王海圓 李建禎 蘇 貞

（江蘇科技大學(xué) 鎮(zhèn)江 212003）

1 引言

深水半潛式支持平臺(tái)主要是用于海洋油氣資源開發(fā)相關(guān)的海上支持作業(yè)，可為海上生產(chǎn)平臺(tái)提供物資補(bǔ)給、存儲(chǔ)和轉(zhuǎn)運(yùn)，同時(shí)為海上生產(chǎn)平臺(tái)作業(yè)提供支持，減少生產(chǎn)平臺(tái)負(fù)荷。同時(shí)為數(shù)百名海上生產(chǎn)平臺(tái)作業(yè)人員提供服務(wù)，保障良好的人員休整效果。平臺(tái)靠泊即為深水半潛式支持平臺(tái)向海上生產(chǎn)平臺(tái)靠泊的過程。為提高靠泊的效率，縮短靠泊的時(shí)間，在規(guī)劃靠泊的路線時(shí)，需要充分利用已知的條件，使支持平臺(tái)盡可能地沿著最短時(shí)間軌跡進(jìn)行航行并避開海上設(shè)施所在的區(qū)域［1]。這一實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化成具有約束的非線性最優(yōu)控制問題，進(jìn)而采用求解最優(yōu)控制問題的方法去求解，得到在滿足給定約束條件下的最短時(shí)間路徑。

求解航跡規(guī)劃的最優(yōu)控制問題的數(shù)值方法可分為直接法和間接法，間接法基于Pontryagin極小值原理推導(dǎo)最優(yōu)控制的一階必要條件將原問題轉(zhuǎn)換為哈密頓邊值問題［2]求解，間接法的缺點(diǎn)為存在收斂域小，難以估計(jì)協(xié)態(tài)變量初值等不足，且對(duì)于多路徑約束，間接法的推導(dǎo)過程十分復(fù)雜。直接法則是采用參數(shù)化方法將連續(xù)的空間的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃（Nonlinear Programming，NLP）問題求解，其避免了間接法在優(yōu)化過程中遇到的求解兩點(diǎn)邊值問題，使得軌跡優(yōu)化問題的求解更適用于數(shù)字計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)，更加易于實(shí)現(xiàn)［3]。近些年來，偽譜法由于具有全局特性、高精度和高效率，在軌跡優(yōu)化領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。

鑒于以上原因，以半潛式支持平臺(tái)為研究對(duì)象，利用偽譜法對(duì)支持平臺(tái)靠泊海上生產(chǎn)平臺(tái)進(jìn)行軌跡優(yōu)化，得到支持平臺(tái)在避開障礙物以及一些約束條件下，以最短時(shí)間到達(dá)靠泊位置的優(yōu)化軌跡。常見的偽譜法有 Legendre偽譜法［4]、Radau偽譜法［5]、高斯偽譜法［6]以及Chehyshev偽譜法。

2 問題描述

2.1 半潛式支持平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型

在靠泊的過程中，支持平臺(tái)在低速狀態(tài)下運(yùn)行。忽略平臺(tái)的高頻運(yùn)動(dòng)，船舶在橫蕩、縱蕩、艏搖三個(gè)方向上的低頻運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型如下［7]：

式中，x，y，φ分別表示支持平臺(tái)在大地坐標(biāo)系下的縱蕩上的位移、橫蕩上的位移和艏搖角度。u，v，r分別表示支持平臺(tái)的縱蕩、橫蕩和艏搖速度。V為支持平臺(tái)速度矢量V=[uvr]T，M是包含附加質(zhì)量的系統(tǒng)慣性矩陣，D是水動(dòng)力阻尼矩陣。

式中：m表示半潛式支持平臺(tái)的總質(zhì)量，Xv?、Yv?、Yr?、Nv?、Nr?為附加質(zhì)量系數(shù)；Iz表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣性矩陣；xg表示支持平臺(tái)中心和重心間的距離，一般取為0；Xu、Yv、Yr、Nv、Nr表示為水動(dòng)力系數(shù)，τenv表示外界環(huán)境載荷，其包括風(fēng)平均載荷、二階波浪漂移力和流平均載荷；τthr表示推進(jìn)器的推力［8]。

2.2 環(huán)境擾動(dòng)力的數(shù)學(xué)模型

在支持平臺(tái)靠泊的過程中會(huì)受到海洋環(huán)境（主要包括海風(fēng)、海浪和海流）的影響。平臺(tái)所受到的環(huán)境力表示為

式中，τwind，τwave和τcurrent分別表示風(fēng)力、浪力和流力。它們的數(shù)學(xué)模型一般采用經(jīng)驗(yàn)公式或數(shù)值方法來進(jìn)行估算［9]。

