振動(dòng)磨機(jī)研磨介質(zhì)填充率的質(zhì)量計(jì)量法及其修正

程 敏 劉保國(guó) 劉彥旭

1.河南工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，鄭州，4500012.河南工業(yè)大學(xué)小麥和玉米深加工國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，鄭州，450001

0 引言

振動(dòng)磨機(jī)依靠研磨介質(zhì)的沖擊、剪切、擠壓、摩擦等破碎形式[1]，對(duì)糧油食品、藥材、礦產(chǎn)資源等多種物料進(jìn)行超微粉碎加工[2-4]，同時(shí)還具有物料改性功能(機(jī)械力化學(xué))[5-7]。研磨介質(zhì)填充率不僅影響振動(dòng)磨機(jī)的粉碎效率和粉體質(zhì)量，還影響磨機(jī)的振動(dòng)特性及運(yùn)行狀態(tài)，具有聯(lián)系磨機(jī)內(nèi)外部動(dòng)力學(xué)的紐帶作用[8-9]。要研究研磨介質(zhì)填充率對(duì)振動(dòng)磨機(jī)內(nèi)外部動(dòng)力學(xué)特性的影響，必須確定研磨介質(zhì)填充率的準(zhǔn)確數(shù)值。

20世紀(jì)80年代中后期以來，對(duì)振動(dòng)磨機(jī)研磨介質(zhì)填充率問題的研究集中在實(shí)驗(yàn)研究，主要研究研磨介質(zhì)填充率對(duì)磨機(jī)粉碎效率、粉體質(zhì)量的影響，以及對(duì)磨機(jī)振動(dòng)特性的影響[10-11]。2000年以來，國(guó)內(nèi)學(xué)者從理論方面對(duì)上述問題進(jìn)行研究，為磨機(jī)的設(shè)計(jì)、運(yùn)行和維護(hù)提供理論支撐。劉政等[12]將磨筒內(nèi)所有研磨介質(zhì)視為研磨介質(zhì)群，理論分析了研磨介質(zhì)填充率對(duì)磨機(jī)振幅的影響規(guī)律，發(fā)現(xiàn)振幅隨著填充率的增大而減小。蘇乾益等[13]將磨筒內(nèi)的研磨介質(zhì)群簡(jiǎn)化為剛體，討論了研磨介質(zhì)填充率對(duì)振幅和能耗的影響。目前，振動(dòng)磨機(jī)研磨介質(zhì)填充率的計(jì)算方法以體積計(jì)量法、面積計(jì)量法和質(zhì)量計(jì)量法為主[14]。體積計(jì)量法是最基本的計(jì)算方法，是面積計(jì)量法和質(zhì)量計(jì)量法的基礎(chǔ)。陳炳辰[15]從體積計(jì)量法出發(fā)給出了一種基于面積計(jì)量法的人工檢測(cè)方法，但磨筒的封閉結(jié)構(gòu)以及研磨介質(zhì)填充平面難以精確測(cè)量，限制了該方法的應(yīng)用。質(zhì)量計(jì)量法比較容易操作，只需在研磨介質(zhì)填充前將質(zhì)量測(cè)量出來，代入計(jì)算公式即可，但使用該方法之前必須根據(jù)磨筒和研磨介質(zhì)尺寸計(jì)算出研磨介質(zhì)的致密度系數(shù)。林勇[16]給出的柱形研磨介質(zhì)致密度系數(shù)極值約為0.75，球形研磨介質(zhì)致密度系數(shù)極值約為0.58；黃燦軍[17]給出的球形研磨介質(zhì)致密度系數(shù)極值約為0.74。兩人給出的球形研磨介質(zhì)致密度系數(shù)存在較大偏差，且與文獻(xiàn)[14]報(bào)道的球形研磨介質(zhì)致密度實(shí)驗(yàn)值0.61(推薦值0.62～0.66)有差距。為此，必須重新確定研磨介質(zhì)的致密度系數(shù)，進(jìn)而對(duì)研磨介質(zhì)填充率的質(zhì)量計(jì)量法進(jìn)行修正。

