吳波，金星

(航天工程大學激光推進及其應用國家重點實驗室，北京 101416)

1 引言

人類航天發(fā)射活動的日益頻繁，導致空間碎片的數(shù)目已經(jīng)增長到嚴重威脅人類航天活動的程度，因此清除空間碎片已經(jīng)成為航天國家的共識[1-3]。其中尺寸為1～10cm的厘米級碎片由于數(shù)目較多難以機動規(guī)避、尺寸較大難以結(jié)構(gòu)性防護，成為了清除研究的主要對象[4]。而在諸多清除方式中，天基激光清除空間碎片方法由于其高效及時等特性，得到了廣泛關注和研究[5-8]。

激光清除空間碎片的原理是脈沖激光燒蝕碎片表面，由沖量耦合效應產(chǎn)生反噴沖量使碎片減速降軌，直至墜入大氣層中燒毀[5]，因此精準地計算碎片變軌參數(shù)、掌握碎片墜落軌跡是非常重要的一環(huán)。而由于碎片幾何形狀的差異，不同角度的激光燒蝕會產(chǎn)生不同的燒蝕力與燒蝕力矩。因此，本文選擇圓錐體碎片為研究對象，計算不同角度激光燒蝕產(chǎn)生的不同效果，對激光清除空間碎片具有重要意義。

2 圓錐體碎片的激光輻照區(qū)域與投影區(qū)域分析

圓錐體 (底面半徑為R＞0，高為H＞0，滿足高徑比H/R=tanε)為軸對稱，以底面圓確定Oxy平面，底面圓心為坐標原點O，對稱軸為z軸，激光入射方向所在平面確定Oyz平面，建立如圖1所示坐標系Oxyz。將激光入射方向與y軸正向夾角記為θ(即激光仰角為θ)，滿足-π/2≤θ≤π/2，則激光方向單位矢量m=(mx，my，mz)=(0，cosθ，sinθ)，圓錐體質(zhì)心位置為 (xc，yc，zc)=(0，0，H/4)。

圖1 大光斑激光燒蝕圓錐示意圖Fig.1 Large spot laser ablation on conical debris

由航天工程大學金星研究員提出的曲面積分理論[4]可知，圓錐體碎片表面面積微元dS受激光燒蝕產(chǎn)生的燒蝕反噴沖量微元dI= (dIx，dIy，dIz)T，滿足

其中，IL為激光功率密度，τ為激光脈寬，Cm為沖量耦合系數(shù)，n= (nx，ny，nz) 為dS外法向單位矢量。式 (1)中的積分式屬于第一類曲面積分，曲面S在Oxy平面上的投影域為Ω，若單值連續(xù)函數(shù)z=z(x，y)在Ω上有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則函數(shù)f(x，y，z)在曲面S上的積分滿足

單次脈沖激光作用時間為τ′，則單脈沖激光燒蝕力F=(Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z)T滿足

對于圓錐體碎片質(zhì)心的沖量矩微元為dLI=(dLIx，dLIy，dLIz)T，滿足

面積微元dS受單次脈沖激光燒蝕產(chǎn)生的力矩dLF= (dLFx，dLFy，dLFz)T，滿足

根據(jù)激光燒蝕判定原理[4]，若圓錐體表面點(x，y，z)處附近面積微元dS的外法向單位向量n與激光方向單位矢量m的夾角滿足(m，n)＞π/2，則此面積微元受激光燒蝕作用，此時m·n＜0。

故由圓錐體表面受不同仰角θ激光照射受輻照區(qū)域的不同，可以分為圖2中四種情形討論:

當-π/2≤θ＜-ε，即激光入射角度在區(qū)域Ⅰ范圍中時，激光燒蝕范圍為整個圓錐體上表面曲面S1，在Oxy平面上的投影區(qū)域為底面圓S2。

當-ε≤θ≤0，即激光入射角度在區(qū)域Ⅱ范圍中時，激光燒蝕范圍為圓錐體上表面曲面S1上滿足y≤0的部分以及滿足y＞0、γ＞γ0的部分，其中γ是定義圓錐體上表面曲面S1上滿足y＞0的點 (x，y，z)的函數(shù)

圖2 大光斑激光燒蝕圓錐分區(qū)域示意圖Fig.2 Interval partition of large spot laser ablation on conical debris

γ0為與圓錐體高徑比tanε、激光入射角度θ相關的定值

當0＜θ≤ε，即激光入射角度在區(qū)域Ⅲ范圍中時，激光燒蝕范圍為圓錐體上表面曲面S1上滿足y＜0、γ＜γ0的部分和底面S2，S1被燒蝕區(qū)域在Oxy平面上的投影區(qū)域如圖3所示。