2.3 推力的數(shù)學(xué)模型

支持平臺(tái)的推力系統(tǒng)產(chǎn)生三自由度方向上的縱向合力、橫向合力和回轉(zhuǎn)力矩可以表示為

式中，(lxilyi)為第i個(gè)推進(jìn)器在水平面的位置，為n個(gè)推進(jìn)器的推力大小的向量表示；α=[α1α2...αn]表示n個(gè)推進(jìn)器推力角度的向量表示［10～11]。

2.4 約束限制

支持平臺(tái)在航行的過程中，要避開在航跡過程中的海上設(shè)施才能到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)。航跡的約束可以表示為

2.5 目標(biāo)函數(shù)

為了縮短支持平臺(tái)的靠泊時(shí)間，提高靠泊效率，在滿足約束的條件下，以時(shí)間最短為性能指標(biāo)函數(shù)，規(guī)劃出最優(yōu)軌跡。因此性能指標(biāo)可以表示為

式中，t0和tf分別為起始時(shí)間和最終時(shí)間。

3 偽譜法求解最優(yōu)控制問題

偽譜法將一個(gè)連續(xù)的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)含有若干未知參數(shù)的非線性規(guī)劃問題，再通過非線性規(guī)劃算法進(jìn)行求解。

Radau偽譜法將支持平臺(tái)航跡最優(yōu)控制問題的狀態(tài)變量和控制變量在一系列LGR（Legendre-Gauss-Radau）點(diǎn)上離散，并以離散點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式來逼近狀態(tài)變量和控制變量。接著通過對(duì)全局插值多項(xiàng)式求導(dǎo)來近似狀態(tài)變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，從而將微分方程約束轉(zhuǎn)換為一組代數(shù)約束。經(jīng)過上述變換后，可將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為具有一系列代數(shù)約束的NLP問題［12～14]。

3.1 最優(yōu)控制問題

一般的最優(yōu)控制問題可描述為：尋找最優(yōu)控制變量u（t），最小化Bolza型目標(biāo)函數(shù)：

3.2 時(shí)域變換

設(shè)最優(yōu)控制問題的時(shí)間區(qū)間為t=[t0，tf]，采用Radau偽譜法則需要將時(shí)間區(qū)間轉(zhuǎn)換到［-1，1]。因此對(duì)時(shí)間變量t作變換：

3.3 離散化

Radau偽譜法選取N階LGR點(diǎn)τn（n=1，2，…，N），即多項(xiàng)式的根，以及τ0=-1為節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造N+1個(gè)拉格朗日插值多項(xiàng)式Li(τ)（i=0，1，…，N）為基函數(shù)近似狀態(tài)變量：

其中：

采用N階拉格朗日插值多項(xiàng)式為基函數(shù)近似控制變量：

狀態(tài)變量的一階微分可通過對(duì)式求導(dǎo)來近似，將動(dòng)力學(xué)微分方程約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束。

式中，Dni由式（19）確定：

其中：

所以動(dòng)力學(xué)方程滿足：

式中，n=1，…，N。

終端狀態(tài)Xf可以通過拉格朗日積分得到：

目標(biāo)函數(shù)中的積分項(xiàng)用Gauss積分近似：

其中：

通過上述離散，Radau偽譜法將連續(xù)最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題，利用序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行尋優(yōu)，可得到需要的最優(yōu)軌跡。其設(shè)計(jì)變量可以包括狀態(tài)變量( )X0，X1，…，XN、控 制 變 量初始時(shí)刻t0、終端時(shí)刻tf，其約束條件為動(dòng)力學(xué)微分方程約束 (R1，R2，...，RN)=0 ，邊界條件和路徑約束分別為

3.4 SQP法求解非線性規(guī)劃問題

SQP的基本思想是：在每一次迭代通過求解一個(gè)二次規(guī)劃子問題（QP）來確定一個(gè)下降方向，以減少價(jià)值函數(shù)來取得步長(zhǎng)，重復(fù)這些步驟直到求得原問題的解。SQP算法具有整體收斂和局部一次收斂的特性，被認(rèn)為是目前求解NLP問題最有效的算法之一。

4 仿真結(jié)果與分析

支持平臺(tái)的靠泊分為三個(gè)階段，本文研究的第一階段從距離支持平臺(tái)2海里到1千米的過程中，考慮航跡過程中的避障問題，取狀態(tài)變量為控制變量為使用偽譜法去規(guī)劃最短時(shí)間最優(yōu)軌跡。如圖2所示，在大地坐標(biāo)系下，OX指向正北方向，OY指向正東方向，運(yùn)用偽譜法規(guī)劃的階段為支持平臺(tái)從起點(diǎn)S出發(fā)到達(dá)終點(diǎn)E的階段。在這個(gè)階段內(nèi)存在兩個(gè)障礙物A和B，它們的安全距離范圍為以其外輪廓延伸500m為半徑所確定的范圍［15]。在此情況下去規(guī)劃出支持平臺(tái)到達(dá)終點(diǎn)的最短時(shí)間軌跡。

