讓圖形“說話”，給數(shù)學(xué)建模助力

雷清蘭

學(xué)生獲得知識的過程是一個漸悟與頓悟相結(jié)合的過程，在這個過程中，教師要適時地給予指導(dǎo)，在關(guān)鍵處為學(xué)生架梯、搭橋，使學(xué)生能夠有所感悟，能夠觸發(fā)思維的節(jié)點。小學(xué)生的抽象思維能力比較弱，在解決一些較為抽象的問題時離不開形象直觀的輔助性工具，如圖形、可視化多媒體課件等，教師在教學(xué)中需優(yōu)化教學(xué)手段并提供一些“媒介”來幫助學(xué)生解決難題。

一、重組圖形，助思維飛躍，構(gòu)建“歸一”模型

數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果能夠引導(dǎo)學(xué)生在思考問題時思維“向前一步”，稍微“改變”一點點，往往能夠起到事半功倍的作用。而這“向前一步”，恰好為學(xué)生抽象思維的發(fā)展搭橋鋪路，為學(xué)生成功建模助力。

北師大版三年級《數(shù)學(xué)》下冊第17頁，教學(xué)內(nèi)容“買新書”（用“歸一法”解決問題），其情景問題是“200本書放在兩個書架上（每個書架有4層），平均每個書架每層放多少本書？”

淘氣的方法是先求每個書架放多少本書，列式200÷2=100（本），再求每層放多少本書，列式100÷4=25（本）。

笑笑的方法是先求兩個書架一共有幾層，列式2×4=8（層），再求每層放多少本書，列式200÷8=25（本）。對三年級的學(xué)生來說，要理解笑笑的方法，僅有教材的情景圖是不夠的，還需要教師對圖形稍作優(yōu)化。

可在課本情景圖的基礎(chǔ)上，把圖形稍作改變，讓兩個書架疊放起來，如圖1所示。既出示課本的情景圖，又出示疊加的書架圖，這樣對學(xué)生理解笑笑的解答方法200÷（2×4），會有很大的幫助。為什么要先把2×4算出來？看到圖1中兩個疊起來的柜子，學(xué)生一下子就“恍然大悟”。柜子疊起來后，直觀的圖形告訴學(xué)生，兩個書架一共有（2×4）層書柜，所以要求每層能夠放多少本書，可以直接列式：200÷（2×4）。

我們不要小看這會“說話”的書架圖，實際上是讓學(xué)生的思維邁了一大步，對“歸一”問題的另類解法進行了恰如其分的數(shù)學(xué)建模。毫不夸張地說，學(xué)生理解好了這一環(huán)節(jié)，以后解決這類“歸一”問題時便能得心應(yīng)手了。

在教學(xué)中，教師要善于把握這樣的契機，運用數(shù)形結(jié)合思想優(yōu)化圖形，促成學(xué)生思維的飛躍。

二、添加“方塊”，助數(shù)感建立，構(gòu)建豎式模型

一年級學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，很大程度上需借助肢體動作。他們在學(xué)習(xí)簡單計數(shù)和加減法的時候，往往借助數(shù)手指、擺小棒、擺小方塊等操作來建立形象思維。

在數(shù)的學(xué)習(xí)中，主要通過數(shù)數(shù)、計數(shù)、計算讓學(xué)生逐步建立數(shù)感，從而能夠理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。對于低年級的學(xué)生來說，建立數(shù)感的方法主要是依靠教師去引導(dǎo)的動手操作，如畫圖、用實物模擬數(shù)的場景等，并運用數(shù)形結(jié)合思想來進行數(shù)的學(xué)習(xí)，促進數(shù)感的建立。

如在教授北師大版一年級《數(shù)學(xué)》下冊“百以內(nèi)的進位加法”時，可以借助圖2幫助學(xué)生理解。在圖2中，如果只有上邊的小方塊，學(xué)生的學(xué)習(xí)意識往往停留在“動作”上，難以上升為“思維”;如果只有下邊的豎式，學(xué)生看到的是“單調(diào)”的數(shù)和抽象的豎式，也難以形成自己的“數(shù)感”，難以發(fā)展數(shù)形結(jié)合的思想和口算能力?？梢哉f，圖2上邊的小方塊與下邊的豎式是相輔相成的，對學(xué)生認知能力的提升、思維發(fā)展等，都有較大的幫助（圖2借鑒了臺灣地區(qū)教材“小學(xué)課本100學(xué)年第3冊”第19頁的部分內(nèi)容）。

對于一年級的學(xué)生而言，豎式是“新鮮事物”，在學(xué)習(xí)豎式的時候，可以借助常用的計數(shù)工具——小棒或者小方塊。只有找到了學(xué)生的認知起點，有了形象的圖形做參照物，學(xué)生對豎式的領(lǐng)會與把握才會水到渠成。同時，也有助于數(shù)感的建立、直觀思維向抽象思維的發(fā)展，以及由直觀圖形到豎式計算的建模。

三、漸變圖形，行轉(zhuǎn)化之妙，構(gòu)建“柱體”模型

圖形面積、體積的計算，一方面是用面積單位或體積單位去度量物體的面積或體積，從而得出物體面積或者體積的大小;另一方面，是通過轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想去推導(dǎo)幾何形體的面積或者體積的計算方法。“度量”只是認知思維的第一步，真正要讓學(xué)生理解領(lǐng)會的是，通過轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、運用等積變形的數(shù)學(xué)規(guī)律，掌握一種解決問題的思路、方法與策略。

我們的教材，在推導(dǎo)圓柱體體積的計算公式時，普遍是把圓柱沿高切割成若干等份后，拼成一個近似的長方體，然后由近似長方體的體積推導(dǎo)出圓柱體體積。這樣的推導(dǎo)運用了知識的遷移思維：圓面積的計算公式是把圓變成近似長方形進行推導(dǎo)的;同理，圓柱體體積計算公式則把它變成近似的長方體進行推導(dǎo)。

其實，推導(dǎo)圓柱體體積計算公式，我們還可以運用“漸變”的極限思想。五年級的學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長方體體積計算公式，知道長方體體積=底面積×高，以此類推，圖3中的一個三棱柱的體積=1/2長方體體積=1/2×長方體底面積×高=三棱柱底面積×高。

在學(xué)生觀察圖4 的過程中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生去思考：三棱柱的體積=底面積×高，長方體（四棱柱）體積=底面積×高，通過底面的虛線可以看出，五棱柱能夠分割成三個三棱柱，故可以推出其體積也是等于底面積×高。接著再讓學(xué)生展開想象，當(dāng)柱體的底面邊數(shù)無限多的時候，多棱柱也會漸漸變成圓柱體。從這個角度就可以較容易地引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出圓柱體體積的計算公式為底面積乘以高。

圖4的系列組圖，可以“悄悄”地“告訴”學(xué)生圓柱是怎樣“成長”的，圓柱的體積經(jīng)歷了怎樣的“變化過程”。這樣，教師借助直觀圖形，在學(xué)生的頭腦中滲透了漸變、極限、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，并教會他們運用這些方法構(gòu)建圓柱體體積計算方法的數(shù)學(xué)模型。

總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，為學(xué)生提供解決問題的方法，為學(xué)生的建模提供思路和參考。數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，其實就是建模的學(xué)習(xí)。因此，無論是為了學(xué)生抽象思維的形成與發(fā)展，還是指導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)建模，都需要教師優(yōu)化教學(xué)“媒介”，為他們發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)搭橋鋪路。

責(zé)任編輯 羅 峰

實習(xí)編輯 蔡李鈺