高中數(shù)學(xué)教學(xué)調(diào)控與優(yōu)化實(shí)驗(yàn)

黃海明

【摘要】為實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的高效課堂，根據(jù)控制論通過(guò)探索及實(shí)驗(yàn)，促成高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的高效、穩(wěn)定的調(diào)控。通過(guò)對(duì)照班與實(shí)驗(yàn)班，約一年時(shí)間的實(shí)驗(yàn)對(duì)比，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證明了實(shí)施教學(xué)調(diào)控系統(tǒng)的班級(jí)效果顯著。從控制系統(tǒng)的建立到正確的處理系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)總結(jié)了系統(tǒng)的操作程式，提高了學(xué)生的自我控制意識(shí)，優(yōu)化了教學(xué)過(guò)程。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；教學(xué)調(diào)控；控制論；優(yōu)化教學(xué)

一、問(wèn)題的提出

實(shí)施新課程以來(lái)，由于傳統(tǒng)觀念的束縛和升學(xué)考試的壓力，在高中數(shù)學(xué)課堂上，注重抓成績(jī)而忽略了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，同時(shí)也限制了學(xué)習(xí)者思維發(fā)展的廣度與深度。本文以控制論及相關(guān)教育理論為基礎(chǔ)，嘗試建立教學(xué)調(diào)控系統(tǒng)來(lái)打造高效數(shù)學(xué)課堂，通過(guò)大量的具體實(shí)驗(yàn)教學(xué)，探索其程式和操作規(guī)律。

1948年Norbert Wiener發(fā)表了控制論，其中信息反饋是控制論中極為重要的一個(gè)觀點(diǎn)：“為達(dá)到預(yù)定目的，控制系統(tǒng)發(fā)出信息，然后返回其結(jié)果，并對(duì)信息的再輸出產(chǎn)生抑制作用。”

本文認(rèn)為，所謂的教學(xué)控制系統(tǒng)是由實(shí)施控制的老師和受支配的學(xué)習(xí)者兩個(gè)子系統(tǒng)和講授信息組成的。通過(guò)信息反饋，在兩個(gè)子系統(tǒng)的相互作用中形成正向或逆向的目標(biāo)遷移運(yùn)動(dòng)，并在此過(guò)程中不斷地進(jìn)行自我控制的調(diào)整。

教學(xué)調(diào)控系統(tǒng)有三個(gè)特點(diǎn)：第一，教學(xué)系統(tǒng)中，老師是一個(gè)子系統(tǒng)、學(xué)習(xí)者是一個(gè)子系統(tǒng)，它們受到外部環(huán)境和自我調(diào)節(jié)控制的影響（如圖1）。

圖1 教學(xué)調(diào)控系統(tǒng)

第二，控制論的關(guān)鍵是信息反饋。通過(guò)信息反饋，兩個(gè)系統(tǒng)之間和子系統(tǒng)內(nèi)部連續(xù)控制運(yùn)動(dòng)中的正向或逆向目標(biāo)的移動(dòng)。

第三，調(diào)節(jié)系統(tǒng)是不確定的。因?yàn)槭墉h(huán)境因素、學(xué)生的知識(shí)程度和心理狀態(tài)、教師的控制能力和經(jīng)驗(yàn)、以及信息響應(yīng)的控制等多種隨機(jī)因素的影響。

二、反饋控制

1.反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

傳統(tǒng)教學(xué)中的“全堂灌”是單向控制，在表象上，這個(gè)過(guò)程是可以按照預(yù)先設(shè)計(jì)的計(jì)劃行事的，但是因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)不會(huì)接受物體的反饋信息，幾乎都是靠是主觀的、閉塞的猜測(cè)，所以這種控制往往是不切合實(shí)際的 （如圖2）。

圖2開(kāi)環(huán)單向控制系統(tǒng)

反饋系統(tǒng)則針對(duì)了開(kāi)環(huán)中單向控制的缺點(diǎn)，進(jìn)行了雙向控制的改良。由于反饋效應(yīng)允許系統(tǒng)無(wú)間地將反饋信息與控制目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，并根據(jù)其差異調(diào)整下一路的輸出，因此反饋控制系統(tǒng)也被稱(chēng)為閉環(huán)雙向控制系統(tǒng)（如圖3）。

