彭家寅

內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641199

1 引言

在量子信息科學(xué)中，最具特色和最重要的概念之一就是量子糾纏。在過去的二十多年中，為執(zhí)行包括經(jīng)典信息和量子信息在內(nèi)的各種量子任務(wù)，量子糾纏在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，比如量子隱形傳態(tài)[1]、量子密集編碼[2]、量子態(tài)制備[3]、量子信息集中[4]等。自從1993 年Bennett 等人[1]率先提出量子隱形傳態(tài)以來，量子隱形傳態(tài)就引起了人們廣泛的關(guān)注，并在理論和實驗方面的研究取得了很大進展[5-16]；諸如受控隱形傳態(tài)[7-8]、量子秘密分享[9-10]、量子信息分裂[11-12]和量子算子分享[13-16]等量子隱形傳態(tài)的拓展版也相繼被報道。Huelga 等[17-18]討論了用雙向隱形傳態(tài)（bidirectional controlled teleportation，BCT）去執(zhí)行非局域量子門的可能性。受雙向隱形傳態(tài)和受控隱形傳態(tài)的啟發(fā)，Zha 和Li 等[19-20]引入了雙向受控隱形傳態(tài)。此后，利用五粒子態(tài)[21]、六粒子態(tài)[22-24]和七粒子態(tài)[25]為量子信道的雙向受控隱形傳態(tài)被報道，并且Shukla 等[26]還指出了雙向受控隱形傳態(tài)的應(yīng)用。除文獻[26]外，還沒有報道過關(guān)于以非最大糾纏態(tài)為量子信道的雙向受控隱形傳態(tài)。盡管在許多量子任務(wù)中，最大糾纏態(tài)是首選的量子資源，但用最大糾纏資源來實現(xiàn)一個量子信息處理協(xié)議僅僅是一個理想的愿望。在噪聲環(huán)境中，粒子的存儲和傳輸過程中存在退相干現(xiàn)象，糾纏的質(zhì)量很容易退化，糾纏的數(shù)量會迅速減少。因此，不同用戶分享的糾纏態(tài)通常為非最大糾纏態(tài)。由于特定量子任務(wù)，高維量子態(tài)的應(yīng)用被研究[27-32]。當然，也包括使用三維糾纏來解決各種相關(guān)的量子問題[31]。如果采用三維最大或非最大糾纏態(tài)作為量子信道，能否執(zhí)行雙向受控隱形傳態(tài)呢？為此，本文以兩個廣義三維最大糾纏GHZ 態(tài)為信道，研究三維單粒子態(tài)雙向受控隱形傳態(tài)問題，并將之推廣到非最大糾纏信道的情形。借助投影測量和正算子值測量，分別提出兩個推廣方案。在這些方案中，空間分離的兩方在遙遠的第三方的監(jiān)控下，以一定的概率同時交換他們?nèi)我馕粗S單粒子態(tài)。

2 基于最大糾纏信道的BCT協(xié)議

假定Alice、Bob 和Charlie 是三個合法的使用者。Alice擁有一個任意未知三維單粒子態(tài)：

其中，復(fù)系數(shù)a0、a1和a2滿足，而Bob擁有一個任意未知三維單粒子態(tài)：

其中，復(fù)系數(shù)b0、b1和b2滿足。Alice 想要把三維粒子A的任意未知態(tài)轉(zhuǎn)給Bob，同時Bob也打算把三維粒子B的任意未知態(tài)轉(zhuǎn)給Alice，并且要求在第三方Charlie 的許可下安全地進行，否則無法完成。當然，控制者不必知道的任何信息，但他對任務(wù)的完成起著至關(guān)重要的作用。

連接Alice、Bob 和Charlie 這三方的量子信道是如下兩個被預(yù)先分享的廣義GHZ態(tài)：

其中，三維粒子對(A′,A″)屬于Alice，(B′,B″)屬于Bob，而(C′,C″)屬于Charlie。所有三維八粒子系統(tǒng)的初始態(tài)為：

本文的協(xié)議由如下連續(xù)的三步構(gòu)成。

（1）Alice 和Bob 獨立地執(zhí)行如下操作，Alice 用廣義Bell-態(tài)集：

作為測量基去測量三維粒子對(A,A′)（⊕為關(guān)于模3的加法）。同時，Bob 也用上述測量基去測量三維粒子對(B,B″)。顯然，他們能以相同的概率獲得81 種可能的聯(lián)合測量結(jié)果之一，并且余下的三維粒子組(B′,C′,A″,C″)的量子態(tài)塌陷為下列81種可能態(tài)之一：