本文在綜合分析振動(dòng)磨機(jī)研磨介質(zhì)填充率的3種計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，利用幾何密排方法得到了柱形研磨介質(zhì)的排布特征以及磨筒空隙處的研磨介質(zhì)填充判別條件，利用磨筒空隙處三角形面積近似替代填充研磨介質(zhì)小圓面積，重新導(dǎo)出了柱形研磨介質(zhì)和球形研磨介質(zhì)的致密度計(jì)算公式，對(duì)質(zhì)量計(jì)量法進(jìn)行修正。研究結(jié)果表明：利用三角形面積代替磨筒空隙處研磨介質(zhì)填充面積，對(duì)致密度系數(shù)的基礎(chǔ)計(jì)算公式進(jìn)行修正是準(zhǔn)確、可靠的。算例仿真計(jì)算結(jié)果表明：研磨介質(zhì)形狀對(duì)磨機(jī)振動(dòng)特性的影響是顯著的，對(duì)研磨介質(zhì)填充率的質(zhì)量計(jì)量法進(jìn)行修正是必要的。

1 研磨介質(zhì)填充率的計(jì)算方法

1.1 研磨介質(zhì)填充率的基礎(chǔ)計(jì)算公式

可以從多個(gè)角度對(duì)研磨介質(zhì)填充率進(jìn)行定義。從體積方面來說，研磨介質(zhì)填充率φV=Va/Vc，其中，Va為研磨介質(zhì)處于松散的靜止?fàn)顟B(tài)下的表觀體積，Vc為磨筒有效容積[18]。振動(dòng)磨機(jī)研磨介質(zhì)的閉口空隙一般較小，可忽略不計(jì)，可以用研磨介質(zhì)的幾何體積V來代替研磨介質(zhì)的表觀體積Va。從面積方面來說，研磨介質(zhì)填充率φS=S/Sc，其中，S為磨筒靜止時(shí)研磨介質(zhì)的填充截面積，Sc為磨筒的有效截面積。從質(zhì)量方面來說，研磨介質(zhì)填充率φmc=m/M，其中，m為某一工況下填入研磨介質(zhì)的質(zhì)量，M為磨筒填滿該研磨介質(zhì)時(shí)的總質(zhì)量[19]。根據(jù)上述3種定義，可得3種不同形式的研磨介質(zhì)填充率計(jì)算方法。

(1)體積計(jì)量法。已知磨筒的有效半徑R、長(zhǎng)度L、研磨介質(zhì)幾何體積V，可得磨筒的有效體積Vc=πR2L。由此可得體積形式的計(jì)算公式:

(1)

式(1)中的V是指所有研磨介質(zhì)幾何體積之和，不包括研磨介質(zhì)之間的排布空隙。理論上，利用排水法可以確定研磨介質(zhì)的幾何體積，但當(dāng)研磨介質(zhì)較多時(shí)，需要較大容積的量具，不便于精確測(cè)量[14]。

(2)面積計(jì)量法。已知磨筒的有效半徑為R，可得磨筒的有效截面積Sc=πR2，面積形式的計(jì)算公式為

(2)

以式(2)為基礎(chǔ)的研磨介質(zhì)填充率的簡(jiǎn)易近似計(jì)算公式為φ=[50±61.2(h/R)]%[15]，其中，h為磨筒中心線到研磨介質(zhì)填充平面的距離。由于測(cè)量h存在如下困難：①測(cè)量時(shí)，因研磨介質(zhì)的堆積效應(yīng)而存在較大誤差；②磨筒機(jī)械結(jié)構(gòu)的限制導(dǎo)致測(cè)量不便。因此該方法在工程中使用不便、精度不高。公式推導(dǎo)過程中，S既包括研磨介質(zhì)的幾何截面積，又包括研磨介質(zhì)之間的間隙面積。因此，與式(1)相比，利用式(2)計(jì)算的填充率數(shù)值偏大。

(3)質(zhì)量計(jì)量法。忽略研磨介質(zhì)之間的空隙對(duì)質(zhì)量的影響，根據(jù)式(1)可得

(3)