圖3閉環(huán)雙向控制系統(tǒng)

案例1：用幾種教學(xué)形式來(lái)解線性方程的練習(xí)：過(guò)點(diǎn)作一條直線，使其在x，y坐標(biāo)軸上有相等的截距，求線性方程。學(xué)生中有幾種思路：

第一種方式是運(yùn)用截距式：

由條件得；

第二種方式是運(yùn)用點(diǎn)斜式：，由條件可知，將代入方程得或；

第三種方式是運(yùn)用斜截式：，當(dāng) 時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。

學(xué)生反饋出來(lái)的五花八門(mén)的信息是出乎老師講課前意料的，從反饋出來(lái)的信息中發(fā)覺(jué)：①雖然學(xué)生對(duì)線性方程有基本的把握，但對(duì)各種方程的應(yīng)用環(huán)境卻沒(méi)有深刻的了解；②存在截距概念的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)；③分類(lèi)討論方法仍陌生。

對(duì)此老師調(diào)整了教學(xué)策略，除了逐一評(píng)論解決方案外，也提出了供學(xué)生思考的問(wèn)題：各種線性形式的環(huán)境怎么樣？反饋控制是隨機(jī)設(shè)置和調(diào)整的，但教學(xué)目標(biāo)保持不變，變得更加切合實(shí)際。

2.反饋信息的取樣

反饋信息不僅是控制效果的回饋，還是控制調(diào)節(jié)的基礎(chǔ)。它必須是可靠、及時(shí)和有代表性的。反饋信息取自：學(xué)生的神情，課堂的氛圍；學(xué)生的反應(yīng)，練習(xí)或板書(shū)；測(cè)試、課后練習(xí)等，量化的信息就更具有指向性。在教學(xué)中，重要的是要知道何時(shí)何地對(duì)反饋進(jìn)行取樣。一般來(lái)說(shuō)，整個(gè)控制過(guò)程的反饋時(shí)機(jī)應(yīng)該是：?jiǎn)栴}呈現(xiàn)、思維轉(zhuǎn)換、概念交叉、推理決策和結(jié)論。

案例2：國(guó)王聽(tīng)說(shuō)阿凡提下棋很厲害，就召見(jiàn)阿凡提，如果國(guó)王輸了就要滿足阿凡提的一個(gè)條件，誰(shuí)知道阿凡提贏了，他的要求很簡(jiǎn)單：按棋盤(pán)格放麥子，第一個(gè)格子放一顆，第二個(gè)格子放兩顆，第三個(gè)格子放四顆……一直放到第六十四格。大家想想，最后一個(gè)格放多少顆？總共要放多少顆麥子？

（1）幾何序列的定義用公式表示，答案可能是多樣的：

（2）哪個(gè)式子是可以構(gòu)造（接近） 形式①，即答案可以是②的疊加，用等比結(jié)構(gòu)由③組成

（3）現(xiàn)在是在做什么，然后該怎么做？ 引入 符號(hào)！后續(xù)推導(dǎo)由老師完成：

（4）式子還可以改進(jìn)嗎？如何化簡(jiǎn)？

（5） 在這個(gè)過(guò)程中有漏洞嗎？要不要加限制條件？

與學(xué)生討論關(guān)于 的取值范圍，然后得到：

3.反饋信息的處理

假設(shè)把教師在假定目標(biāo)下輸出的信息設(shè)為中性的話，反饋信息使得原信息發(fā)生增強(qiáng)作用的稱(chēng)為“正反饋”，反之稱(chēng)“負(fù)反饋”。正反饋一般都會(huì)有利于形成新的觀念，激勵(lì)學(xué)習(xí)的興趣。但如果操作不當(dāng)卻易造成目標(biāo)過(guò)高。負(fù)反饋一般都會(huì)有利于穩(wěn)定教學(xué)，使學(xué)生的錯(cuò)誤率降低，然而負(fù)反饋通常會(huì)削弱信息量，降低目標(biāo)值。

