許曉明

（南京理工大學(xué) 南京 210094）

1 引言

當(dāng)前，在遙感數(shù)據(jù)的發(fā)現(xiàn)方面體現(xiàn)出兩個(gè)主流的趨勢(shì)：一是遙感數(shù)據(jù)發(fā)展對(duì)高數(shù)據(jù)率的需求；二是遙感探測(cè)范圍不斷擴(kuò)大。而隨著當(dāng)前傳感器的多樣化，以及遙感數(shù)據(jù)量的增加，要獲取更為準(zhǔn)確的遙感圖像，必須要提高和改善遙感圖像采集系統(tǒng)的性能。但當(dāng)前的遙感圖像采集大部分是采用Shannon-Nyquist采樣技術(shù)。這種采樣技術(shù)要求采樣的頻率需要達(dá)到信號(hào)頻譜最高頻率的兩倍以上，這樣才能保證重構(gòu)信號(hào)不失真。這種采樣存在一定的缺陷，如采樣受到速率的限制，二是壓縮編碼需要舍棄大量的冗余數(shù)據(jù)，由此造成遙感圖像資源的浪費(fèi)［1～5]。對(duì)此，為解決這個(gè)問(wèn)題，人們提出將壓縮感知技術(shù)應(yīng)用到遙感圖像的處理中，以提高圖像傳輸?shù)乃俾?。而研究認(rèn)為，壓縮感知過(guò)程中，信號(hào)的重構(gòu)是線性規(guī)劃問(wèn)題。由于壓縮采樣，使得采樣數(shù)遠(yuǎn)小于原始信號(hào)的長(zhǎng)度，由此使得該線性規(guī)劃問(wèn)題為一個(gè)方程數(shù)少于未知數(shù)，從而使其存在無(wú)數(shù)個(gè)解。為解決這個(gè)問(wèn)題，人們提出采用觀測(cè)矩陣進(jìn)行求解。周春佳、孫權(quán)森等研究發(fā)現(xiàn)，采用傳統(tǒng)的觀測(cè)矩陣，如高斯矩陣會(huì)增加壓縮感知的時(shí)間，同時(shí)由于觀測(cè)矩陣中的元素是浮點(diǎn)數(shù)，所以在存儲(chǔ)方面也存在一定的限制。并且由于計(jì)算量大，給硬件實(shí)現(xiàn)帶來(lái)極大的挑戰(zhàn)。另外，觀測(cè)矩陣的維數(shù)較高，實(shí)際傳輸中會(huì)有很大損耗。傳統(tǒng)的高斯隨機(jī)矩陣、隨機(jī)稀疏矩陣等的構(gòu)造都不簡(jiǎn)單，即在矩陣高度稀疏且元素二值化方面較為復(fù)雜。因此，結(jié)合遙感圖像采集處理的需求，本文提出一種LDPC的觀測(cè)矩陣方法。

2 LDPC觀測(cè)矩陣構(gòu)造

2.1 LDPC編碼

LDPC碼為一種具有系數(shù)校驗(yàn)矩陣的線性分組糾錯(cuò)碼，也可用零空間的稀疏矩陣形式表示。在校驗(yàn)矩陣中，通常只有少數(shù)的元素用“1”表示，其中大部分的元素是用“0”表示的一個(gè)稀疏矩陣。而LDPC碼自身的低密度，也源于校驗(yàn)矩陣自身的稀疏性。在LDPC碼中，可以分為兩類［6]：一類是不規(guī)則的LDPC碼，其校驗(yàn)矩陣中的各行和各列的零元素個(gè)數(shù)不同；另外的一類則是規(guī)則的LDPC碼，即在各列和各行中，零元素的個(gè)數(shù)相同。式（1）為一種規(guī)則的LDPC碼所構(gòu)造的校驗(yàn)矩陣（10，2，4）。

2.2 LDPC校驗(yàn)矩陣構(gòu)造

通過(guò)式（1）看出，通過(guò)LDPC構(gòu)建的校驗(yàn)矩陣是一個(gè)由“0”和“1”組成的一個(gè)稀疏二值矩陣。在該矩陣中，各列之間盡可能的線性無(wú)關(guān)，因此在壓縮感知的過(guò)程中可以作為觀測(cè)矩陣來(lái)應(yīng)用。而在觀測(cè)矩陣的構(gòu)造過(guò)程中，要求盡可能避免出現(xiàn)長(zhǎng)度為4的短環(huán)。另外，環(huán)長(zhǎng)度越長(zhǎng)，構(gòu)造的校驗(yàn)矩陣則性能越好［7]。為構(gòu)建校驗(yàn)矩陣，仁恩提出了隨機(jī)構(gòu)造法和結(jié)構(gòu)化構(gòu)造法。在本文中，則采用隨機(jī)構(gòu)造法中的Mackay法對(duì)校驗(yàn)矩陣進(jìn)行構(gòu)建［8]。以列重3，碼率為1/2為例，其具體的構(gòu)造如圖1所示。