式中，ρ為研磨介質(zhì)的密度。

與φmc=m/M相比，式(3)的計(jì)算結(jié)果偏小，未考慮研磨介質(zhì)形狀、尺寸以及筒體容積對(duì)填充率的影響。工程中，研磨介質(zhì)質(zhì)量、密度和磨筒的半徑、筒長(zhǎng)等參數(shù)比較容易確定，因此利用式(3)計(jì)算填充率比較方便，但需要對(duì)其進(jìn)行修正，使之與φmc=m/M的計(jì)算結(jié)果一致。

1.2 研磨介質(zhì)填充率的修正計(jì)算公式

定義致密度系數(shù)[14]

(4)

式中，Vg為研磨介質(zhì)充滿磨筒時(shí)的體積。

由式(4)可知，致密度系數(shù)是研磨介質(zhì)在磨筒內(nèi)的空間占有率，與研磨介質(zhì)的尺寸、形狀及磨筒的尺寸有關(guān)。對(duì)于柱形研磨介質(zhì)而言，一般有

(5)

式中，Sg為研磨介質(zhì)充滿磨筒時(shí)的填充截面積，Sg=Vg/L。

如果考慮研磨介質(zhì)之間的空隙對(duì)填充率的影響，則根據(jù)式(4)可得

M=ρVg=πηR2Lρ

(6)

將式(6)代入φmc=m/M，可得

(7)

式(7)為質(zhì)量計(jì)量法的修正計(jì)算公式，其中，γ為容重[15-16]，γ=ηρ。事實(shí)上，容重是指單位體積物質(zhì)所具有的重量，單位為N/m3，因此，γ用致密度一詞表達(dá)更準(zhǔn)確，單位為kg/m3。同理，如果考慮研磨介質(zhì)間隙對(duì)填充截面積S的影響，可得面積計(jì)算法的修正計(jì)算公式：

(8)

此時(shí)，體積計(jì)量法和修正面積計(jì)量法的計(jì)算結(jié)果相同，即φSc=φV，但都小于修正的質(zhì)量計(jì)量法的計(jì)算結(jié)果φmc。與確定填充研磨介質(zhì)的幾何體積V和填充截面積S相比，確定填充研磨介質(zhì)的質(zhì)量m和密度ρ更方便，因此，利用質(zhì)量計(jì)量法計(jì)算研磨介質(zhì)填充率更加實(shí)用，其準(zhǔn)確度主要與致密度系數(shù)η有關(guān)。

2 研磨介質(zhì)致密度系數(shù)的計(jì)算與分析

2.1 研磨介質(zhì)的幾何密排特征

振動(dòng)磨機(jī)的研磨介質(zhì)主要為球形和柱形(以短圓柱研磨介質(zhì)和棒狀研磨介質(zhì)為主)[11]。為便于推導(dǎo)，以柱形研磨介質(zhì)為例進(jìn)行分析。柱形研磨介質(zhì)的致密度系數(shù)為磨筒橫截面上的研磨介質(zhì)小圓總面積與磨筒橫截面積之比。假設(shè)磨筒橫截面上的研磨介質(zhì)小圓個(gè)數(shù)為N，半徑為r，則Sg=Nπr2。研磨介質(zhì)小圓半徑一般為已知參數(shù)，因此只要確定N就可計(jì)算出研磨介質(zhì)致密度系數(shù)。

考慮重力影響時(shí)，柱形研磨介質(zhì)在磨筒內(nèi)應(yīng)以筒壁為邊界逐層排列[20]，磨筒下方的研磨介質(zhì)排列密實(shí)，上方的研磨介質(zhì)排列松散，這導(dǎo)致橫截面上研磨介質(zhì)群的質(zhì)心與磨筒幾何中心不重合。如果忽略重力的影響，則研磨介質(zhì)群質(zhì)心應(yīng)與磨筒幾何中心重合。為了保證研磨介質(zhì)填充的高致密性，幾何排布時(shí)，要求任一研磨介質(zhì)小圓與相鄰研磨介質(zhì)小圓相切。研磨介質(zhì)的幾何排布結(jié)果如圖1所示，其排布特征歸納如下[16]：①研磨介質(zhì)小圓圍繞中心向外輻射排布，所有小圓圓心構(gòu)成了正六邊形，即研磨介質(zhì)小圓分布在正六邊形的邊上；②正六邊形頂點(diǎn)上的小圓與磨筒相切，即分布在正六邊形對(duì)角線上所有小圓的直徑之和與磨筒直徑相等；③研磨介質(zhì)小圓圍繞中心每向外排布一層，增加小圓的個(gè)數(shù)均為6。