案例3：

師：同學(xué)們，我們是不是剛剛學(xué)完兩角和公式呢？

師：由一般的兩角和，設(shè)問(wèn)特殊情況？探究推導(dǎo)出什么公式呢？

生：可令，推導(dǎo)過(guò)程為：

師：同學(xué)們推理得很好，但有沒(méi)有要注意的地方呢？

有些學(xué)生發(fā)現(xiàn)第三個(gè)式子中的分母為零的話將無(wú)意義，然后教師啟發(fā)學(xué)生，怎么樣才能保證分母不能為零呢？學(xué)生們通過(guò)討論與探究，得出結(jié)論：

此案例中，學(xué)生有機(jī)會(huì)發(fā)現(xiàn)、探索和發(fā)展他們的能力。此是“正反饋”控制的例子。

案例4：在學(xué)習(xí)了直線與 軸的夾角及其斜率的概念之后，原先設(shè)計(jì)了一組鞏固題型給學(xué)生思考。沒(méi)預(yù)料到第1題“已知直線 ，求傾斜角”完成后，教師發(fā)覺(jué)學(xué)生答案形式有，，甚至有等等，也有認(rèn)為無(wú)法確定等。教師應(yīng)該馬上意識(shí)到這是教學(xué)中對(duì)直線傾斜角的范圍，及斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系未講到位，或練習(xí)題難度的跨度過(guò)大導(dǎo)致的。因此，老師馬上強(qiáng)調(diào)了直線的斜率與傾斜角的聯(lián)系與分別代表的意義，列出對(duì)照表給學(xué)生對(duì)比：

然后老師把鞏固練習(xí)題中a，b的取值條件改為同號(hào)，對(duì)教學(xué)進(jìn)行降低難度處理。然后，繼續(xù)做回原來(lái)a，b取值異號(hào)的情況，同學(xué)在這樣設(shè)置有梯度的練習(xí)中，學(xué)習(xí)積極性得到了大大提高了。此是“負(fù)反饋”控制的一例。

三、自我控制

在教學(xué)控制系統(tǒng)中的教師和學(xué)生，在外界作用下，不停地進(jìn)行自我控制和調(diào)整，以適應(yīng)整個(gè)教學(xué)的發(fā)展。

1.教師自控

實(shí)施教學(xué)目標(biāo)控制過(guò)程是教師在收到學(xué)生的反饋后大腦內(nèi)部一連串思維動(dòng)態(tài)的過(guò)程：

這是一個(gè)自控過(guò)程，當(dāng)然，教師的自我控制與他們自己對(duì)目標(biāo)的掌握、對(duì)學(xué)生的理解、對(duì)教材的熟悉以及教學(xué)方法的應(yīng)用有關(guān)。

（1）即時(shí)控制

例如，在教學(xué)程序的設(shè)計(jì)中應(yīng)推測(cè)出安排反饋控制的時(shí)機(jī)，做到有控制有反饋。因此，重要的是要建立起一種即時(shí)自我控制的意識(shí)。

案例5：在三角函數(shù)和差化積的課堂上，有學(xué)生提出了一個(gè)簡(jiǎn)化的公式：，比書(shū)上教的方法。舊人教版是有反正切函數(shù)的內(nèi)容，但新人教版并沒(méi)有此內(nèi)容，可能這個(gè)學(xué)生在課外閱讀了相關(guān)的知識(shí)。這是一個(gè)突發(fā)的事件，本不在教學(xué)設(shè)計(jì)中。如果當(dāng)時(shí)教師選擇直接跳過(guò)的處理方式，會(huì)大大打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)愿望。相反，如果老師把它展示給學(xué)生討論并激起學(xué)生們對(duì)探索的渴求。通過(guò)討論，不但對(duì)用反正切表示和差化積形式中的輔助角，使得運(yùn)算更加簡(jiǎn)便，也對(duì)反三角函數(shù)概念有了更深刻的體會(huì)。

