蔣 楠

(山西廣播電視大學(xué) 公共基礎(chǔ)學(xué)院,山西 太原 030027)

0 引言

由于混沌系統(tǒng)具有對(duì)初始條件敏感性、長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性和偽隨機(jī)性等特點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于保密通信、擴(kuò)頻通信[1-2]、信息圖像加密[3-4]等研究領(lǐng)域。其中混沌原理在保密通信的應(yīng)用中,需要發(fā)射終端的混沌系統(tǒng)與接收終端的混沌系統(tǒng)達(dá)到同步,因此混沌系統(tǒng)同步控制方法是保密通信的核心內(nèi)容,近幾年受到了廣泛關(guān)注,并成為研究的熱點(diǎn)。混沌同步是指驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的軌道收斂于響應(yīng)系統(tǒng)軌道的同一個(gè)值,學(xué)者們提出了許多混沌系統(tǒng)同步控制的方法,比如投影控制同步法[5-6]、自適應(yīng)控制同步法[7]、主動(dòng)控制同步法[8]、耦合同步控制法[9]和非線性控制同步法等。

Rossler系統(tǒng)僅含有一個(gè)非線性項(xiàng)且存在復(fù)雜混沌行為,許多學(xué)者對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了深入的研究,得到了大量的研究結(jié)果。文獻(xiàn)[10]研究了Rossler系統(tǒng)在參數(shù)不確定的情況下實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)同步;文獻(xiàn)[11]利用參數(shù)識(shí)別方法,實(shí)現(xiàn)了超混沌Rossler 系統(tǒng)的自適應(yīng)同步;文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)了主動(dòng)控制器,實(shí)現(xiàn)了Rossler系統(tǒng)與統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的漸近同步。在實(shí)際工程中,耦合同步[13]的收斂速度較快、應(yīng)用較為廣泛,主要適用于子系統(tǒng)不能分解的混沌系統(tǒng),其關(guān)鍵在于耦合強(qiáng)度的確定。耦合同步主要包括單向同步和雙向同步。由于雙向同步的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)互相影響,驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)受到干擾,此方法較為少用。單向耦合同步中驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)不受干擾,僅對(duì)響應(yīng)系統(tǒng)中的系統(tǒng)狀態(tài)變量進(jìn)行耦合,是一種有效且易于實(shí)現(xiàn)的方法。文獻(xiàn)[14]通過函數(shù)耦合實(shí)現(xiàn)了Duffing系統(tǒng)的混沌同步。文獻(xiàn)[15]通過單向耦合,利用Lyapunov穩(wěn)定性定理,采用全局同步法分別證明了Lorenz系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)自同步的可靠性。文獻(xiàn)[16]基于Lyapunov穩(wěn)定性理論,構(gòu)造了Lyapunov函數(shù),實(shí)現(xiàn)了Chen超混沌系統(tǒng)的線性耦合同步。文獻(xiàn)[17]針對(duì)非線性Chua電路,實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的線性耦合同步。

上述文獻(xiàn)所研究的混沌同步問題中,驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)都需要設(shè)計(jì)若干個(gè)狀態(tài)變量來控制響應(yīng)系統(tǒng),但在通信工程的實(shí)際操作中僅發(fā)射單個(gè)狀態(tài)變量?；诖耍疚臏p少系統(tǒng)狀態(tài)變量的耦合數(shù)目,僅對(duì)單個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)變量進(jìn)行耦合,從實(shí)際需要出發(fā)改進(jìn)了單向耦合同步法,利用Routh-Hurwitz穩(wěn)定性準(zhǔn)則,判定誤差系統(tǒng)系數(shù)矩陣的特征值符號(hào),通過推導(dǎo)同步誤差漸近穩(wěn)定耦合系數(shù)所需要滿足的充分條件,使Rossler混沌系統(tǒng)達(dá)到同步,更具有現(xiàn)實(shí)研究?jī)r(jià)值意義。

1 Rossler系統(tǒng)單一狀態(tài)變量耦合同步

1.1 系統(tǒng)模型

Rossler系統(tǒng)自1976年被發(fā)現(xiàn)以來,已經(jīng)得到深入的研究。其主要優(yōu)點(diǎn)在于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,卻具有非常復(fù)雜的混沌特性,它的方程組為:

圖1 Rossler吸引子Fig.1 Rossler attractor

式中:a,b,c為參數(shù)；x1,y1,z1為控制變量。當(dāng)a=0.2,b=0.2,c=5.7時(shí),系統(tǒng)呈混沌狀態(tài),此時(shí)Rossler系統(tǒng)的吸引子相空間圖如圖1所示。本文以Rossler系統(tǒng)為例提出混沌系統(tǒng)的單一狀態(tài)變量耦合同步方法。

為了實(shí)現(xiàn)Rossler 系統(tǒng)的單一狀態(tài)變量耦合同步,選取Rossler 系統(tǒng)分別作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2):

(1)

(2)

