江亞波

[摘? 要] 深度教學給數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)展提供了肥沃的土壤，文章以浙教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊“一元二次方程”為教學嘗試，通過教師深入地理解數(shù)學本質、剖析數(shù)學過程、挖掘數(shù)學思想，以期提升學生的技能，訓練學生的思維，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 深度教學;一元二次方程;數(shù)學核心素養(yǎng);教學策略

數(shù)學深度教學是指教師在深刻理解和把握數(shù)學學科本質的基礎上，通過讓學生深度參與其中，以期提升學生技能、訓練學生思維、培養(yǎng)學生素養(yǎng)的一種教學形態(tài). 它能觸及數(shù)學知識底部和本質，探查數(shù)學知識之間的關聯(lián)，其目標指向學生的數(shù)學素養(yǎng). 浙教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊“2.1 一元二次方程”是系統(tǒng)認識一元二次方程的起點. 一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量相等關系的重要數(shù)學模型[1]. 產生、定義與表示一元二次方程的過程和蘊含其中的抽象思想、歸納思想、符號表示思想、演繹思想，以及用一元二次方程概念進行辨別和求二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的數(shù)學活動經驗等，對培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)有著重要的促進作用. 那么，怎樣才能使基于深度教學的“一元二次方程”發(fā)揮應有的教育價值呢？筆者在多次螺旋式加深發(fā)展的教學探索與思考基礎上，形成教學經驗進行實踐并反思.

1. 以史激趣，創(chuàng)設情境

師：大家看過《九章算術》嗎？它是中國古代第一部數(shù)學專著，里面收集了許多有趣的數(shù)學小故事，今天筆者就給大家分享其中一個.

問題1（《九章算術》卷九 ）今有戶不知高廣，竿不知長短，橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出. 問竹竿長幾何？設竹竿的長為x尺， 可列出方程：________.

（學生思考片刻后）

師：你是怎么將這個實際問題進行數(shù)學化處理的？

生1：我先把門框看成一個矩形，竹竿看成一條線段，然后根據勾股定理便找到了等量關系（如圖1）.

師：這位同學回答得非常出色. 他很善于借助幾何直觀，將一個看似復雜的數(shù)學問題，通過畫圖，變得簡明、形象.

問題2有一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字小3，個位數(shù)字的平方與這個數(shù)字相等，求這個數(shù). 設這個兩位數(shù)的個位數(shù)字是n，可列出方程：________.

設計意圖? 作為課堂教學的前奏，這是激發(fā)學生學習興趣的首要環(huán)節(jié)，所以情境引入從幾何和代數(shù)兩個方面設置實例，讓學生從實際問題中經歷一元二次方程概念的產生過程. 尤其是問題1的設置，融入數(shù)學史的教育，在實際教學過程中學生發(fā)言踴躍，既調節(jié)了課堂氣氛，又激發(fā)了學生的學習興趣，達到了“寓教于樂”的效果.

2. 類比分析，形成概念

師：現(xiàn)在請大家觀察上述所列的兩個方程，思考它們與一元一次方程有什么相同點和不同點.

生2：相同點是都是方程，兩邊都是整式，都含有一個未知數(shù);不同點是一元一次方程未知數(shù)的最高次數(shù)是1，而這兩個方程未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

師：好的. 上述所列方程有何共同特征？

生3：它們都含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)都是2，左右兩邊都是整式.

師：歸納得非常好！一般來說，兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫一元二次方程.

設計意圖類比可以激發(fā)學生的探索熱情，激活原有知識結構新的生長點，促進知識遷移. 學生已經理解并掌握了一元一次方程的概念，所以根據建構主義理論，建立在一元一次方程的概念之上，才能有效地建構一元二次方程的概念. 學生通過觀察、類比以及分析、歸納，能逐步形成一元二次方程的概念.

3. 辨別歸納，統(tǒng)一形式

例1?請根據一元二次方程的概念，判斷下列方程是否是一元二次方程.