（2）延遲控制

教學(xué)具有延時(shí)性。在課后，許多反饋信息被記錄在作業(yè)和試卷中，這就是教師自我控制的時(shí)間。因?yàn)檫@種自制力沒(méi)有時(shí)間和空間的限制，所以稱(chēng)為“延遲控制”。

延時(shí)控制有三種方法：第一，做教學(xué)札記。札記包括教學(xué)中成功與失敗的案例，包括教學(xué)方法，教科書(shū)處理等，這是一種很好的自我反思、調(diào)整和改進(jìn)方式；二是學(xué)生常犯的錯(cuò)誤文檔，可以在反映出學(xué)生的思維或不良心理習(xí)慣和規(guī)律；三是建立比較科學(xué)的反饋抽樣網(wǎng)絡(luò)，學(xué)生中不同層次的反饋抽樣樣本應(yīng)來(lái)自不同層次的學(xué)生代表，使教師的自我控制更準(zhǔn)確、更有效。

2.學(xué)生自控

學(xué)生是教學(xué)控制系統(tǒng)的被控制對(duì)象，而任何其他控制都是通過(guò)自我控制實(shí)現(xiàn)的，如何提高學(xué)生的自我控制能力是有效控制的主要因素。要著重處理好如下幾種關(guān)系：

（1）目標(biāo)與自控

要把老師的控制變成學(xué)生的自我控制，還必須把學(xué)生的行為納入整個(gè)教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生清楚地知道這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是什么，自己要怎么做？要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，必須營(yíng)造學(xué)生課堂活動(dòng)和心理活動(dòng)的氣氛，使學(xué)生從內(nèi)心自發(fā)地遵循教學(xué)目的，學(xué)會(huì)排除外來(lái)的干擾，接受信息，做出反饋，成為課堂的主人。

（2）興趣與自控

興趣是一個(gè)人想知道某事或想從事某項(xiàng)活動(dòng)的心理向往。它是建立在理解和探索事物的需求之上的，這是人們了解事物、尋求真知的主要?jiǎng)恿?。在教學(xué)中，必須多去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本身的豐富內(nèi)涵，調(diào)動(dòng)和激起學(xué)生的心理興奮。

（3）自主與自控

學(xué)生是教學(xué)的主體，應(yīng)讓他們積極投入整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，這是教學(xué)控制成功的標(biāo)記之一。然而，受老師的控制并不意味著學(xué)生倚賴于老師、沒(méi)有自己的想法。恰恰相反，要樹(shù)立學(xué)生的獨(dú)立精神，達(dá)到學(xué)生善于思考、習(xí)慣思考的目的。通過(guò)強(qiáng)化的訓(xùn)練，學(xué)生才會(huì)用心、積極地接受老師發(fā)來(lái)的信息，分析、處理成為自我信息，并能在課后認(rèn)真地做作業(yè)，教師收到的反饋信息才能是真實(shí)可靠的。

案例6：在《一元二次方程的解法》專(zhuān)題復(fù)習(xí)的同課異構(gòu)課上，A老師是如此處理的：

A老師：同學(xué)們，這節(jié)課我們來(lái)溫習(xí)一元二次方程的四種解法：（1）直接開(kāi)平方法，（2）配方法，（3）公式法，（4）分解因式法，大家記住了沒(méi)有？

緊接著老師出示了四道習(xí)題（并把解法寫(xiě)在題目的后面）：

然后學(xué)生就拿出筆來(lái)計(jì)算，A教師在巡視的過(guò)程中強(qiáng)調(diào)學(xué)生要按其規(guī)定的方法來(lái)解。最后，教師挑選了計(jì)算正確、書(shū)寫(xiě)漂亮的學(xué)生上來(lái)黑板演示，并對(duì)這些學(xué)生給予高度的評(píng)價(jià)。

剖析：課堂探究能否激發(fā)學(xué)生的思維，完全取決于如何合適地設(shè)問(wèn)，如何引導(dǎo)學(xué)生回答問(wèn)題。顯然，A教師的教學(xué)方法打擊了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的熱情。

