基于Laguerre模型的數(shù)字電源預測控制器設(shè)計

(中國科學技術(shù)大學 自動化系，安徽 合肥 230022)

數(shù)字開關(guān)電源具有靈活性好、適用性廣等特點，受到人們的廣泛青睞。其常用的控制方法包括比例積分微分(PID)控制、自適應(yīng)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制和預測控制。其中，PID控制算法因簡單、技術(shù)成熟、穩(wěn)定可靠、控制快而應(yīng)用廣泛。但由于開關(guān)管、二極管、電感等非線性器件存在，開關(guān)電源系統(tǒng)非線性較強；且考慮到工業(yè)現(xiàn)場環(huán)境復雜，系統(tǒng)模型也面臨著發(fā)生改變的風險，因此傳統(tǒng)的PI控制往往捉襟見肘。

加拿大杜蒙特等研究了基于Laguerre 函數(shù)模型的自適應(yīng)預測控制算法。該函數(shù)模型參數(shù)中包含系統(tǒng)時延和階次的信息，對系統(tǒng)時延和階次變化跟蹤效果好，從而對控制時延和階次慢時變的系統(tǒng)有較強的魯棒性[1-2]。

本文將基于Laguerre模型的自適應(yīng)預測控制算法的性能指標函數(shù)與PI控制結(jié)合起來，獲得一種動態(tài)響應(yīng)快、穩(wěn)定性好的自適應(yīng)預測比例積分(PI)控制算法[3-5]，來滿足控制要求[6]。本文首先介紹了基于Laguerre模型的自適應(yīng)預測PI控制算法控制律，然后對該算法進行Matlab仿真及FPGA全硬件編程實現(xiàn)，最后在開關(guān)電源硬件平臺上實際證明，該算法相較于傳統(tǒng)比例積分(PI)控制，具有更快的動態(tài)響應(yīng)和更穩(wěn)定的輸出紋波特性。

1 開關(guān)電源平臺介紹

圖1為開關(guān)電源平臺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，該結(jié)構(gòu)包括主拓撲電路、電壓電流信號采集電路和FPGA控制電路三部分。輸出端的電壓電流信號送入控制器FPGA進行運算，輸出一定占空比的雙極性脈沖寬度調(diào)制(PWM)信號，控制逆變?nèi)珮?，繼而改變輸出，信號采集電路采集負載端信號再反饋給FPGA，實現(xiàn)數(shù)字閉環(huán)控制。以下為開關(guān)電源平臺系統(tǒng)設(shè)計指標：

① 輸出電壓：DC 10～30 V；

② 輸入電壓：3/N/PE～380 V，50 Hz；

③ 電壓紋波：不大于200 mV；

④ 輸出電流：10～150 A；

⑤ 開關(guān)頻率：fs=50 kHz；

⑥ 濾波電容:C=34000 μF；

⑦ 濾波電感:L=12 μH。

圖1 開關(guān)電源系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

2 基于Laguerre模型的預測PI控制

2.1 Laguerre函數(shù)模型

離散型Laguerre 函數(shù)的定義為

(1)

式中，a為Laguerre函數(shù)的極點。因為任意的平方積分有限的函數(shù)f(k)，都可以展開為Laguerre級數(shù)線性組合的形式，則有限階次的Laguerre級數(shù)近似能夠?qū)⑷魏我粋€開環(huán)環(huán)境下穩(wěn)定系統(tǒng)的輸出表示為

(2)

式中，li(z)=ψi(z)u(z)；ci為Laguerre函數(shù)加權(quán)系數(shù)；u(z)為系統(tǒng)輸入。

該系統(tǒng)的狀態(tài)方程用Laguerre函數(shù)構(gòu)成的線性加權(quán)近似為

(3)

式中，L(k)=[l1(k),l2(k),…,lN(k)]T為狀態(tài)向量；u(k)和ym(k)分別為模型在k時刻的輸入和輸出;C=[c1,c2,…,cN]T為狀態(tài)向量的加權(quán)系數(shù)，N為系統(tǒng)設(shè)定的階次;矩陣A和向量B與參數(shù)a的設(shè)定有關(guān)?；?Laguerre 函數(shù)近似模型的自適應(yīng)預測控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 基于Laguerre函數(shù)模型的自適應(yīng)預測控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

2.2 增量型預測控制

相對于位置型狀態(tài)方程，具有增量型狀態(tài)方程控制結(jié)構(gòu)的控制系統(tǒng)的靜態(tài)誤差較小。

增量型狀態(tài)方程為

(4)

式中，ΔL(k)=L(k)-L(k-1)，Δym(k)=ym(k)-ym(k-1)。

P和M分別表示系統(tǒng)的優(yōu)化時域和控制時域,并假定M次控制之后的增量為零,即

Δu(k+M+i)=0(i=0,1,2，…)

則由狀態(tài)方程式(4)可得

ΔYm(k+1)=HlΔL(k)+HuΔUM(k)

(5)