圖1 Mackay1A構(gòu)造法示意圖

根據(jù)圖1的構(gòu)造可以看出，采用y1A構(gòu)造法后，得到的矩陣行重為6。

2.3 LDPC觀測(cè)矩陣的構(gòu)造

結(jié)合上述理論的啟發(fā)，本文希望借助LDPC校驗(yàn)矩陣構(gòu)建一個(gè)簡(jiǎn)單且效果優(yōu)的觀測(cè)矩陣。對(duì)此，采用Mackay 1A構(gòu)造法中的左半邊利用Gallager構(gòu)造法，從而將兩者全部級(jí)聯(lián)在一個(gè)矩陣當(dāng)中。具體構(gòu)造步驟為

輸入：矩陣行數(shù)、列數(shù)、列重、行重，即M、N、γ和、ρ

1）構(gòu)造子矩陣H1，設(shè)定其行數(shù)和列數(shù)分別為：M／γ、N-M；H1的第i行的“1”直接從 ( )i-1K+1開始到第iK開始排列，其中的K=r×M／N；

2）將子矩陣H1中的各列順序進(jìn)行隨機(jī)置換，進(jìn)而生成（γ一1）個(gè)新的子矩陣，用Hi表示，

3）將γ個(gè)子矩陣按照矩陣列的方向，合成一個(gè)新的大小的矩陣，用Φ1表示；

4）構(gòu)造大小為M×M的隨機(jī)二值矩陣Φ2，使其列重大小為γ，其行重盡可能的相等；

5）將矩陣Φ1和矩陣Φ2進(jìn)行級(jí)聯(lián)，繼而得到M×N的校驗(yàn)矩陣Φ。

通過(guò)上述的構(gòu)造，充分結(jié)合了傳統(tǒng)的Mackay矩陣和Gallager矩陣構(gòu)造的優(yōu)點(diǎn)，提高了重構(gòu)時(shí)間。

3 LDPC觀測(cè)矩陣改進(jìn)

在對(duì)上述的構(gòu)建工程中，我們發(fā)現(xiàn)LDPC編碼構(gòu)造的觀測(cè)矩陣，與傳統(tǒng)的隨機(jī)稀疏二值觀測(cè)矩陣相比，在計(jì)算的復(fù)雜度上都沒(méi)有明顯的優(yōu)勢(shì)。因此，要減少計(jì)算的復(fù)雜度，簡(jiǎn)化觀測(cè)矩陣的構(gòu)造，嘗試結(jié)合對(duì)角塊矩陣。對(duì)角塊矩陣與其他觀測(cè)矩陣相比，存在明顯的優(yōu)勢(shì)，就是只需在對(duì)角線的位置放置少量的矩陣快［9]。由此，這樣可以極大地減少圖像重構(gòu)過(guò)程中的計(jì)算量，提高計(jì)算的速度。同時(shí)，為提高后期圖像采集過(guò)程中硬件的實(shí)現(xiàn)效果，去掉隨機(jī)置換過(guò)程。具體構(gòu)造為假設(shè)傳統(tǒng)置亂對(duì)角塊矩陣存在L個(gè)的對(duì)角塊矩陣，用A0=diag(a1，a2， ...，ak1) ，B0=diag(b1，b2， ...，bk1) ，…由此，通過(guò)L種不同的置亂方式，可以生成觀測(cè)矩陣Φ。在該觀測(cè)矩陣中，LDPC矩陣塊為該矩陣的一個(gè)子矩陣，并且其每個(gè)對(duì)角線的位置的子矩陣都是相同的。具體如圖2所示。

由此，通過(guò)這種方式大大減低了構(gòu)造的難度，也提高了計(jì)算的效率。而在圖2中也可以看出，其中的每個(gè)LDPC對(duì)角塊是相互獨(dú)立的，且LDPC塊的個(gè)數(shù)為k=N/M。

4 仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比

4.1 圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)

為驗(yàn)證對(duì)角塊觀測(cè)矩陣與其他觀測(cè)矩陣的優(yōu)勢(shì)，本文參考相關(guān)的文獻(xiàn)，以PSNR和SSIM作為主要的參考指標(biāo)。