而B(niǎo)老師是這樣處理這節(jié)課的：

師：同學(xué)們，今天我們來(lái)進(jìn)行一元二次方程解法的溫習(xí)，看看大家可以總結(jié)出幾種方法？通過(guò)解這四個(gè)方程，并告訴大家，你用了什么方法，好嗎？

B教師通過(guò)課堂巡視，鼓勵(lì)學(xué)生針對(duì)不同的題目用不同的方法解，學(xué)生們興趣盎然地相互競(jìng)賽解題，并將自己的解法向同學(xué)們展現(xiàn)。

剖析：培養(yǎng)學(xué)生自主性的深層意義也在于培養(yǎng)他們?cè)谒季S領(lǐng)域的獨(dú)立性，即是說(shuō)，教師在教學(xué)中要注重將數(shù)學(xué)思維方法傳授給學(xué)生，這是提高學(xué)生自我控制能力的重要因素。

四、實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

1.實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

通過(guò)建立教學(xué)控制系統(tǒng)，并采用教學(xué)控制的操作程序，能有效提高課堂教學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有興趣，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到優(yōu)化，進(jìn)而驗(yàn)證了實(shí)驗(yàn)假設(shè)的正確性。

2.實(shí)驗(yàn)組成

根據(jù)人數(shù)、男女比例、成績(jī)、能力水平等選擇設(shè)置實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班，各單元講授的快慢要保持一致，測(cè)試題要一致。實(shí)驗(yàn)班全面貫徹教學(xué)控制的原則和方案，采用研討形式上課，對(duì)照班則基本采取傳統(tǒng)教學(xué)模式。

3.實(shí)驗(yàn)結(jié)果

（1）T檢驗(yàn)，檢驗(yàn)報(bào)告表如下：（a=0.01）

從上表可看出，實(shí)驗(yàn)前（即高一上學(xué)期末）兩個(gè)班的成績(jī)比較接近，t檢驗(yàn)顯示無(wú)差異。接下來(lái)的幾次考試中，對(duì)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行均值差異分析及t檢驗(yàn)分析，高一下期末分析中t'小于t，說(shuō)明試驗(yàn)差異不大，而其后的三次分析，檢驗(yàn)值t'均比分布臨界值t高，也就是說(shuō)，控制技術(shù)的效果和傳統(tǒng)教學(xué)的效果是差異顯著的。

（2）問(wèn)卷調(diào)查

在實(shí)驗(yàn)的后半段，用問(wèn)卷方式調(diào)查了這兩個(gè)班級(jí)，目的就是要了解學(xué)生是否理解教學(xué)目標(biāo)，建立控制與評(píng)價(jià)意識(shí)，提升自我控制水平，會(huì)否分析、解決問(wèn)題，其重點(diǎn)是通過(guò)學(xué)生的主觀能動(dòng)性來(lái)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)情況。問(wèn)卷分教學(xué)目標(biāo)、自我控制、思維推理、課堂表現(xiàn)、主觀評(píng)價(jià)五大類(lèi)的意識(shí)水平進(jìn)行設(shè)問(wèn)。其中前三類(lèi)屬定距變量（累積計(jì)分），后兩大類(lèi)屬定序變量（不累積計(jì)分，只作百分比統(tǒng)計(jì)）。

統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

從分值來(lái)看，實(shí)驗(yàn)班的學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過(guò)程中的心理自我控制的情況和主觀評(píng)價(jià)意識(shí)約比對(duì)照班高出百分之十。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠發(fā)揮主體功能是因?yàn)榻虒W(xué)控制系統(tǒng)的程序起到了一定效果，學(xué)生在其過(guò)程中能夠積極配合教師的教學(xué)，形成一個(gè)閉環(huán)教學(xué)控制系統(tǒng)，在此系統(tǒng)中，教師和學(xué)生為了一個(gè)共同的教學(xué)目的而共同努力。

參考文獻(xiàn)：

[1]諾伯特·維納.控制論——關(guān)于在動(dòng)物和機(jī)器中控制和通訊的科學(xué)（第2版）[M].科學(xué)出版社，2009.