同源帶電粒子在有界勻強磁場中的特殊圓問題

摘 要：高中物理電磁學(xué)問題，特別是基本帶電粒子在勻強磁場中的運動問題，是高中物理學(xué)習(xí)中的一個難點和重點。本文以控制變量法為基本方法，討論了基本帶電粒子在勻強磁場中的四種特殊圓問題的特點及其對應(yīng)的解題方法。

關(guān)鍵詞：同源;基本粒子;勻強磁場;特殊圓

帶電量為q、質(zhì)量為m的基本粒子垂直磁感線以速率v進入磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，會受到洛倫茲力的作用，而洛倫茲力的方向可以用左手定則判斷：與粒子速度方向垂直。因此洛倫茲力不改變粒子速度的大小，而改變速度的方向，整體表現(xiàn)為做勻速率圓周運動。其軌跡圓的半徑R可根據(jù)洛倫茲力提供向心力求得：

基于此，按照物理學(xué)控制變量法，并且注意到速度的矢量性，通過控制單一變量，可以得到幾種特殊的圓周類問題。

（1）縮放圓問題：只改變速度的大小;

（2）旋轉(zhuǎn)圓問題：只改變速度的方向;

（3）平移圓問題：只改變?nèi)肷涞奈恢?

（4）聚焦圓問題：圓形邊界磁場半徑與軌跡圓半徑相等。

一、縮放圓問題

此種題目的特點為：給定粒子（電量和質(zhì)量）、磁場給定（可能是直線邊界、平行邊界、矩形邊界、其他規(guī)則和不規(guī)則邊界、無邊界，但均為勻強磁場且告知磁感應(yīng)強度）、粒子入射點或發(fā)射點確定，入射方向確定且垂直磁場，但唯一變量是入射速度大小。

分析：由圓周運動的半徑公式可知，軌跡圓在入射點的切線唯一，但軌跡圓的半徑大小取決于入射或者發(fā)射速度大小。具體軌跡圓因速度大小變化的演變圖如圖1所示。

二、旋轉(zhuǎn)圓問題

此種題目的特點為：給定粒子（電量和質(zhì)量）、磁場給定（可能是直線邊界、平行邊界、矩形邊界、其他規(guī)則和不規(guī)則邊界、無邊界，但均為勻強磁場且告知磁感應(yīng)強度）、粒子入射點或發(fā)射點確定，入射速度大小，但唯一變量是入射方向（保證垂直磁感線）。

分析：由圓周運動的半徑公式可知，軌跡圓的半徑確定且過定點（入射點），但確切的軌跡圓會因入射方向不同而不同。

如果入射方向是任意的，那么軌跡圓的圓心將會組成一個以入射點為圓心，R為半徑的圓;所有粒子掃過的圖形將是以入射點為圓心，2R為半徑的一個圓面。如圖2所示。

三、平移圓問題

此種題目的特點為：給定粒子（電量和質(zhì)量）、磁場給定（可能是直線邊界、平行邊界、矩形邊界、其他規(guī)則和不規(guī)則邊界、無邊界，但均為勻強磁場且告知磁感應(yīng)強度）、粒子入射點或發(fā)射點確定，入射速度大小和方向均確定，但唯一變量是入射點（一般題設(shè)會認為入射點在一條直線上）。

分析：由圓周運動的半徑公式可知，軌跡圓的半徑確定，但軌跡圓的具體位置會因入射點而異。如圖3所示。

四、聚焦圓問題

當圓形磁場的半徑與原軌跡半徑相等時，存在兩條特殊規(guī)律：

規(guī)律一：帶電粒子從圓形有界磁場邊界上某點射入磁場，如果圓形磁場的半徑與圓軌跡半徑相等，則粒子的出射速度方向與圓形磁場上入射點的切線方向平行，如圖4（甲）所示。

規(guī)律二：平行射入圓形有界磁場的相同帶電粒子，如果圓形磁場的半徑與圓軌跡半徑相等，則所有粒子都從磁場邊界上的同一點射出，并且圓形磁場上出射點的切點方向與入射速度方向平行，如圖4（乙）所示。

簡單分析：如圖5所示，O1、O2分別是磁場圓和軌跡圓的圓心，A為入射點，B為出射點，AC為入射點邊界圓的切線，BD為出射速度方向。因為磁場圓半徑等于軌跡圓半徑，所以O(shè)1BO2A為菱形，AO1//O2B，而又有AC⊥AO1，BD⊥BO2，所以必有BD//AC。

五、小結(jié)與建議

運動學(xué)問題的基礎(chǔ)是受力分析，帶電基本粒子在勻強磁場中僅受大小不變、方向始終與粒子運動方向垂直的洛倫茲力作用，會做勻速圓周運動，如何找出運動軌跡的圓心和半徑，是解決問題的關(guān)鍵。

解題小建議：涉及到這四類問題時，我們不妨準備一角、五角、一元三種不同規(guī)格的硬幣，磁場剖面轉(zhuǎn)移到紙面上，用實物幫助理解縮放圓、旋轉(zhuǎn)圓、平移圓和聚焦圓問題。也可因地制宜，用書寫紙大致做不同規(guī)格的圓形或者內(nèi)嵌有不同規(guī)格圓的學(xué)生套尺來解決問題，往往會使解題思路變得清晰。

參考文獻

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作者簡介：康德群（1988.5）男，漢族，江西省吉安市，碩士研究生，教師，中小學(xué)二級，方向：高中物理