陳紹榮，劉郁林，李曉毅，徐 舜

（1.陸軍工程大學(xué)通信士官學(xué)校，重慶 400035；2.重慶市經(jīng)信委，重慶 400015）

0 引 言

在國內(nèi)外《數(shù)字信號處理》教材及著作[1-2]中，從不同角度介紹了實(shí)現(xiàn)抽樣頻率轉(zhuǎn)換的方法，歸納起來有三種實(shí)現(xiàn)抽樣頻率轉(zhuǎn)換的方法：一是若原模擬信號xa(t)可以再生，或是已經(jīng)記錄下來，那么可以重新抽樣；二是將x(n)通過D/A變換成模擬信號xa(t)后，對xa(t)經(jīng)A/D再抽樣；三是發(fā)展一套算法，對抽樣后的數(shù)字信號x(n)在“數(shù)字域”作抽樣率轉(zhuǎn)換，以得到新的抽樣。方法一有時不能實(shí)現(xiàn)，方法二要再一次受到D/A和A/D量化誤差的干擾，方法三是最理想的方法。減少抽樣率以去掉多余數(shù)據(jù)的過程稱為序列的重排；增加抽樣率以增加數(shù)據(jù)的過程，稱為序列的插值。本文討論插值器和重排器相結(jié)合，以實(shí)現(xiàn)L/M倍抽樣率轉(zhuǎn)換器的方法。

1 插值濾波器

首先來研究序列的插值與抽樣率的關(guān)系，再介紹插值濾波器。

1.1 序列的插值與抽樣率的關(guān)系

設(shè)周期為L的周期沖激序列為

以均勻間隔T對連續(xù)時間信號xa(t)抽樣，得到序列x(n)=xa(nT)，若希望將抽樣率fs增加L倍，即變成Lfs，則最簡單的方法是對x(n)插值，用符號表示，即

式（2）表明，對序列x(n)插值，等價(jià)于將連續(xù)時間信號xa(t)的抽樣間隔變成T/L，即抽樣率變成Lfs。

1.2 插值濾波器

考慮到式（1），對式（2）兩邊取DTFT，可得插值序列f(n)的頻譜，即

式（3）表明，插值序列f(n)的頻譜F(ejω)是序列x(n)的頻譜X(ejω)壓縮L倍的結(jié)果。換言之，在F(ejω)的主值區(qū)間 [-π,π]上，譜圖重復(fù)出現(xiàn)了L次，多余的L-1次稱為X(ejω)的映像。當(dāng)|ω|≤π/L時，F(xiàn)(ejω)單一地等于X(ejLω)，我們可以利用后置數(shù)字低通濾波器來完成這一任務(wù)，如圖1所示，其中，后置數(shù)字低通濾波器的頻率特性為

式中，C為常數(shù)，G2π/L(ω)=ε(ω+π/L)-ε(ω-π/L)，ε(ω)為單位階躍函數(shù)。

圖1 插值后的濾波

考慮到式（3）及式（4），則后置數(shù)字低通濾波器的輸出序列y(n)的頻譜為

考慮到式（5），則有

考慮到式（6），則有

由式（7）可知，為保證y(0)=x(0)，則應(yīng)取C=L，于是式（4）可寫成

通常將圖1所示的插值器后置數(shù)字低通濾波器的級聯(lián)結(jié)構(gòu)，稱為插值濾波器。由式（5）所揭示的輸出與輸入的頻率關(guān)系可知，該插值濾波器不僅實(shí)現(xiàn)了L倍的抽樣率轉(zhuǎn)換，而且還濾除了輸入序列x(n)的頻譜X(ejω)的L-1 次映像。

2 重排濾波器

首先來研究序列的重排與抽樣率的關(guān)系，再介紹重排濾波器。

2.1 序列的重排與抽樣率的關(guān)系

以均勻間隔T對連續(xù)時間信號fa(t)抽樣，得到序列f(n)=fa(nT)，若希望將抽樣率fs減小M倍，即變成fs/M，則最簡單的方法是對f(n)重排，用符號表示，即

式（9）表明，對序列f(n)重排，等價(jià)于將連續(xù)時間信號fa(t)的抽樣間隔變成MT，即抽樣率變成fs/M。

2.2 重排濾波器

考慮到式（1），則有

考慮到式（10），對式（9）兩邊取DTFT，可得重排序列y(n)的頻譜，即

考慮到式（11），則有

式（12）表明，重排序列y(n)的頻譜Y(ejω)任然是周期為2π的周期函數(shù)。

由式（11）可知，重排序列y(n)的頻譜Y(ejω)是序列f(n)的頻譜F(ejω)先作M的擴(kuò)展，再將ω軸上每隔 2π的頻移F(ej(ω-2πk)/M)疊加除以M。即重排序列y(n)的頻譜Y(ejω)，在一周期2π內(nèi)的譜圖是由M個F(ej(ω-2πk)/M)(k=0,1,2,…,M-1)疊加除以M構(gòu)成的，因此Y(ejω)中存在頻譜重疊。

