高中數(shù)學解題中函數(shù)思想的巧妙應用

王紅芳

摘 要：高中數(shù)學題是非常復雜多變的，學生學習起來有一定的難度，如果借助函數(shù)思想的話，就可以在學習和解題過程中快速理清思路，解答相關問題。函數(shù)思想是數(shù)學的一個重要解題思維，也是數(shù)學學習階段比較常用的解題思維之一。本文以高中數(shù)學解題為對象，探究函數(shù)思想在方程式、數(shù)列等方面解題中的重要作用。

關鍵字：高中數(shù)學;解題;函數(shù)思想;應用

函數(shù)思想是高中數(shù)學中一種重要的解題思想，本質是根據(jù)數(shù)學問題的特征建立對應的數(shù)學模型，能幫助學生提高解決問題的辦法。函數(shù)本身就是數(shù)學學習中的一個重點與難點，因此利用函數(shù)思想指導數(shù)學解題并不是一件易事，但使用函數(shù)思想進行其他數(shù)學問題解答是一件相對簡單的事情，能有效簡化問題，快速提煉到問題的重點，幫助學生提高解決問題的能力與速度。本文針對高中數(shù)學解題，探究函數(shù)思想的有效應用，以期為類似研究提供參考。

一、函數(shù)思想與方程式

數(shù)學是一門極為重要的學科，在數(shù)學教學中應用函數(shù)思想也非常重要，尤其是對于高中數(shù)學來說，有著重要的作用。數(shù)學思想除了能夠給教師教學過程中帶來諸多方便以外，還能對學生的數(shù)學學習起到促進作用。教師在教學過程中應用函數(shù)思想，促進學生培養(yǎng)良好的邏輯思維能力。

方程式是數(shù)學學習中的一個經(jīng)典問題，也是數(shù)學學習的一個重點與難點。簡單地說，方程式就是包含一個或多個未知數(shù)組合而成的等式，要對未知和已經(jīng)知量間的關系實施直接描述組成的數(shù)式。使用函數(shù)思維進行方程式解題時，需要進行一個方程式的轉化解析?？梢詫⒑瘮?shù)式看做一個已知的數(shù)量進行方程式的轉換，隨后，將得到的具體方程式的數(shù)值放置于直角坐標系中進行解題，從而將一個原本復雜的問題簡化，順利完成數(shù)學方程式的解題。

例1：已知lgh+x=2根為x1，10的x2+x=2的根x2，求x1+x2的值。這是一道比較常見的方程式問題，我可以直接通過對題目的分析來列出兩道解題模式進行問題解答，但這個過程中存在一個問題就是并不能直接將x1與x2的數(shù)值進行計算，這個過程非常麻煩。因此當遇見這種類型的題目時，并不能單純地采用傳統(tǒng)的解題思路，那樣會直接影響到問題的解答思路。整體上看問題的解答比較困難，因為題目中還有多個變量之間的指代。但如果利用函數(shù)思維進行解題，就會簡單很多，可以找到題目中x1、x2與自變量x之間的關系。因此，在解決這道題時，先可以將第一個方程式進行移項處理，將1gh+x=2轉換為1gh=2-x的形式，這樣第二個方程式也就變成10的x2=2-x，這樣就直接形成兩個解答問題的方程式，而這兩個方程式同樣也是解答問題的關鍵影響因素。根據(jù)這兩個數(shù)式建立坐標系，畫圖后進行交點的計算，隨之，對交點進行相加處理，從而獲得最后的答案。

二、函數(shù)思想解與不等式

不等式也是數(shù)學學習中的一個重點問題，函數(shù)思想在數(shù)學不等式之中的解題主要是根據(jù)根的分布區(qū)間進行解答。函數(shù)思想是一個帶有明顯變量的思想，不等式最大的特點就在于數(shù)式之中的變量區(qū)間以及變量因素，因此，利用函數(shù)思想解決數(shù)學不等式問題也符合不等式的解題習慣。至于具體如何利用函數(shù)思想指導數(shù)學不等式的解決，還需要通過具體的案例分析來進行解答。

例2：若不等式滿足m處于區(qū)間[0，4]，不等式x2+mx+3>4x+m恒成立，求x的取值區(qū)間。

對這個問題進行解答時，我們習慣先明確題目的要求：求x的取值區(qū)間。這是一道根據(jù)變量來解答另一個變量區(qū)間的問題。因此，我們來簡化這道題的最后問題，這道題是在限定m區(qū)間基礎上根據(jù)一個恒等式來對x區(qū)間進行解答。如果直接利用m的取值區(qū)間帶入不等式中進行解答，可能會出現(xiàn)數(shù)據(jù)的混亂，且無法保證最后答案準確性的情況。但在使用函數(shù)思想進行解答時，可以將這個問題轉換為一個二次方程式的形式來進行解答。先將m作為一個區(qū)間為[0，4]的自變量，設定一個假定值C，將不等式x2+mx+3>4x+m轉換為C=（x-1m+（x2-4x+3）>0，這樣就簡化整個問題的答案，只要保證x的取值區(qū)間的兩段大于0就可以，從而得出最終的答案：x的區(qū)間是x∈（-∞，-1）U（3，+∞）。這這種做法，解題思路清晰且答案準確，這也說明函數(shù)思想能夠有效地解決數(shù)學不等式問題。

三、函數(shù)思想與數(shù)列

數(shù)列問題是數(shù)學學習中的一個重要難點，在數(shù)列內(nèi)每個數(shù)字均為數(shù)列內(nèi)的一個項，對數(shù)列問題進行解答時，可采用函數(shù)思想把數(shù)列內(nèi)每一項均看成項數(shù)的函數(shù)。利用函數(shù)解題的一個重要條件在于數(shù)字之間存在一定的規(guī)律與變化，而數(shù)列就是直接研究數(shù)字之間的變化與分布，因此，數(shù)列與函數(shù)之間具有極高的相似性。利用函數(shù)思想來解決數(shù)列問題時，就更加直觀，可以直接采用繪出函數(shù)曲線圖的形式來對數(shù)列分布展開分析，從而對數(shù)列問題展開分析和處理。

使用函數(shù)對等差數(shù)列問題進行解決時，可以采用二次函數(shù)解題方法完成解題。

例3：等差數(shù)列{an}前n項之和是Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求解n為何值Sn存在最大值。這一道題解題思路相對簡單，依據(jù)題目內(nèi)容可知者道題的公差不等于0，因此，Sn是N的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項?；诖?，可以直接進行題目的解答工作，具體流程如下：

借助函數(shù)思想對數(shù)列問題進行解答，有助于學生了解函數(shù)思想，促使學生在函數(shù)和數(shù)列交匯中找出問題解答方法，進一步拓展學生的解題思維，提高學生的數(shù)學思維能力與解題分析能力。

總之，函數(shù)思想用到很多問題的解答上，能幫助學生理清思路，對問題進行分析與解答。而利用函數(shù)思想解答數(shù)學問題，還能節(jié)省大量的解題時間，幫助拓展學生的解題思路，使學生在使用常規(guī)解題方法但卻無法解答問題時，可以為學生提供另一種解題思路，拓展學生的學習思維，幫助學生更的完成數(shù)學解題。