張文海，張夢迪

（淮南師范學(xué)院 電子工程學(xué)院，安徽 淮南 232038）

極小最大量子態(tài)區(qū)分

張文海，張夢迪

（淮南師范學(xué)院 電子工程學(xué)院，安徽 淮南 232038）

得到在未知先驗概率的情況下，區(qū)分三個非正交量子態(tài)的最優(yōu)概率，給出了求解這類問題的公式，同時，把這類區(qū)分和Bayesian非正交量子態(tài)的區(qū)分相比較。該方法可以推廣到N個非正交量子態(tài)問題的區(qū)分。

量子態(tài)區(qū)分；POVM測量；確定性區(qū)分；極小最大區(qū)分

量子力學(xué)的疊加原理指出，量子態(tài)可以是正交本征量子態(tài)的概率疊加。這也說明在量子態(tài)中，既有正交的量子態(tài)，也有非正交量子態(tài)的存在。由于量子不可克隆定理的限制［1］，正交的量子態(tài)可以被精確地測量，而非正交的量子態(tài)則不可能精確地測量。在量子信息科學(xué)中，量子密碼術(shù)［2］就是使用非正交量子態(tài)作為量子編碼，這樣，竊聽者就不可能精確的復(fù)制通信雙方的信息。非正交量子態(tài)區(qū)分理論［3-4］為量子密碼術(shù)的安全性提供理論支撐，是量子密碼術(shù)理論研究的核心，同時，也揭示了認識量子世界的限度。

由于不可能被精確地測量，非正交量子態(tài)的測量方式可能會出現(xiàn)兩種。第一，可能量子測量會出錯誤，但測量著希望出錯誤的概率最?。∕inimum Error Discrimination，MED）。第二，在測量中不允許出現(xiàn)錯誤，但有時可能測量不到所需要的結(jié)果，但是，一旦測量到結(jié)果，則測量結(jié)果是明確的 （OptimalUnambiguousdiscrimination，OUD）。假設(shè)具有輸入先驗概率p1和p2=1-p1的兩個非正交量子態(tài)，量子系統(tǒng)可以表示為（其中是量子系統(tǒng)的密度矩陣），根據(jù)量子力學(xué)量子系統(tǒng)的保跡性，可以有（其中Tr是求跡算符運算）。利用廣義量子測量（Generalized Measurements）或稱正定算符值測量（Positive-Operator-Valued Measures，POVM）［5-7］，可以在理論上給出 MED和OUD的測量結(jié)果的最優(yōu)值。對MED測量，定義POVM元M^i滿足完全性關(guān)系（其中為單位算符）。當(dāng)測量到時可以認為輸入態(tài)是，因此MED測量可以表示為

能夠正確判斷測量結(jié)果的概率為

由于不允許出現(xiàn)錯誤，當(dāng)測量到O^i時輸入態(tài)一定是，這要求。當(dāng)測量到時，不能判斷輸入態(tài)。因此，能夠正確判斷測量結(jié)果的概率為

利用POVM測量，可以得到（3）和（6）式，同時也給出POVM元M^i和O^i的具體形式。然而，由于M^i和O^i都是非正交算符，在物理實驗中不可能直接實現(xiàn)，因而不能直接驗證理論的正確性。

一般情況下，輸入量子態(tài)的先驗概率是已知的，因此，以上所述的OUD和MED測量方案都可以稱為Bayesian（貝葉斯）非正交量子態(tài)的區(qū)分。本文研究在未知先驗概率的情況下，區(qū)分三個非正交量子態(tài)的最優(yōu)概率（MUD），主要研究確定性區(qū)分。我們首先確定三個非正交量子態(tài)的一般形式，然后利用可以在物理系統(tǒng)中可以直接實現(xiàn)的幺正變換，給出了求解這類問題的公式，同時，把這類區(qū)分和Bayesian（貝葉斯）非正交量子態(tài)的區(qū)分相互比較。我們的方法可以推廣到N個非正交量子態(tài)這類問題的區(qū)分。

1　區(qū)分兩個非量子態(tài)的測量

假設(shè)具有輸入先驗概率p1和 p2=1-p1的兩個非正交量子態(tài)，可以不是一般性的令兩個非正交量子態(tài)的內(nèi)積為，其中s∈（>0，1）和。我們首先讓輸入量子態(tài)經(jīng)過一個幺正變換，可以表示為

下面我們求成功概率的最大值。

從（7）式可以得到幺正變換的內(nèi)積為

顯然，從（9）式，可以直接得到最優(yōu)測量概率為

這可以和由（6）式的OUD測量作為比較，兩種測量方式得到的概率是一樣的，只是OUD的條件是先驗概率為p1=p2=1/ 2。下面我們求解三個非正交量子態(tài)的測量。