4.1.1 峰值信噪比（PSNR）

PSNR為一種用于圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)的客觀測(cè)量方法，其主要是通過(guò)對(duì)原圖像和經(jīng)過(guò)處理后圖像的均方差相對(duì)于（2n-1）2的對(duì)數(shù)值，以此來(lái)衡量經(jīng)過(guò)處理后的圖像的質(zhì)量。該值越大，說(shuō)明原始圖和經(jīng)處理后的圖之間越相似。

4.1.2 結(jié)構(gòu)相似度（SSIM）

研究認(rèn)為自然圖像本身是高度結(jié)構(gòu)化的，并且其像素之間存在很強(qiáng)的依賴性，并且在圖像中包含了大量的視覺(jué)景象信息。因此，人們提出基于圖像結(jié)構(gòu)的相似度。其具體的計(jì)算為

其中，SSIM∈（0，1），取值越大，說(shuō)明相似度越高，重構(gòu)效果越好。

4.2 實(shí)驗(yàn)方案

為驗(yàn)證上述的改進(jìn)效果，采用了兩組實(shí)驗(yàn)對(duì)圖像效果進(jìn)行評(píng)比。

實(shí)驗(yàn)1：

選擇經(jīng)典灰度測(cè)試圖像Lena進(jìn)行重構(gòu)，圖像分辨率為512×512像素。在對(duì)圖像進(jìn)行重構(gòu)過(guò)程中，首先對(duì)圖像進(jìn)行分塊，然后通過(guò)不同的觀測(cè)矩陣對(duì)圖像進(jìn)行采樣，最后對(duì)圖像進(jìn)行重構(gòu)。圖像分塊采用DCT字典，圖像重構(gòu)方法采用OMP算法。同時(shí)每種方法測(cè)試200次，然后比較每種方法的PSNR和SSIM值。

同時(shí)，用16×64的觀測(cè)矩陣對(duì)Lena測(cè)試圖像進(jìn)行重構(gòu)，從而得到如圖3的重構(gòu)結(jié)果。

通過(guò)圖3看出，采用LDPC對(duì)角塊矩陣得到的圖像重構(gòu)效果要明顯好于采用其他觀測(cè)矩陣得到的圖像［10]。而為了更好地更為客觀地分析重構(gòu)質(zhì)量，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到PSNR和SSIM指標(biāo)。具體見圖4。

圖3 不同觀測(cè)矩陣對(duì)Lena的重構(gòu)結(jié)果

圖4 不同觀測(cè)矩陣重構(gòu)Lena圖像的評(píng)價(jià)指標(biāo)

實(shí)驗(yàn)2：

對(duì)圖5的512×512的某遙感圖像進(jìn)行重構(gòu)，稀疏基同樣采用8×8原子大小的DCT字典，重構(gòu)算法采用 OMP［11～12]，觀測(cè)矩陣采用 16×64 大小。通過(guò)重構(gòu)得到圖6的遙感圖像。

圖5 山脈遙感圖像

通過(guò)重構(gòu)，得到圖6的重構(gòu)結(jié)果。對(duì)圖像6的重構(gòu)看出，采用對(duì)角化的觀測(cè)矩陣得到的重構(gòu)圖像較清晰。同樣通過(guò)多次試驗(yàn)對(duì)PSNR和SSIM的統(tǒng)計(jì)，得到表1的結(jié)果。

圖6 重構(gòu)結(jié)果

表1 四種不同觀測(cè)矩陣重構(gòu)的評(píng)價(jià)結(jié)果

綜合比較，對(duì)角化LDPC觀測(cè)矩陣的重構(gòu)效果優(yōu)于其他同等規(guī)模的觀測(cè)矩陣重構(gòu)效果。

5 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)上述的研究看出，LDPC校驗(yàn)碼在圖像重構(gòu)方案具有較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)，借助其優(yōu)勢(shì)取代了傳統(tǒng)置亂對(duì)角塊矩陣當(dāng)中的對(duì)角塊，并簡(jiǎn)化了觀測(cè)矩陣。同時(shí)，通過(guò)仿真也驗(yàn)證了采用LDPC校驗(yàn)碼對(duì)對(duì)角塊矩陣的構(gòu)建具有很強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)，在相同規(guī)模的觀測(cè)矩陣下，對(duì)角塊化后的LDPC觀測(cè)矩陣得到的重構(gòu)遙感圖像更清晰。