（前面5個小題都是讓學生一一解說判斷的結果與判斷的依據）

師：方程（6）是一元二次方程嗎？

（大多數(shù)同學都舉起了手，筆者請其中一位沒有舉手的同學回答）

師：你為什么覺得這個方程不是一元二次方程？

生4：去括號、合并同類項后發(fā)現(xiàn)左右兩邊的2y2都被消掉了，所以它不是一元二次方程.

師：（豎起大拇指）這位同學很會思考問題. （并進行了必要的板演）所以該方程是一元一次方程，我們不能被它的表象所迷惑哦！現(xiàn)在我們再看方程（7）.

設計意圖從數(shù)學知識學習的角度看，經過深度加工的學習內容是具有挑戰(zhàn)性的，是觸及知識底部和本質的. 該例題及幾個變式的設置，門檻低，立意高，重思維，促發(fā)展. 深度教學，既能讓學生深刻把握一元二次方程根的意義，又能為后續(xù)二次函數(shù)的學習產生深遠的影響，從而讓學生感悟到數(shù)學知識之間的內在聯(lián)系.

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)需要教師的深度教學，應從學生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，以學生的認知水平為基礎，以教材內容為載體，教一些學生“跳一跳，能夠得著”的知識，讓學生學一些既來源于教材，又高于教材的內容. 教學中通過教師深度把握數(shù)學本質、剖析數(shù)學過程、挖掘數(shù)學思想，能讓數(shù)學核心素養(yǎng)真正“落地生根”.

1. 深度理解數(shù)學本質

數(shù)學在本質上研究的是抽象的東西[2]. 數(shù)學課程改革強調對數(shù)學本質的認識與理解，因此，教師應足夠地重視數(shù)學本質的深刻把握. 如對例2的深度挖掘，也是基于對“一元二次方程的根”最本質的理解與把握. 如果僅僅講完教材中的例2就草草了事，而后馬上進入習題練習，試圖通過大量的訓練達到對知識的理解與鞏固，那肯定是事倍功半. 在教學過程中，教師的深度教學對學生數(shù)學運算、邏輯推理和數(shù)學抽象素養(yǎng)的提升有很大的幫助。

2. 深度剖析數(shù)學過程

剖析數(shù)學過程，實際上就是教師將數(shù)學的文本形式轉化為數(shù)學家最初的思維過程，通過這樣一種“暴露”數(shù)學家艱難探索、推理過程的方式，讓學生了解到知識的來龍去脈，感悟到數(shù)學的魅力所在. 正如一元二次方程一般形式的推出過程，如果只是“蜻蜓點水”“一筆帶過”，那整個教學過程不僅顯得突兀，而且對提升學生的思維毫無益處. 但是當學生經歷了上述推導過程之后，他們就能感悟到一元二次方程轉化為一般形式的必要性，并發(fā)現(xiàn)一元二次方程具有形式上的統(tǒng)一，在此過程中，學生的數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)也會在不知不覺間提升.

3. 深度挖掘數(shù)學思想

教師的深度教學，從學生的實際水平出發(fā)，充分挖掘教材當中隱含的數(shù)學思想，并滲透到相應的教學內容之中，能讓學生更好地理解知識內涵，從而有效提升自身的數(shù)學素養(yǎng). 如在問題1的解決過程中，學生首先面臨的問題是“如何將這一實際問題進行數(shù)學化處理”. 通過教師的適時引導，學生意識到“可以把門框看成一個矩形，竹竿看成一條線段，然后根據勾股定理找到等量關系”. 雖然該過程比較簡短，但是方程思想和轉化思想已悄然滲透;直觀想象、數(shù)學模型和數(shù)學運算素養(yǎng)也在慢慢提升.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]史寧中. 數(shù)學基本思想18講[M]. 北京：北京師范大學出版社，2016.