圖1 磨筒內(nèi)研磨介質(zhì)的幾何排布示意圖[16]Fig.1 Schematic diagram of geometric arrangement of grinding medium in grinding tube[16]

2.2 致密度系數(shù)基礎(chǔ)計(jì)算公式及間隙填充條件

2.2.1柱形研磨介質(zhì)致密度系數(shù)的基礎(chǔ)計(jì)算公式

如圖1所示，畫出研磨介質(zhì)小圓正六邊形的外接圓，研磨介質(zhì)小圓圍繞中心排布的第i(i=1，2，…，n)層小圓的外接圓記為第i層輔助圓。第n層輔助圓的半徑為2nr，磨筒半徑R=(2n+1)r，小圓總數(shù)N=3n2+3n+1，則Sg=π(3n2+3n+1)r2。將R、Sg代入式(5)可得致密度系數(shù)

(9)

通過參數(shù)轉(zhuǎn)換計(jì)算發(fā)現(xiàn)，式(9)與文獻(xiàn)[15]的計(jì)算公式是完全相同的。隨著層數(shù)n的增大，η趨近于0.75。值得注意的是，此時(shí)的η僅表示構(gòu)成正六邊形所有小圓的面積與磨筒橫截面積之比。磨筒橫截面積與構(gòu)成正六邊形所有小圓面積的差值即磨筒截面空隙面積為

ΔS=π[(2n+1)r]2-Nπr2=πn(n+1)r2

(10)

由式(10)可知，隨著層數(shù)n的增大，磨筒內(nèi)的空隙面積也增大。當(dāng)正六邊形邊上的小圓與磨筒筒壁之間的空隙面積增大到能夠放下1層研磨介質(zhì)小圓時(shí)，式(9)的計(jì)算結(jié)果就不準(zhǔn)確了，需要在小圓總數(shù)中加上間隙處新增加小圓個(gè)數(shù)。因此，式(9)可稱為致密度系數(shù)的基礎(chǔ)計(jì)算公式。

2.2.2柱形研磨介質(zhì)的間隙填充條件

如圖1所示，取研磨介質(zhì)小圓構(gòu)成的正六邊形的1/6，可得等邊三角形△AOB，過O點(diǎn)做△AOB的垂線，交于研磨介質(zhì)小圓中心C、圓周點(diǎn)D、磨筒圓周點(diǎn)E，線段DE即為第2層研磨介質(zhì)小圓圓周到磨筒的最大距離。不失一般性，第n層研磨介質(zhì)小圓所得線段DE的長(zhǎng)度為

(11)

如圖2a所示，當(dāng)研磨介質(zhì)增加1層時(shí)，所需空間尺度：

(12)

當(dāng)研磨介質(zhì)增加2層時(shí)，所需空間尺度為2lh，如圖2b所示。以此類推，當(dāng)研磨介質(zhì)增加i層時(shí)，所需空間尺度為ilh。由此可得，研磨介質(zhì)小圓六邊形與磨筒邊界空隙處填充i層研磨介質(zhì)所對(duì)應(yīng)的條件為

lDE>ilh

(13)

圖2 研磨介質(zhì)增加層數(shù)對(duì)應(yīng)空間尺度示意圖Fig.2 Schematic diagram of spatial scale corresponding to increasing number of layers in grinding medium

將式(11)、式(12)代入式(13)，可得i=1時(shí)，n>6.964 1≈7；i=2時(shí)，n>13.928 2≈14。為了驗(yàn)證間隙填充條件的準(zhǔn)確性，利用幾何作圖方法畫出n=7，14時(shí)的研磨介質(zhì)小圓幾何排布圖(圖3)。n=7時(shí)，空隙處增加了1層小圓；n=14時(shí)，空隙處增加了2層小圓。不難推測(cè)，n=7i時(shí)，增加i層研磨介質(zhì)小圓。綜上所述，式(9)在n<7時(shí)計(jì)算的致密度系數(shù)是準(zhǔn)確的。n≥7時(shí)，研磨介質(zhì)小圓總數(shù)應(yīng)加上磨筒筒壁空隙處新增研磨介質(zhì)小圓的個(gè)數(shù)，應(yīng)對(duì)式(9)進(jìn)行修正。