其中，n,m,s,t∈{0,1,2}。之后，Alice 和Bob 按預(yù)先的約定分別公布他們的測量結(jié)果。這里預(yù)先約定是指廣義Bell 態(tài)分別對應(yīng)經(jīng)典三進制數(shù)對(n,m)和(s,t)，反之亦然。到此，Alice和Bob能否交換他們的量子信息還依賴控制者Charlie，因為上述塌陷態(tài)中仍含有粒子(C′,C″)，控制者Charlie 的作用將在下一步體現(xiàn)。

（2）如果監(jiān)控者Charlie 允許Alice 和Bob 交換他們的量子信息，則他需要分別對粒子C′和C″施行三維單粒子測量，其正交測量基為：

Charlie測量后，粒子組(B′,C′,A″,C″)將以相同的概率坍塌為下列729種可能態(tài)之一：

其中，r′,r,n,m,s,t∈{0,1,2}。預(yù)先約定三維單粒子態(tài)對于經(jīng)典三進制數(shù)r，反之亦然。Charlie通過經(jīng)典信道將測量結(jié)果r′和r分別告知Alice和Bob。從上面的等式可以看出，對于任何可能的測量結(jié)果集nmstrr′，三維粒子對(B′,A″)的量子態(tài)都是一個乘積態(tài)，但它還不是希望的形式。因此，最后一步需要Alice和Bob局部地重構(gòu)目標態(tài)。

（3）Alice和Bob應(yīng)分別對粒子A″和B′進行酉運算UA″和UB′，這兩個酉變換可表示為：

那么，三維粒子A″和B′的態(tài)變成：

其中，r′,r,n,m,s,t∈{0,1,2}。這樣，三維單粒子態(tài)的雙向受控隱形傳態(tài)被成功完成，并且成功為1，因此本文的方案是確定的。

注1在上述方案中，如果把Bob（Alice）和Charlie視為Alice（Bob）的兩個代理商，那么Bob（Alice）和Charlie 中的任何一個都能重構(gòu)Alice（Bob）的原始量子態(tài)，因此本文的方案可以修改為雙向三維單粒子態(tài)分享方案。

3 基于非最大糾纏信道的BCT協(xié)議

本章在第2 章的基礎(chǔ)上，考慮更一般的情形，即連接三個合法參與者Alice、Bob 和Charlie 的量子信道是如下兩個廣義的非最大糾纏GHZ態(tài)：

其中，系數(shù)αj和βj(j=0,1,2)為實數(shù)且滿足歸一化條件，其中三維粒子組(A,A′,A″)屬于Alice，(B,B′,B″)屬于Bob，而三維粒子對(C′,C″)屬于Charlie。為了討論方便，不妨假設(shè)現(xiàn)在，Alice和Bob希望在控制者Charlie 監(jiān)控下，交換他們的三維單粒子態(tài)和三維八粒子的初始態(tài)可以寫成如下形式：

為了完成量子任務(wù)，Alice、Bob和Charlie需要執(zhí)行與第2章中的（1）、（2）和（3）完全相同的操作，并公布他們的測量結(jié)果。這樣，三維粒子A″和B′的態(tài)將變成下列729種可能態(tài)之一：

其中，r′,r,n,m,s,t∈{0,1,2}。

下面采用兩種方法來交換他們的量子態(tài)，即重構(gòu)他們的原始量子態(tài)。

3.1 采用投影測量的BCT協(xié)議

現(xiàn)在考慮用投影測量來執(zhí)行BCT。為此，Bob對粒子對(B′,b)執(zhí)行在基：

下的一個對角型分塊酉變換：

其中：

同時，Alice 也對粒子對(A″,a)執(zhí)行在基（9）下的一個分塊酉變換（空白處表示0矩陣）：

在上述變換后，粒子組(A″,B′,a,b)的態(tài)變成：

這表明雙向受控隱形傳態(tài)任務(wù)被完成。如果Alice和Bob的測量結(jié)果是其他情形，隱形傳態(tài)失敗?，F(xiàn)在來計算方案成功的概率。歸一化式（7）后知，獲得測量結(jié)果集的概率是：