當ε＜θ≤π/2，即激光入射角度在區(qū)域Ⅳ范圍中時，激光燒蝕范圍為圓錐體底面S2。

3 激光燒蝕力與力矩的計算

由式(1)-(5)，可計算出不同角度入射激光燒蝕圓錐體產(chǎn)生的燒蝕力與燒蝕力矩如下。

激光仰角θ滿足-π/2≤θ＜-ε時，燒蝕力大小F積分計算得到

由于-π/2≤θ＜ -ε，即Fy≥0，F(xiàn)z＜0，可知燒蝕力方向與y軸正方向成夾角θF∈ [-π/2，0]且滿足

力矩大小LF計算得到

圖3 θ∈ [-ε,ε]時圓錐上表面曲面S1上被激光燒蝕區(qū)域底面投影示意圖Fig.3 The projection of the ablated portion of surface S1on surface S2when θ∈ [-ε, ε]

力矩方向沿x軸，正負號表示方向沿著x軸正負方向。

激光仰角θ滿足-ε≤θ≤0時，燒蝕力大小F積分計算得到

其中

由于-ε≤θ≤0，則Fy＞0，F(xiàn)z＜0，可知燒蝕力方向與y軸正方向成夾角θF∈ (-π/2，0)且滿足

力矩大小計算得到

力矩方向沿x軸，正負號表示方向沿著x軸正負方向。

激光仰角θ滿足0＜θ≤ε時，燒蝕力大小F積分計算得到

其中

由于-ε≤θ＜0，可驗證得到Fy≥0，可知燒蝕力方向與y軸成夾角θF∈ (-π/2，π/2) 且滿足

力矩大小計算得到

力矩方向沿x軸，正負號表示方向沿著x軸正負方向。

激光仰角θ滿足ε＜θ≤π/2時，燒蝕力大小F積分計算得到

方向沿著z軸正方向。

力矩計算得到可以看出，當激光仰角θ滿足ε＜θ≤π/2時，即激光僅燒蝕圓錐體碎片底面部分時不產(chǎn)生燒蝕力矩。

4 計算分析

4.1 激光燒蝕力分析

用F1=CmFLτπR2/τ′對燒蝕力大小F進行無量綱化處理，有

仰角為θ的激光燒蝕圓錐體碎片產(chǎn)生的燒蝕力仰角θF可表示為式 (23)所示的分段函數(shù)

選取高徑比H/R為1/4、1/2、1、、2、4和8七種圓錐體作為研究對象，繪制出燒蝕力大小無量綱量F/F1、燒蝕力仰角θF隨著激光仰角θ的變化關系圖。

圖4 7種高徑比圓錐體F/F1、θF隨激光仰角θ變化圖Fig.4 F/F1and θFof cones with different H/R varies with θ

7種高徑比的圓錐體燒蝕力仰角θF隨著激光仰角θ的增加而增加，激光入射仰角θ從-π/2到π/2變化時，燒蝕力仰角θF也從-π/2逐漸增加到π/2。當-π/2≤θ＜-ε時，高徑比越大的圓錐燒蝕力仰角θF的增加速度越快；當-ε≤θ＜0時，所有高徑比的圓錐燒蝕力仰角θF的增加速度都很平緩；當0≤θ＜ε時，高徑比越大的圓錐燒蝕力仰角θF的增加速度反而越慢；當ε≤θ＜π/2時，所有高徑比的圓錐激光燒蝕力仰角θF都保持常數(shù)值π/2不變。

4.2 激光燒蝕力矩分析

圖5 不同高徑比圓錐體LF/LF1隨激光仰角θ變化圖Fig.5 LF/LF1of cones with different H/R varies with θ

5 小結(jié)

本文在已有的激光燒蝕理論、曲面積分理論以及激光燒蝕判定原理的基礎上，計算出不同角度激光燒蝕圓錐體碎片產(chǎn)生的燒蝕力與燒蝕力矩，給出了以圓錐體高徑比、激光入射角度為自變量的函數(shù)模型。精確計算出激光燒蝕力與力矩，能為精準安全地清除空間碎片提供數(shù)據(jù)和理論支持。

選取不同高徑比的圓錐體碎片進行研究，繪制出不同角度激光燒蝕圓錐體產(chǎn)生的燒蝕力與力矩圖，發(fā)現(xiàn)燒蝕力與力矩大小方向與激光入射角度、圓錐高徑比的關系具有良好的規(guī)律性。