式中:k1,k2,k3為耦合系數(shù)。在混沌系統(tǒng)耦合同步問題中,只有適當(dāng)?shù)鸟詈蠌?qiáng)度才能實(shí)現(xiàn)同步,其中Lyapunov指數(shù)法和Lyapunov函數(shù)法是確定耦合強(qiáng)度的主要方法。由于線性系統(tǒng)理論不適用于非線性系統(tǒng),Lyapunov函數(shù)的選擇沒有普遍適用法,僅憑經(jīng)驗(yàn)確定,不具有科學(xué)性和準(zhǔn)確性;誤差系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)的計(jì)算量較大,甚至無法計(jì)算,因此耦合強(qiáng)度的確定較為困難。由于在實(shí)際應(yīng)用中,通常只發(fā)射單一變量,因此改進(jìn)單向耦合同步法,選取響應(yīng)系統(tǒng)(3),對(duì)一個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)變量耦合,從而實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步。

(3)

式中:k為耦合系數(shù)。定義同步誤差為:

(4)

則為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(3)的同步,由(3)減(1)得到誤差系統(tǒng):

(5)

誤差系統(tǒng)的系數(shù)矩陣為:

(6)

(7)

根據(jù)對(duì)稱矩陣B(t)的特征值等于系數(shù)矩陣A(t)的特征值實(shí)部,設(shè)λa為B(t)的最小特征值、λb為B(t)的最大特征值。由文獻(xiàn)[18]得到如下引理。

(8)

若?ε>0,?λb<-ε,則對(duì)于任意給定的初值x(0),x(t)收斂為零。

如果式(7)解滿足式(8),則誤差系統(tǒng)e(t)收斂為零,即Rossler混沌系統(tǒng)達(dá)到漸近同步。

1.2 Rossler系統(tǒng)單向耦合同步及穩(wěn)定性分析

定理如果耦合系數(shù)k滿足如下條件:

(9)

s0=ak+ac(a-c)+ck(c+k)+(a-k)(k-a+2c+ak)-3ack>0

(10)

p=c+k-a>0

(11)

則對(duì)于任意初始值,當(dāng)t→∞,單一耦合的Rossler系統(tǒng)達(dá)到漸近同步。

證明對(duì)稱矩陣B(t)的特征多項(xiàng)式為:

λ3+pλ2+qλ+r=0

(12)

式中:p=c+k-a-x2,

令s=pq-r,則:

ck(c+k)+(a-k)(k-a+2c+ak-3ack)=s0

根據(jù)Routh-Hurwiz穩(wěn)定性準(zhǔn)則,若滿足p>0,q>0,r>0,s>0,則特征多項(xiàng)式(12)的所有特征值均小于零。此時(shí),誤差系統(tǒng)(5)的解滿足引理,誤差系統(tǒng)e(t)收斂為零,即Rossler混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)單一狀態(tài)變量耦合同步。證畢。

2 數(shù)值仿真

運(yùn)用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真,取時(shí)間步長(zhǎng)τ=0.001 s,采用四階龍格庫塔法求解方程(1)和(3)。誤差初始值為[e1,e2,e3]=[-5,4,-7],k=720,滿足上述定理。圖2 為同步誤差曲線。當(dāng)時(shí)間t接近4 s時(shí),系統(tǒng)同步誤差e1穩(wěn)定并趨于原點(diǎn);當(dāng)時(shí)間t接近5 s時(shí),系統(tǒng)同步誤差e2穩(wěn)定并趨于原點(diǎn);當(dāng)時(shí)間t接近3 s時(shí),系統(tǒng)同步誤差e3穩(wěn)定并趨于原點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,3個(gè)系統(tǒng)同步誤差可以隨時(shí)間的變化穩(wěn)定并趨于原點(diǎn),Rossler系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)單一狀態(tài)變量耦合同步,證明了上述結(jié)論的有效性。

圖2 采用耦合方法的同步誤差圖Fig.2 The synchronization errors with coupling method

3 結(jié)語

在混沌同步的控制方法中,耦合同步收斂的速度較快,但未知的耦合強(qiáng)度卻難以確定。本文選取Rossler混沌系統(tǒng)為研究對(duì)象,從工程實(shí)際需要出發(fā)改進(jìn)了單向耦合同步法,提出了單一狀態(tài)變量耦合同步法,即對(duì)一個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)變量進(jìn)行耦合;利用Routh-Hurwiz穩(wěn)定性準(zhǔn)則,經(jīng)過數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)得到了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定時(shí)耦合系數(shù)需要滿足的充分條件,最終實(shí)現(xiàn)了Rossler混沌系統(tǒng)單一狀態(tài)變量的耦合同步。最后數(shù)值仿真的結(jié)果證明了此方法的正確性和可行性。后續(xù)工作將以超混沌系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)為研究對(duì)象,有效實(shí)現(xiàn)同步控制,以期提高魯棒性和抗干擾能力,在實(shí)際工程中得到廣泛的應(yīng)用。