真對待每一個問題，努力做到舉三反一，方能更好地舉一反三.長期堅持，你的思維能力一定有很大的提升，你的數(shù)學能力一定有質(zhì)的飛躍，不信？你試試！