式中，ΔYm(k+1)=[Δym(k+1)，…，Δym(k+P)]T為未來P步輸出增量;ΔUm(k)=[Δu(k)，…，Δu(k+M-1)]T為模型該時刻起M個的控制量；矩陣Hl、矩陣Hu的定義如下：

則模型未來P步的輸出量為

Ym1(k+1)=SΔYm1(k+1)+Φym(k)

(6)

Φ=[1 1 … 1]T為P×1向量。

即可得到模型的輸出Ym1(k+1)為

Ym1(k+1)=SHlΔL(k)+Φym(k)+SHuΔUM(k)

(7)

其中,自由項響應(yīng)為

YP1=SHlΔL(k)+Φym(k)

(8)

式中,YP1=[yP(k+1) …yp(k+P)]T。

經(jīng)過反饋校正后，自由項Yp為

YP(k+1)=YP1(k+1)+K[y(k)-ym(k)]

(9)

式中，y(k)、ym(k)分別為系統(tǒng)k時刻的實際輸出和模型估計輸出；矩陣K為反饋增益矩陣。經(jīng)修正，未來P步的預測輸出Ym(k+1)為

Ym(k+1)=YP+SHuΔUM(k)

(10)

選取含有控制量增量加權(quán)的優(yōu)化性能指標為

J=[Yr(k+1)-Ym(k+1)]TQ[Yr(k+1)-

Ym(k+1)+ΔUM(k)TRΔUM(k)]

(11)

式中，Yr(k+1)=[yr(k+1) …yr(k+P)]T為未來P步的參考輸出向量，如式(12)所示

yr(k+i)=αiy(k)+(1-αi)w,i=1,2,…,P

(12)

式中，w為設(shè)定值；Q,R為加權(quán)矩陣；α為柔化因子。取?J/?ΔUM(k)=0，化簡之后可以得到最優(yōu)增量控制律為

(13)

取ΔUM(k)中的第一個元素作為系統(tǒng)當前的控制量，即

Δu(k)=DΔUM(k)

u(k)=u(k-1)+Δu(k)

式中，D=[1 0 … 0]1×M。

2.3 增量型預測PI控制

預測控制采樣周期長，計算量大，對隨機干擾實時控制效果差。此外，預測控制算法參數(shù)的選取通常是按照經(jīng)驗選取，而非實際的工程指標，而PI 控制與實際指標結(jié)合卻較為緊密。為了平衡兩種控制性能，可以將二者結(jié)合，引入增量預測變量，即基于Laguerre函數(shù)模型的自適應(yīng)預測PI控制算法。設(shè)優(yōu)化性能指標為

J=kp‖ΔYr(k+1)-ΔYm(k+1)‖2+

(14)

式中,ΔYr(k+1)=Yr(k+1)-Yr(k),ΔYm(k+1)=Ym(k+1)-Ym(k)；kp為比例系數(shù)；ki為積分系數(shù)。

取?J/?ΔUM(k)=0，經(jīng)過化簡可以得到

ΔU(k)=KP[ΔYr(k+1)-ΔYm(k+1)]+

KI[Yr(k+1)-Ym(k+1)]

(15)

其中，矩陣KP和KI表達式分別如下：

取ΔU(k)中的第1個元素作為系統(tǒng)當前控制量，即Δu(k)=DΔU(k)，可以寫為

Δu(k)=KP[ΔYr(k+1)-ΔYm(k+1)]+

KI[Yr(k+1)-Ym(k+1)]

(16)

式中，D=[1 0 … 0]1×M；kP=DKP；kI=DKI。

2.4 模型參數(shù)在線辨識

模型參數(shù)a確定后，L(k)可通過式(4)計算得到。模型輸出ym(k)則可由式(17)得到：

ym(k)=CTL(k)

(17)

C可采用式(18)最小二乘辨在線辨識得到[7]。

(18)

式中，C(k)為k時刻對參數(shù)C的估計值；初始值C(0)通過線下計算或者系統(tǒng)辨識獲?。篜(0)按照經(jīng)驗公式設(shè)置為104～1010；λ為遺忘因子，設(shè)置為0.9～0.99。

3 仿真實驗

3.1 特種電源控制系統(tǒng)仿真建模

運用有效占空比[8]的方法，可以建立開關(guān)電源的等效數(shù)學模型，再利用Matlab的c2d函數(shù)將開關(guān)電源系統(tǒng)傳遞函數(shù)離散化，得到的離散型傳遞函數(shù)為

(19)

使用仿真軟件Matlab編寫了兩種控制算法程序，以仿真比較兩種控制方法下的控制效果。經(jīng)過計算和實驗，確定比例系數(shù)kp=0.02，積分系數(shù)ki=0.01，其他的控制參數(shù)分別為：模型階次N=2，極點a=0.9，采樣周期T=0.001，預測時域長為P=3，柔化因子α=0.9，輸入加權(quán)矩陣R=I，遺忘因子λ=0.9。