圖3 磨筒空隙填充小圓幾何排布示意圖Fig.3 Schematic diagram of geometric arrangement for small circles filling in grinding cylinder

2.3 致密度系數(shù)的修正計(jì)算公式

2.3.1柱形研磨介質(zhì)致密度系數(shù)的修正計(jì)算公式

如圖4所示，當(dāng)研磨介質(zhì)小圓組成的正六邊形與磨筒之間的空隙可以填充多層小圓時(shí)，空隙形狀逐漸接近等腰三角形△ABE。因此，磨筒空隙處填充的研磨介質(zhì)小圓面積可用△ABE的面積S△ABE近似代替。其中，AB為△ABE的邊長(zhǎng)，CE為△ABE邊AB上的高。由此可得△ABE的面積

(14)

則1/6磨筒空隙處可填充研磨介質(zhì)小圓數(shù)目為

(15)

圖4 1/6磨筒空隙面積的三角形近似替代示意圖Fig.4 Triangular approximate substitution diagram for the gap area of the 1/6 grinding tube

對(duì)N0進(jìn)行取整，即可得到填充小圓數(shù)目。n=7時(shí)，N0=4.18≈4，圖3a顯示可以填充3個(gè)小圓。n=14時(shí)，N0=16.72≈16，圖3b顯示可以填充15個(gè)小圓。因此，利用三角形近似替代計(jì)算空隙填充小圓個(gè)數(shù)基本上是準(zhǔn)確的。如果考慮重力影響，實(shí)際填充小圓個(gè)數(shù)應(yīng)該多于圖3所示的小圓個(gè)數(shù)，因此利用式(15)計(jì)算得到的小圓個(gè)數(shù)是可靠的。計(jì)算致密度系數(shù)ηc時(shí)，可直接將空隙處三角形面積S△ABE等效為填充小圓面積，此時(shí)

(16)

整理后，可得柱形研磨介質(zhì)致密度系數(shù)的修正公式：

(17)

2.3.2修正計(jì)算公式與幾何作圖實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

利用幾何密排作圖實(shí)驗(yàn)可以準(zhǔn)確得到n≥7時(shí)，磨筒空隙處填充小圓的排布情況及數(shù)目，如圖5所示。當(dāng)填充層數(shù)n為7、14、21、35時(shí)，分別利用幾何密排作圖實(shí)驗(yàn)、式(9)、式(17)計(jì)算致密度系數(shù)，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

圖5 1/6磨筒空隙填充小圓幾何排布示意圖Fig.5 Schematic diagram of geometric arrangement of small circles filled with 1/6 grinding tube

表1 3種計(jì)算方法的致密度系數(shù)Tab.1 Relative density coefficients obtained by 3 calculating methods

注：Ne為幾何密排實(shí)驗(yàn)得到的磨筒空隙處填充研磨介質(zhì)小圓數(shù)目，ηe為幾何密排實(shí)驗(yàn)得到的致密度系數(shù)。

根據(jù)表1可知，n≥7時(shí)，式(9)的計(jì)算結(jié)果與幾何密排實(shí)驗(yàn)結(jié)果的偏差較大，式(17)計(jì)算結(jié)果更接近幾何密排實(shí)驗(yàn)結(jié)果，誤差小于5%。式(9)的計(jì)算結(jié)果趨于0.75，式(17)的計(jì)算結(jié)果與幾何密排實(shí)驗(yàn)結(jié)果呈增大趨勢(shì)，與式(10)的變化趨勢(shì)一致。這進(jìn)一步說明對(duì)式(9)進(jìn)行修正的必要性，以及采用三角形近似替代法計(jì)算磨筒空隙處研磨介質(zhì)小圓數(shù)量的準(zhǔn)確性。當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)，式(17)計(jì)算的致密度系數(shù)極值為0.875，式(9)計(jì)算的致密度系數(shù)極值為0.75，二者之間的偏差為16.67%。n<7時(shí)，空隙處無法容納1層研磨介質(zhì)小圓，利用公式(9)比較合適。

