淺談文科生突破全國卷中的統(tǒng)計(jì)與概率大題

黃澤玲

（汕頭市黃圖盛中學(xué)，廣東 汕頭 515100）

概率與統(tǒng)計(jì)題是文科考生的弱題，得分率總是不高，主要問題有：從本題的第一觀感看，文字多，懼怕心理從開始就埋下了，學(xué)生常?？戳撕竺嫱饲懊?，以致于條件與條件之間的關(guān)系利用理解不當(dāng)；再看其中考查的內(nèi)容，統(tǒng)計(jì)知識(shí)相對(duì)抽象，可以說來源于生活又高于生活，情境背景一般很生活化，但更多的是從數(shù)學(xué)的角度分析解決問題，比如利用回歸直線模型模擬實(shí)際情況，達(dá)到預(yù)報(bào)的目的，又可以在預(yù)報(bào)的基礎(chǔ)上探討預(yù)報(bào)的精確程度，學(xué)生若不能理解其本質(zhì)，會(huì)出現(xiàn)只會(huì)套用公式，而不能靈活處理的問題；計(jì)算量大，對(duì)數(shù)值的處理能力要求高，同時(shí)也很考驗(yàn)學(xué)生的集中能力，稍一不注意，可能就算錯(cuò)了某一數(shù)值。所以，該題不管是題目表達(dá)，還是思路整理，還是數(shù)值計(jì)算，都是相對(duì)要求高于學(xué)生能力的一道題目，對(duì)學(xué)生是一個(gè)重大的挑戰(zhàn)，如何培養(yǎng)學(xué)生提煉條件，理清邏輯關(guān)系，尋求數(shù)值的特征提高計(jì)算效率尤其重要。我認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行學(xué)習(xí)突破：

一、首先從本質(zhì)上理解本章知識(shí)，并挖掘其中的聯(lián)系，建構(gòu)起知識(shí)體系。

（一）概率與統(tǒng)計(jì)的基本思想是以“樣本”估計(jì)“總體”，通過收集部分?jǐn)?shù)據(jù)估計(jì)總體數(shù)據(jù)所包含的特點(diǎn)，因此結(jié)果具有隨機(jī)性，統(tǒng)計(jì)的結(jié)果有可能犯錯(cuò)，但它又是一種重要的思維方式，不確定中有其“確定性”，這是數(shù)學(xué)更高層次的應(yīng)用。

（二）概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的科學(xué)，隨機(jī)現(xiàn)象即在相同的條件下重復(fù)同樣的試驗(yàn)，其試驗(yàn)結(jié)果不確定，以致于試驗(yàn)前無法預(yù)料哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)，隨機(jī)現(xiàn)象表面看無規(guī)可循，結(jié)果不可預(yù)料，但當(dāng)我們大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)的結(jié)果總會(huì)出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性，概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義，缺乏對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的豐富體驗(yàn)，學(xué)生往往難以建立隨機(jī)觀念，如果在概率的學(xué)習(xí)中，只是要求學(xué)生處理已經(jīng)收集好的數(shù)據(jù)，學(xué)生往往習(xí)慣的把這些數(shù)據(jù)當(dāng)做確定的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，事實(shí)上他們的隨機(jī)觀念沒有得到發(fā)展，要使學(xué)生建立隨機(jī)觀念，可以通過設(shè)計(jì)學(xué)生熟悉而感興趣的實(shí)際問題或游戲，讓學(xué)生親自試驗(yàn)，動(dòng)手收集，讓學(xué)生逐漸豐富對(duì)概率的認(rèn)識(shí)，從實(shí)際活動(dòng)中體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)。

（三）計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率是概率學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，在學(xué)習(xí)時(shí)，首要的是對(duì)各種概率模型的理解和應(yīng)用，而不是把精力放在套用公式上，應(yīng)注意使學(xué)生經(jīng)歷從多個(gè)實(shí)例中概括出具體地概率模型的過程，體會(huì)這些例子的共同特點(diǎn)。

二、做題時(shí)，學(xué)會(huì)提煉條件，可以著重標(biāo)出重要詞句，并通過分段歸納、或制作簡單的思維導(dǎo)圖理清其中的“量”與“量”之間的關(guān)系。例如：

分段歸納：

(2017·全國卷Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完。根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)。如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20，25，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于需求量為200瓶。為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)：最高氣溫在[10，15)有2天，[15，20)有16天，[20，25)有36天，[25，30)有25天，[30，35)有7天，[35，40)有4天。①

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率。

(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率。

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)。當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率？

分析：（1）在題干中進(jìn)行分段歸納

（2）第一步與需求量有關(guān)的頻率問題，先通過需求量和最高氣溫的關(guān)系，再到①中查找對(duì)應(yīng)的頻數(shù)；第二步涉及利潤問題，可以從題干第一句中得到。

制作簡單的思維導(dǎo)圖幫助理清思路：

(2016·全國卷Ⅱ)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)為0次，則保費(fèi)為0.85a，1次則為a，2次為1.25a，3次為1.5a，4次為1.75a，大于等于5次為2a①

除產(chǎn)業(yè)布局相關(guān)政策之外，我國紡織服裝各行業(yè)也制定并發(fā)布了相關(guān)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)政策措施，使得紡織服裝產(chǎn)業(yè)的發(fā)展方向與方式更加明確。

隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)情況：出險(xiǎn)次數(shù)為0的有60名，1次有50名，2次有30名，3次有30名，4次有20名，大于等于5次有10名。②

(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求P(A)的估計(jì)值。

(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”。求P(B)的估計(jì)值。

(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值。

分析：（1）制作導(dǎo)圖讀懂題意：

（2）第一小題用頻率估計(jì)概率，于是在表2中找到相應(yīng)的頻數(shù)；第二步是與基本保費(fèi)

三、提高數(shù)據(jù)的處理能力。概率統(tǒng)計(jì)問題一般數(shù)據(jù)較大，“如何計(jì)算”也是復(fù)習(xí)的一個(gè)重要關(guān)注點(diǎn)。比如：

【2016年全國Ⅰ卷】某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù)。

（1）求E（Y）；

解析：

如果這樣算：

這樣處理方式計(jì)算量較大，且算錯(cuò)的概率增加不少。

初學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)時(shí)會(huì)覺得它抽象，但它是與日常生活緊密聯(lián)系的課程，從本質(zhì)理解，逐步建立起統(tǒng)計(jì)思想，提高數(shù)據(jù)的收集和處理能力，是學(xué)好它的關(guān)鍵。