一類兩體非X-型量子態(tài)的量子失諧

張傳彬，周建明，胡曉莉

(江漢大學數(shù)學與計算機科學學院，湖北 武漢 430056)

0 引言

其中px|y為已知隨機變量Y=y的條件下，隨機變量X=x的條件概率.經(jīng)典交互信息的另一種表達形式：

J(X,Y)=H(X)-H(X|Y)，

其中H(X|Y)=H(X,Y)-H(Y).

在量子信息理論中，兩體量子態(tài)ρab的量子交互信息可以表示為：

I(ρab)=S(ρa)+S(ρb)-S(ρab)

(1)

其中ρa=trb(ρab)為兩體量子態(tài)ρab在b空間上的偏跡；S(ρ)=-ρlog2ρ為馮·諾依曼熵，是經(jīng)典信息中香農(nóng)熵在量子信息中的推廣.

(2)

其中概率pk=tr(I?Bk)ρ(I?Bk),k=1,2.關(guān)于馮·諾依曼測量的條件信息被定義為：

I(ρ|{Bk})=S(ρa)-S(ρ|{Bk})

(3)

C(ρ)=sup{Bk}I(ρ|{Bk})

(4)

那么量子失諧被定義為：

Q(ρ)=I(ρ)-C(ρ)

(5)

關(guān)于兩體X-型量子態(tài)的量子失諧，目前已經(jīng)研究得比較深入.Luo等在2008年給出了X-型量子態(tài)量子失諧的解析解[2]；Jing N等給出了一般X-型量子態(tài)量子失諧的解析解[3]，但對非X-型量子態(tài)的研究較少[4].筆者考慮兩體非X-型量子態(tài)的量子失諧，在兩體X-型量子態(tài)[5]的基礎(chǔ)上，擴充其研究.

1 兩體非X-型量子態(tài)的量子失諧

本文中考慮下列兩體非X-型量子態(tài)ρ的量子失諧，其ρ由下式給出：

(6)

其中I為2×2的單位矩陣，σ1,σ2,σ3為Pauli矩陣，都是2×2的自旋復矩陣，s1,s2,s3,c∈R.由于任意一個兩體量子態(tài)都可通過酉變換落于Bloch球面上，因此我們不妨限制si,c∈[-1,1]，i=1,2,3量子態(tài)ρ的4個特征值為：

眾所周知，密度算子ρ應(yīng)滿足：①ρ的跡為1；②ρ為半正定算子.因此，特征值應(yīng)滿足如下條件：

(7)

(8)

因此，ρ的量子交互信息為：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

由于V+σiV落在三維單位球面上，因此我們可引入新變量z1,z2,z3，且

(15)

令θ=s1z1+s2z2+s3z3，則θ∈[-1,1].由(3)式、(4)式可得ρ的經(jīng)典關(guān)聯(lián)為：

(16)

(17)

最后，由(5)式可得ρ的量子失諧為：

(18)

定理對于(6)式中的兩體非X-態(tài)ρ，其量子失諧為：

(19)

首先，求出G(θ)對θ的導數(shù)，有：

1) 當θ=0時，G′(0)=1>0；

2) 當θ>0時，(1+θ)2(1-θ)2-c2(1-θ)2>(1+θ)2(1-θ)2-c2(1+θ)2，有G′(θ)>0

因此G(θ)在θ∈[0,1]上為增函數(shù),易知，G(θ)max=G(θmax).

最后將G(θ)max代入(18)式可得量子態(tài)ρ的量子失諧為(19)式.

2 兩個實例

圖1 例2中G(θ)的圖

例1考慮一種特殊情況，當s1=s2=s3=0，c′=-c時，兩體非X-型量子態(tài)ρ退化成Werner態(tài)：

(20)

在這種情況下，ρ的量子失諧為：

(21)

例2令s1=0.1，s2=0.2，s3=0.2，c=0.3，此時兩體非X-型量子態(tài)ρ為：

其特征值為：λ1=0.4，λ2=0.342 705，λ3=0.25，λ4=0.007 294 9；圖1中，給出了G(θ)關(guān)于θ的函數(shù)圖像，從圖中可以看出G(θ)隨著θ變化而變化的曲線圖形由定理可知Q(ρ)=0.611 1.

3 結(jié)論

量子失諧是兩體量子態(tài)的重要量子關(guān)聯(lián)之一，對任意的兩體量子態(tài)不是很容易求其解析解.本文中在考慮兩體非X-態(tài)的量子失諧時，發(fā)現(xiàn)其運算規(guī)律，求出其最優(yōu)解析解，擴展了兩體X-態(tài)的量子失諧問題.一般的兩體量子態(tài)含有9個參數(shù)，而由于這樣的量子態(tài)的特征值表達式過于復雜，導致本文中并沒有解決所有兩體量子態(tài)的量子失諧問題.事實上，從理論上說，帶參數(shù)的四階方陣的特征值總有其根式表達式，我們希望能找到參數(shù)之間的某種關(guān)系，使其特征值能得以化簡，從而計算出更一般的兩體量子態(tài)的量子失諧.