2.3.3球形研磨介質(zhì)致密度系數(shù)的計(jì)算公式

對(duì)于球形研磨介質(zhì)來說，磨筒長(zhǎng)度方向上2層研磨介質(zhì)之間的有效距離記為lh，磨筒長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則磨筒內(nèi)具有球形研磨介質(zhì)的列數(shù)約為L(zhǎng)/lh，磨筒的容積Vc=π[(2n+1)r]2L，球形研磨介質(zhì)的總體積為

(18)

根據(jù)式(18)及磨筒容積Vc可得球形研磨介質(zhì)的致密度系數(shù)：

(19)

n趨近于無窮大時(shí)，球形研磨介質(zhì)的致密度系數(shù)ηs=0.625 2，在林勇[16]給出的球形研磨介質(zhì)致密度系數(shù)極值0.58和黃燦軍[17]給出的球形研磨介質(zhì)致密度系數(shù)極值0.74之間。林勇以柱形研磨介質(zhì)致密度系數(shù)的基礎(chǔ)計(jì)算公式為基礎(chǔ)，導(dǎo)出球形研磨介質(zhì)致密度系數(shù)公式，但在推導(dǎo)柱形研磨介質(zhì)致密度系數(shù)時(shí)，未計(jì)及研磨介質(zhì)小圓形成的正六邊形與磨筒空隙處的小圓數(shù)目，導(dǎo)致致密度系數(shù)極值偏小。黃燦軍在推導(dǎo)球形研磨介質(zhì)致密度系數(shù)時(shí)，忽略了重力作用對(duì)球形研磨介質(zhì)橫向排布的影響，以3個(gè)球形研磨介質(zhì)構(gòu)成的正四面體的高度為橫向有效距離，從而導(dǎo)致致密度系數(shù)極值偏大。另外，根據(jù)文獻(xiàn)[14]報(bào)道，利用實(shí)驗(yàn)方法得到的球形研磨介質(zhì)致密度系數(shù)為0.61，推薦值為0.62～0.66，與利用式(19)計(jì)算的球形研磨介質(zhì)致密度系數(shù)吻合。不難推測(cè)，利用式(17)計(jì)算柱形研磨介質(zhì)致密度系數(shù)也是比較可靠的。將式(9)、式(17)、式(19)分別代入式(7)，可以分別計(jì)算柱形、球形研磨介質(zhì)的填充率。

3 修正質(zhì)量計(jì)量法的應(yīng)用算例

由上述研究可知，利用質(zhì)量計(jì)量法的修正計(jì)算公式可以描述研磨介質(zhì)形狀對(duì)研磨介質(zhì)填充率的影響，而研磨介質(zhì)填充率會(huì)影響振動(dòng)磨機(jī)振動(dòng)性能。下面以MZ-400型單筒振動(dòng)磨機(jī)為例，將振幅、研磨介質(zhì)慣性力和振強(qiáng)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，利用MATLAB數(shù)值仿真分析研磨介質(zhì)形狀對(duì)振動(dòng)磨機(jī)振動(dòng)特性的影響。MZ-400型單筒振動(dòng)磨機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型為[21]

(20)

m′=m0+m1+λ(m2+m3)

m2=φπR2Lηρ

其中，m′為磨機(jī)振動(dòng)體總質(zhì)量；m0為激振器偏心塊質(zhì)量；m1為磨筒質(zhì)量；m2為研磨介質(zhì)質(zhì)量；m3為粉體物料質(zhì)量；cx、cy分別為磨機(jī)振動(dòng)體的水平和鉛垂阻尼，與激振力相比，可忽略不計(jì)；r0為偏心塊的質(zhì)心半徑；λ為研磨介質(zhì)與物料的參振系數(shù)，干法粉碎時(shí)λ取0.3，濕法粉碎時(shí)λ取0.7(對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速為1 500 r/min)[18]；kx、ky分別為為支撐彈簧的水平和鉛垂剛度，技術(shù)上可令kx=ky，為表達(dá)方便，令彈簧剛度ks=kx=ky；ω為激振器工作頻率，聯(lián)軸器連接時(shí)即為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；θ為初相位角。