圖1 偽譜法規(guī)劃流程圖

圖2 規(guī)劃示意圖

4.1 仿真條件

取支持平臺(tái)的M和D的參數(shù)分別為［16]

支持平臺(tái)的裝有6個(gè)全回轉(zhuǎn)推進(jìn)器，功率為400KW。支持平臺(tái)在航行的過程中的速度不超過2kn。取墨西哥灣的海況條件：平均風(fēng)速為20節(jié)；波浪的波長(zhǎng)為60m，平均波幅為2.5m，水的密度為1025kg/m3；流速大小為 0.75m/s。

1）初始狀態(tài)

2）末端狀態(tài)

終端艏向角自由。

3）路徑的約束為

如圖2所示，規(guī)劃區(qū)域存在兩個(gè)障礙物A（2105.37，-1020.66）和B（967.57，-113.12），則在存在障礙物的情況下，路徑約束為

偽譜法仿真是在MATLAB 2012a的仿真環(huán)境下運(yùn)行的，其中通過編寫函數(shù)，并調(diào)用GPOPS-II軟件算法包來進(jìn)行優(yōu)化。

4.2 仿真結(jié)果與分析

將偽譜法的節(jié)點(diǎn)數(shù)分別取為70，80，90，120進(jìn)行求解，運(yùn)用Matalba進(jìn)行仿真，其仿真的結(jié)果如表1所示。

表1 節(jié)點(diǎn)數(shù)不同時(shí)的仿真結(jié)果

由表1可以看出，運(yùn)用radau偽譜法對(duì)支持平臺(tái)的靠泊航跡進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增多，計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算求解所耗的時(shí)間也隨之增加，從而計(jì)算的代價(jià)增大。另一方面，從表中的數(shù)據(jù)可以看出，節(jié)點(diǎn)數(shù)不相同時(shí)，目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化的結(jié)果間的差異較小，從這一對(duì)比中可以看出，偽譜法能以較小的代價(jià)計(jì)算出較高的精度。

取其中節(jié)點(diǎn)數(shù)為120時(shí)進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 軌跡圖

圖4 艏向變化圖

圖5 縱蕩速度、橫蕩速度和艏搖角速度變化圖

圖6 f1、α1、f2和 α2變化圖

圖7 軌跡規(guī)劃總體圖

圖3、圖4和圖5為支持平臺(tái)的狀態(tài)變量的變化曲線，從中可以看出圖形的變化較為平滑，滿足相應(yīng)的約束條件且到達(dá)了目標(biāo)點(diǎn)；圖6為控制變量的變化圖，由于控制變量較多，取其中兩個(gè)推進(jìn)器的推力和方位角的變化圖，可以看出它們滿足相應(yīng)的約束條件下，其變化曲線相對(duì)比較平滑，從而可以實(shí)現(xiàn)對(duì)支持平臺(tái)較好的控制。

圖7給出了節(jié)點(diǎn)數(shù)為120時(shí)，規(guī)劃出以時(shí)間最短為性能指標(biāo)的支持平臺(tái)的軌跡規(guī)劃總體圖。在求解支持平臺(tái)最優(yōu)軌跡時(shí)，從軌跡圖中可以看出，在滿足約束條件下，支持平臺(tái)能夠與障礙物保持安全距離即避過障礙物，經(jīng)過約3137s后到達(dá)終點(diǎn)。其中航行中控制變量變化曲線較平滑，對(duì)于支持平臺(tái)的航行具有較好的可實(shí)現(xiàn)性。

5 結(jié)語

針對(duì)半潛式支持平臺(tái)靠泊鉆井平臺(tái)的軌跡優(yōu)化問題展開研究，建立了適合于支持平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)模型。采用Radau偽譜法對(duì)支持平臺(tái)進(jìn)行軌跡優(yōu)化，考慮了支持平臺(tái)的模型，狀態(tài)量約束，控制量約束以及避碰約束，使得設(shè)計(jì)的最短時(shí)間軌跡能夠滿足工程實(shí)際的需要。通過仿真結(jié)果表明，偽譜法能夠以較小的計(jì)算代價(jià)獲得較高的求解精度，得到的一些控制量有較好的可實(shí)現(xiàn)性，具有以最短時(shí)間到達(dá)靠泊點(diǎn)的可能，為平臺(tái)避碰航行規(guī)劃提供了一種較為良好優(yōu)化效果的方法。在下一步的研究中，將會(huì)根據(jù)需求添加約束以及研究平臺(tái)后續(xù)的靠泊路徑規(guī)劃。