為使重排序列y(n)的頻譜Y(ejω)不出現(xiàn)重疊，一種有效的方法是將序列f(n)的頻譜F(ejω)位于主值區(qū)間[-π,π]上的部分限制在子區(qū)間之內(nèi)，可以利用前置數(shù)字低通濾波器H2(ejω)來完成這一任務(wù)，如圖2所示，其中，前置數(shù)字低通濾波器的頻率特性為

式中

其中，ε(ω)為單位階躍函數(shù)。

圖2 重排前的濾波

在圖2所示的重排濾波中，設(shè)頻率特性為H2(ejω)數(shù)字低通濾波器的單位沖激響應(yīng)為h2(n)，則有

由于序列f(n)的頻譜F(ejω)是周期為2π的周期函數(shù)。對式（15）兩邊取DTFT，并注意到式（13），可得前置數(shù)字低通濾波器的輸出序列s(n)的頻譜，即

考慮到式（11）及式（16），則重排序列y(n)的頻譜為

式中

由式（18）可知，Y0(ejω)的最高頻率不超過π，因此，按式（17）對Y0(ejω)作周期2π延拓時，重排序列y(n)的頻譜Y(ejω)將不會出現(xiàn)重疊。

通常將圖2所示的重排器前置數(shù)字低通濾波器的級聯(lián)結(jié)構(gòu)，稱為重排濾波器。由式（17）及式（18）所揭示的輸出與輸入的頻率關(guān)系可知，該重排濾波器不僅實(shí)現(xiàn)了1/M倍的抽樣率轉(zhuǎn)換，而且還保證了輸出序列y(n)的頻譜Y(ejω)不出現(xiàn)重疊。

3 L/M倍抽樣率轉(zhuǎn)換器及其實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)

對于給定的序列x(n)，若希望將抽樣率變換成L/M倍，可按前面介紹的方法，先將x(n)做M倍的重排，再做L倍的插值來實(shí)現(xiàn)，或是先做L倍的插值，再做M倍的重排來實(shí)現(xiàn)。一般來說，重排使x(n)的數(shù)據(jù)減少，會產(chǎn)生信息丟失。因此，合理的方法是先對序列x(n)做插值，然后再做重排，如圖3所示。

在圖3中，插值和重排工作在級聯(lián)狀態(tài)，兩個數(shù)字低通濾波器所處理的序列的抽樣率都是Lfs，因此，可將它們合起來變成一個數(shù)字低通濾波器，如圖4所示，這樣就構(gòu)成了一個插值器和重排器相結(jié)合的抽樣率轉(zhuǎn)換器。

圖3 插值與重排的級聯(lián)實(shí)現(xiàn)

圖4 插值器與重排器相結(jié)合的抽樣率轉(zhuǎn)換器

考慮到式（8）及式（13），則圖4中的數(shù)字低通濾波器的頻率特性為

式中

3.1 L/M倍抽樣率轉(zhuǎn)換器的輸出與輸入的頻譜關(guān)系

考慮到式（3）和式（19），則有

考慮到式（21），則式（11）可寫成

式中

3.2 L/M倍抽樣率轉(zhuǎn)換器的輸出與輸入的時域關(guān)系

在圖4描述的L/M倍的抽樣率轉(zhuǎn)換器中，插值器的輸出序列可以表示為

考慮到式（24），則數(shù)字低通濾波器的輸出序列可以表示為

考慮到式（25），則重排器的輸出序列可以表示為

令

從式（29）可以看出，y(n)可以看作是將x(n)通過一個時變?yōu)V波器所得到的輸出。該時變?yōu)V波器的單位沖激響應(yīng)為

考慮到式（30），則有

由式（31）可知，g(i,n)是以n為變量，周期為L的周期序列。

3.3 L/M倍抽樣率轉(zhuǎn)換器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)

由圖4描述的L/M倍抽樣率轉(zhuǎn)換器可看出，實(shí)現(xiàn)L/M倍的抽樣率轉(zhuǎn)換需要一個插值器、一個數(shù)字先將x(n)每低通濾波器和一個重排器。插值器兩位之間插入L-1個零值位，得到f(n)，然后利用數(shù)字低通濾波器濾除F(ejω)在區(qū)間 [-π/L,π/L]以外由X(ejω)所產(chǎn)生的映像，得到s(n)，最后通過重排器將序列s(n)中相距M位的序列值抽取出來進(jìn)行重排，得到輸出序列y(n)?，F(xiàn)在我們要將插值、濾波及重排過程結(jié)合起來統(tǒng)一考慮，以實(shí)現(xiàn)乘法次數(shù)最少的濾波器結(jié)構(gòu)。