2　三個非正交量子態(tài)的測量

假設(shè)具有先驗概率 p1，p2和 p3的三個輸入非正交量子態(tài)，三個先驗概率滿足p1+p2+p2=1。我們研究確定性區(qū)分，因此，三個非正交量子態(tài)必須是線性無關(guān)的［3］。區(qū)分可以是一般性的，令三個非正交量子態(tài)的內(nèi)積為，其中sij∈（）0，1和。類似于兩個非正交量子態(tài)的測量，我們設(shè)幺正變換為

下面我們來求失敗概率的最小值。從（11）式可以得到量子態(tài)的內(nèi)積為

失敗態(tài)必須是線性相關(guān)的。反之，如果是線性無關(guān)的，可以再進行下一個幺正變換，直至失敗態(tài)線性無關(guān)為止。同時，可以設(shè)失敗態(tài)滿足

這樣，得到求解BUD的問題為在條件下，求Q（）BUD的最小值。

我們給出幺正變換的（14）式，也是給出可以直接測量的POVM。

在未知先驗概率時，這就意味著失敗概率不依賴先驗概率。因此，可以令qi=q≠1。在簡化條件后，可以給出Max（）sij＜q＜1的條件。所以，求解條件為 在條件下， 求Q（）MUD的最小值。

對于BUD和MED，它們有不同的標準，這就導(dǎo)致它們有不同的約束條件，（15）和（16）式就是它們的約束條件。例如，對于BUD，條件可以是qk＞sij，但對于MED，條件必須是q＞Max（）sij。同時，對于BUD，可以存在某個失敗概率是qk=1，這量子態(tài)不能被區(qū)分；但對于MUD，失敗概率條件q＜1保證所有的輸入量子態(tài)一定能被區(qū)分。下面，我們來比較這兩種區(qū)分。

3BUD和MUD的比較

對于BUD，從條件Δ~（）BUD=0可得，失敗態(tài)的行列式為：

其中 α=φ12+φ23+φ31稱為 Berry相?，F(xiàn)在考慮MUD，利用（16）式，經(jīng)過計算后可得到解析式

其中

現(xiàn)在對BUD和MUD做一個比較。假設(shè)三個非正交線性無關(guān)的量子態(tài)內(nèi)積為 s23=0.5，s31=0.3和0≤s12≤0.976，并且cosα=1，先驗概率相同 pi=1/3。在 0＜s12≤0.187 5區(qū)域內(nèi)，有qi＜1，則解為；在區(qū)域0.187 5≤s12≤0.6，有qi＜1，則解為；在區(qū)域內(nèi)，

圖1給出BUD和MUD的比較，其中MUD意味著的解可以直接從（18）式中得到。

圖1　BUD和MUD的比較，其中s23=0.5，s31=0.3和0≤s12≤0.976，并且cos α=1

圖2　以cosα為參數(shù)的

對于N≥4的情況，即：確定性區(qū)分N個線性無關(guān)的非正交量子態(tài)，我們提供的方法仍然有效。假設(shè)以先驗概率pi（且滿足給出N個線性無關(guān)的非正交量子態(tài)，其內(nèi)積為，則幺正變換為

其中失敗態(tài)滿足

4　結(jié)論

本文研究在未知先驗概率的情況下，研究確定性量子區(qū)分。首先研究了兩個非正交量子態(tài)的區(qū)分，然后推廣到三個線性無關(guān)的非正交量子態(tài)的區(qū)分。同時，我們將BUD和MUD的兩種結(jié)果作了比較。同時，我們提供的方法可以推廣到對N個線性無關(guān)的非正交量子態(tài)的確定性分。

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Minimax quantum state discrimination

ZHANG Wen-Hai，ZHANG Meng-Di

（School of Electronic Engineering，Huainan Normal University，Huainan Anhui，232038，China）

We derive the optimal probabilities for minimax unambiguous discrimination（MUD）among three pure states without knowing a priori probabilities.We present the formulation for solving the MUD problem，and make a detailed comparison between MUD and Bayesian unambiguous discrimination（BUD）with a priori probabilities when N=3.Our method can be generalized to any N linearly independent pure states.

quantum state discrimination；POVM measurement；unambiguous discrimination；Minimax unambiguous discrimination

O0413

A

1004-4329（2016）01-027-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）01-027-04

2015-10-11

淮南師范學(xué)院2015年“支持百名優(yōu)秀學(xué)生課外科技實踐創(chuàng)新活動基金”項目（2015XS157）資助。

張文海（1968-），男，博士，副教授，研究方向：量子信息。