因此隱形傳態(tài)成功的概率為：

對于其他聯(lián)合Bell-態(tài)測量結(jié)果，類似的分析，可以得到完全相同的概率，因此本文方案成功的總概率為：

注2當時，本協(xié)議成功的概率為1，本方案退化為第2章的方案。換言之，本協(xié)議是第2章中協(xié)議的推廣。

3.2 采用正定算子值測量的BCT協(xié)議

從第3.1 節(jié)知，酉矩陣U1和U2都是9×9 階矩陣，這不利于直接實驗實現(xiàn)。采用正定算子值測量（positive operator-valued measurement，POVM）所獲得的方案較第3.1 節(jié)之方案更易實驗實現(xiàn)。本節(jié)就考慮用POVM去代替投影測量來執(zhí)行BCT任務(wù)。不失一般性，仍考慮式（8），其量子態(tài)可寫成：

其中：

其中：

I為恒等算子，與αj(βj)相關(guān)參數(shù)λ(λ′)應(yīng)確保O5(P5)為正定算子。為確定λ和λ′，算子O5和P5分別可以寫成如下矩陣形式：

明顯地，要使O5和P5都為正定的，參數(shù)λ和λ′應(yīng)分別滿足：

現(xiàn)在Bob對輔助粒子b執(zhí)行POVM，定能以概率：

取得Oj，其中借助POVM值，Bob 推斷出輔助粒子b的態(tài)。然而用概率他能得到O5，卻不能推斷出粒子b的態(tài)。他一旦獲得，就意味著知道了，也就能成功重構(gòu)Alice 的原始未知態(tài)。也就是說，如果Bob 得知，他就在中選擇其一對粒子B′作用，就能以的概率獲得Alice的原始量子態(tài)。類似地，Alice 按以Bob 相似的方式，也能以的概率得到Bob 的原始量子態(tài)。因此Alice 和Bob 能以的概率交換他們的原始量子態(tài)。

上面僅僅考慮了Alice、Bob 和Charlie 的聯(lián)合測量結(jié)果是的情形。事實上，他們的聯(lián)合測量結(jié)果共有729 種情況。對于其余的728 種情況，類似于前面的分析，Alice 和Bob 也都能以相同的概率交換他們的原始量子態(tài)?？傊?，本方案成功的總概率為：

注3（1）容易驗證，當，且時，也就是量子信道為兩個廣義最大糾纏GHZ態(tài)時，O5和P5為零矩陣，并且整個方案成功的概率為1。此時，本方案就變成第2章中的方案，即本方案是第2章中方案的推廣。

（2）顯然，所有的POVM 算子都是3×3 階矩陣，而第3.1節(jié)中的U1和U2都是9×9 階矩陣，因此本節(jié)的方案比第3.1節(jié)之方案更容易實驗實現(xiàn)。

4 結(jié)論

最近，Zha等[19]討論了利用五粒子團簇態(tài)糾纏作為量子信道的雙向受控隱形傳態(tài)。此后，雙向受控隱形傳態(tài)引起了人們濃厚的興趣[20-26]，這些工作主要是以最大糾纏態(tài)作為量子信道的。然而，在現(xiàn)實的環(huán)境中，量子態(tài)通常是非最大糾纏態(tài)，并且在長距離通信網(wǎng)絡(luò)中，BCT需要用到各種量子資源，包括高維態(tài)和非最大糾纏態(tài)，但目前卻幾乎沒有這方面的報道。為此，本文考慮三維單粒子態(tài)的雙向受控隱形傳態(tài)。首先，以兩個最大糾纏廣義GHZ 態(tài)為信道來執(zhí)行BCT 任務(wù)，推廣了Zha 等[19]的方案，并且成功的概率為1。然后，用兩個非最大糾纏廣義GHZ態(tài)去取代先前的量子信道，借助投影測量和POVM，獲得了兩個三維單粒子的雙向受控隱形傳態(tài)協(xié)議，進一步推廣了現(xiàn)有的方案。在本文的方案中，空間分離的兩方在遙遠的第三方的許可下，總能以一定的概率同時交換他們的三維單粒子態(tài)。當然，離開第三方的合作，BCT任務(wù)是失敗的。同時，適當?shù)匦薷谋疚牡姆桨妇涂沙蔀槿S單粒子態(tài)雙向分享協(xié)議。