通過求解式(20)得到的磨機(jī)振幅A、振強(qiáng)K以及研磨介質(zhì)的慣性力：

(21)

K=Aω2/g

(22)

(23)

JB/T 8850—2015《振動(dòng)磨》[22]給出的主要參數(shù)如下：磨筒有效體積為400 L；筒體外徑900 mm，考慮冷卻水道、外筒厚度、襯板厚度的影響，磨筒內(nèi)徑取800 mm，磨筒長(zhǎng)度l約為800 mm；振動(dòng)頻率為24.5 Hz，對(duì)應(yīng)角速度ω=154 rad/s；振幅A小于3 mm，則振強(qiáng)K小于7.26(極限振強(qiáng))；研磨介質(zhì)填充量為260～340 L，則許可填充率φ應(yīng)為0.65～0.85；磨機(jī)振動(dòng)部分質(zhì)量小于1 220 kg，取激振器偏心質(zhì)量m0為40 kg，偏心距r0為0.1 m，磨機(jī)磨筒質(zhì)量m1為1 100 kg；彈簧剛度ks為4 MN/m。采用干法粉碎工藝，即λ=0.3。研磨介質(zhì)材料均為耐磨鋼，研磨介質(zhì)小圓半徑為10 mm，密度為7 850 kg/m3。圖6～圖8所示分別為不同填充率下，柱形研磨介質(zhì)和球形研磨介質(zhì)對(duì)磨機(jī)振幅、振強(qiáng)以及研磨介質(zhì)慣性力的影響。

圖6 研磨介質(zhì)對(duì)磨機(jī)振幅的影響Fig.6 Effect of grinding medium on amplitude of vibration mill

圖7 研磨介質(zhì)對(duì)磨機(jī)振強(qiáng)的影響Fig.7 Effect of grinding medium on vibration strength of vibration mill

圖8 研磨介質(zhì)對(duì)研磨介質(zhì)慣性力的影響Fig.8 Effect of grinding medium on grinding medium inertia force of vibration mill

由圖6可知，柱形研磨介質(zhì)的振幅大于球形研磨介質(zhì)的振幅。在研磨介質(zhì)填充率較小的情況下，振幅會(huì)超過JB/T 8850—2015規(guī)定的極限振幅，此時(shí)球形研磨介質(zhì)的臨界填充率φs=0.23，小于柱形研磨介質(zhì)對(duì)應(yīng)的臨界填充率φc=0.44。為了安全起見，振動(dòng)磨機(jī)啟動(dòng)時(shí)的研磨介質(zhì)填充率要求大于其臨界填充率。裝填柱形研磨介質(zhì)正常啟動(dòng)的臨界填充率φc>0.44，裝填球形研磨介質(zhì)正常啟動(dòng)的臨界填充率φs>0.23。因此可知JB/T 8850—2015給出的許可填充率φ為0.65～0.85是合理的。以上分析表明，研磨介質(zhì)形狀會(huì)影響磨機(jī)的正常啟動(dòng)條件，同時(shí)也證明振動(dòng)磨機(jī)不能空載啟動(dòng)[14,18]。

由圖7及式(22)可知，角速度一定時(shí)，磨機(jī)振強(qiáng)與振幅變化趨勢(shì)一致，均隨研磨介質(zhì)填充率的增大而減小。在相同填充率下，柱形研磨介質(zhì)的振強(qiáng)大于球形研磨介質(zhì)的振強(qiáng)。經(jīng)計(jì)算，磨機(jī)裝填柱形研磨介質(zhì)時(shí)的填充率φc<0.44，球形研磨介質(zhì)時(shí)的填充率φs<0.23時(shí)，振強(qiáng)超過JB/T 8850—2015規(guī)定的極限振強(qiáng)K=7.26而不能正常工作。大量實(shí)踐證明：振強(qiáng)K>6時(shí)，振動(dòng)磨機(jī)才具有細(xì)磨作用[18]。球形研磨介質(zhì)的填充率φs<0.42，柱形研磨介質(zhì)的填充率φc<0.78時(shí)，振強(qiáng)K>6(臨界振強(qiáng))。由此可知，球形研磨介質(zhì)在許可填充率范圍內(nèi)不具備細(xì)磨功能；柱形研磨介質(zhì)磨機(jī)的細(xì)磨填充率范圍為0.65<φc<0.78，也是非常窄的。