為了保證線性相位，數(shù)字低通濾波器h(n)可用FIR數(shù)字低通濾波器來實(shí)現(xiàn)。設(shè)h(n)=h(N-1-n)，N取L的整倍數(shù)，即N=KL，由式（30）可知，在插值器和重排器相結(jié)合的L/M倍的抽樣率轉(zhuǎn)換器中，多相數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)為

式中，i=0,1,2,…,K-1，n=0,1,2,…,L-1，K=N/L，并且N/L為正整數(shù)，N為h(n)的長度。

若N=30，L=5，M=2，則K=6，多相數(shù)字濾波器的系數(shù)g(i,n)分別是

若采用多相數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)，則式（29）可寫成

現(xiàn)結(jié)合式（39）來討論插值器和重排器相結(jié)合的L/M倍抽樣率轉(zhuǎn)換器的工作原理。

根據(jù)給定的M、L，設(shè)計(jì)一個FIR數(shù)字低通濾波器h(n)，使之逼近式（19）所描述的理想數(shù)字低通濾波器的頻率特性，即

當(dāng)N=30，L=5，M=2時，該抽樣率轉(zhuǎn)換器實(shí)現(xiàn)L/M=2.5倍的抽樣率轉(zhuǎn)換，由式（39）可知，該抽樣率轉(zhuǎn)換器的輸入數(shù)據(jù)x(n)的序號按轉(zhuǎn)換，輸出序列y(n)的值分別是

分析表明：

（1）利用式（32）的下標(biāo)映射關(guān)系，長度為N的FIR數(shù)字低通濾波器h(n)分成L組的子FIR數(shù)字濾波器g(i,n)，其中，i=0,1,2,…,K-1，n=0,1,2,…,L-1，而每個子數(shù)字濾波器的長度都為K。

（2）對輸出y(0)、y(1)和y(2)，使用的是同一組輸入數(shù)據(jù)塊x(-i)；對輸出y(3)和y(4)，也是使用同一組輸入數(shù)據(jù)塊x(1-i)。對輸出y(n)，n每變化一次，輸入數(shù)據(jù)塊的序號按進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

根據(jù)以上特點(diǎn)，并考慮到式（39），可得到圖5所示的L/M倍抽樣率轉(zhuǎn)換器結(jié)構(gòu)，其中，g(i,n)是以n為變量，周期為L的周期序列，即滿足g(i,n+kL)=g(i,n)，并且g(i,n)=h(iL+L)。

當(dāng)在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)L/M倍的抽樣率轉(zhuǎn)換時，圖5的結(jié)構(gòu)形式可以進(jìn)一步畫成圖6所示的示意圖。該圖中輸入緩沖器長度為M，中間緩沖器長度為K，數(shù)字濾波器系數(shù)緩沖器共有L個，每個長度也為K，輸出緩沖器長度為L。

圖5 L/M倍抽樣率轉(zhuǎn)換器的計(jì)算機(jī)程序

圖6 實(shí)現(xiàn)L/M倍抽樣率轉(zhuǎn)換器的計(jì)算機(jī)程序方塊圖

對每一個輸出數(shù)據(jù)塊y(n)(n=0,1,2,…,L-1)，在每一個時刻n，一個子濾波器的K個系數(shù)和中間緩沖器的K個數(shù)據(jù)對應(yīng)相乘，然后相加，得到該時刻的y(n)，用下一個濾波器的系數(shù)和中間緩沖器數(shù)據(jù)對應(yīng)相乘，再相加，得到下一位輸出y(n)。對輸出y(n)，n每變化一次，當(dāng)且僅當(dāng)遞增1時，從輸入緩沖器移一個數(shù)據(jù)到中間緩沖器，當(dāng)L個輸出結(jié)束時，應(yīng)移進(jìn)=M個數(shù)據(jù)。如此重復(fù)，直到對x(n)的全部數(shù)據(jù)處理結(jié)束。

4 結(jié) 語

建立在多抽樣率轉(zhuǎn)換理論基礎(chǔ)上的多抽樣率數(shù)字信號處理，已成數(shù)字信號處理這一學(xué)科中的重要內(nèi)容，在語音及圖像壓縮的子帶編碼得到了廣泛的應(yīng)用。本文對插值器和重排器相結(jié)合的L/M倍抽樣率轉(zhuǎn)換器的原理進(jìn)行了詳細(xì)分析，不僅給出了一種基于時變?yōu)V波器組的L/M倍抽樣率轉(zhuǎn)換器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，而且還給出了實(shí)現(xiàn)L/M倍抽樣率轉(zhuǎn)換器的計(jì)算程序方框圖。