3.2 系統(tǒng)響應(yīng)時間的比較

給定一個階躍輸入作為參考，系統(tǒng)的總仿真時間為2000個采樣周期。仿真結(jié)果如圖3所示。預測PI控制相對于傳統(tǒng)PI控制超調(diào)量從10.7%降低到了幾乎無超調(diào)，穩(wěn)定時間從19個采樣周期減少到了8個采樣周期，減少了57.9%。系統(tǒng)的超調(diào)量抑制以及動態(tài)響應(yīng)有了較大的提升。

圖3 預測PI控制與傳統(tǒng)PI控制仿真比較

3.3 系統(tǒng)時延變化時的比較

當開關(guān)電源系統(tǒng)發(fā)生變化時，如開關(guān)管的老化、損傷，系統(tǒng)模型參數(shù)也將發(fā)生相應(yīng)的變化。假設(shè)系統(tǒng)模型在300個采樣周期時發(fā)生變化，傳遞函數(shù)變?yōu)?/p>

(20)

繼續(xù)對兩種控制算法進行仿真，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 預測PI控制與傳統(tǒng)PI控制在變階次系統(tǒng)中仿真比較

由圖4可以看出，當系統(tǒng)階次發(fā)生變化時，傳統(tǒng)的PI控制效果變差，系統(tǒng)處于振蕩狀態(tài)，振蕩幅值約為9.8 V。而自適應(yīng)預測PI控制仍然較為平穩(wěn)，穩(wěn)定時間為10個周期左右，雖然系統(tǒng)存在5.2%左右的過沖，但是系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。

4 預測PI控制算法的FPGA實現(xiàn)

相對于DSP 串行處理機制，采用并行FPGA全硬件的方式實現(xiàn)自適應(yīng)預測PI控制算法，可以大大提升算法運行速度[9-10]，并通過引入采樣速率高達10 MHz的數(shù)模轉(zhuǎn)換芯片AD9240，進一步提高控制算法的響應(yīng)速度。

經(jīng)FPGA程序綜合后，程序模塊如圖5所示，共有電壓電流信號采集模塊[11]、LED指示模塊、數(shù)字濾波模塊、算法控制模塊、脈沖寬度調(diào)制模塊以及串口通信模塊6個模塊。

圖5 預測PI閉環(huán)控制算法程序模塊

全硬件實現(xiàn)方式對FPGA的硬件資源提出了較高的要求，例如預測PI控制算法涉及到的矩陣計算和向量運算需要用到大量的乘加運算，這就需要足夠的寄存器來保存中間結(jié)果。并且硬件資源消耗隨著矩陣的維數(shù)的增長而發(fā)生指數(shù)式增長[12-13]，故在算法實現(xiàn)過程中，Laguerre模型向量系數(shù)C向量長度選用為2。FPGA采用了CycloneIII 系列的EP3C40Q240，它擁有40 KB的邏輯單元，252 個九位乘法器，滿足算法計算需求。

5 實驗結(jié)果分析

圖6為特種電源硬件平臺，包含EMI濾波模塊、全橋整流模塊、變壓器、控制模塊以及輸出整流模塊。測試負載為4個阻值為1 Ω，最大功率可達1 kW的大功率波紋電阻并聯(lián)?；贚aguerre模型的預測PI控制算法及PI控制算法程序在特種電源平臺上實驗比較結(jié)果如圖7、圖8所示。

圖6 特種電源硬件平臺

系統(tǒng)輸出為10 V(萬用表測量)時，負載紋波如圖7所示，為了便于觀察示波器選用交流擋。從圖7可知，采用傳統(tǒng)PI控制時輸出紋波約為200 mV，采用預測PI控制時輸出紋波約為100 mV。

圖7 負載紋波測試

圖8為兩種控制算法下，負載從半載到滿載時，系統(tǒng)的負載動態(tài)響應(yīng)。負載由半載變?yōu)闈M載時，采用傳統(tǒng)PI控制時動態(tài)響應(yīng)時間為400 ms，電平變化幅度為0.5 V；采用預測PI控制時動態(tài)響應(yīng)時間為僅為100 ms，電平變化幅度僅為0.4 V。

圖8 負載動態(tài)響應(yīng)特性測試

由系統(tǒng)紋波還有負載動態(tài)響應(yīng)特性實驗結(jié)果可知，預測PI控制算法控制效果要好于PI控制算法。

6 結(jié)束語

對于開關(guān)電源的控制要求，推導了一種具有比例積分結(jié)構(gòu)的Laguerre模型自適應(yīng)預測控制算法。詳細介紹了該算法控制律、Matlab仿真及FPGA程序?qū)崿F(xiàn)。最終在開關(guān)電源平臺上的實際測試表明，該算法綜合了PI控制魯棒性好和基于Laguerre函數(shù)模型的自適應(yīng)預測控制對模型建模誤差及外界環(huán)境干擾適應(yīng)性強、系統(tǒng)慢時延變化魯棒性強等優(yōu)點，具有更快的動態(tài)特性和更穩(wěn)定的輸出紋波特性。