圖8表明,研磨介質(zhì)的慣性力隨著填充率的增加而增大，柱形研磨介質(zhì)對(duì)應(yīng)的慣性力大于球形研磨介質(zhì)所對(duì)應(yīng)的慣性力，有利于物料破碎。

由表2可知，在許可填充率下，柱形研磨介質(zhì)和球形研磨介質(zhì)的填充率對(duì)振幅、振強(qiáng)和慣性力的影響均約大于10%。不同形狀研磨介質(zhì)對(duì)磨機(jī)振動(dòng)特性的影響具有較大的差異性，振幅、振強(qiáng)的差異率大于22%，慣性力的差異率大于43%。

表2 研磨介質(zhì)形狀與填充率對(duì)磨機(jī)振動(dòng)特性的影響Tab.2 Effect of grinding medium shape and filling rate on vibration characteristics of vibration mill

注：差異率σ=(xc-xs)/xc，其中，xc為柱形研磨介質(zhì)對(duì)應(yīng)的振幅、振強(qiáng)及慣性力，xs為球形研磨介質(zhì)對(duì)應(yīng)的振幅、振強(qiáng)及慣性力。變化率δ=(x0.85-x0.65)/x0.65，其中，x0.85為研磨介質(zhì)填充率為0.85時(shí)所對(duì)應(yīng)的振幅、振強(qiáng)及慣性力，x0.65為研磨介質(zhì)填充率為0.85時(shí)所對(duì)應(yīng)的振幅、振強(qiáng)及慣性力。

綜上所述，在研磨介質(zhì)許可填充率范圍內(nèi)，研磨介質(zhì)形狀對(duì)磨機(jī)振動(dòng)特性的影響是顯著的。填充率相同時(shí)，柱形研磨介質(zhì)的振幅、振強(qiáng)和慣性力均大于球形研磨介質(zhì)，表明柱形研磨介質(zhì)更有利于物料破碎，且與文獻(xiàn)[11]給出的實(shí)驗(yàn)結(jié)論一致。

4 結(jié)論

(1)通過分析研磨介質(zhì)填充率的體積計(jì)量法、面積計(jì)量法和質(zhì)量計(jì)量法的計(jì)算公式及應(yīng)用特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)3種計(jì)算方法存在一定的差異性。引入考慮研磨介質(zhì)形狀和尺寸的致密度系數(shù)，對(duì)計(jì)算研磨介質(zhì)填充率的質(zhì)量計(jì)量法進(jìn)行修正，得到了用研磨介質(zhì)質(zhì)量和磨筒尺寸表示的修正計(jì)算公式。

(2)利用幾何密排作圖方法得到了柱形研磨介質(zhì)在磨筒內(nèi)的六邊形排布特征，發(fā)現(xiàn)隨著研磨介質(zhì)填充層數(shù)的增加，筒壁空隙處能夠繼續(xù)填充研磨介質(zhì)，導(dǎo)出了能夠繼續(xù)填充研磨介質(zhì)的判別條件，理論計(jì)算結(jié)果與幾何密排作圖實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)良好。

(3)利用三角形面積近似替代磨筒空隙處填充研磨介質(zhì)總面積，得到了致密度系數(shù)的修正計(jì)算公式。修正公式計(jì)算結(jié)果與幾何密排作圖實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的誤差小于5%,表明利用三角形面積代替磨筒空隙處研磨介質(zhì)填充面積對(duì)致密度系數(shù)的基礎(chǔ)計(jì)算公式進(jìn)行修正是準(zhǔn)確、可靠的。

(4)算例仿真計(jì)算結(jié)果顯示，柱形研磨介質(zhì)和球形研磨介質(zhì)在振強(qiáng)、振幅、慣性力方面的差異率均大于20%，表明研磨介質(zhì)形狀對(duì)磨機(jī)振動(dòng)特性的影響是顯著的，對(duì)研磨介質(zhì)填充率的質(zhì)量計(jì)量法進(jìn)行修正是必要的。