彭 濤，陳劍云

(華東交通大學 電氣與自動化工程學院，江西 南昌 330013)

鋼軌在牽引供電中承擔牽引回流和傳輸信號的作用同時，還傳輸豐富的行波信號[1-2]。而鋼軌的電感L和電阻R參數(shù)會隨頻率發(fā)生變化(簡稱頻變參數(shù))。鋼軌的參數(shù)頻變現(xiàn)象會導致行波在其傳播過程中產(chǎn)生色散，所以在研究故障行波在鋼軌中傳播特性時，鋼軌的頻變參數(shù)特性不可忽視[3-5]。為了對后續(xù)故障行波色散研究提供數(shù)據(jù)基礎，本文主要針對鋼軌頻變參數(shù)計算展開研究。

鋼軌鐵磁材料特性和“工”字形不規(guī)則截面[6]，導致目前并沒有很好的辦法確定鋼軌的頻變參數(shù)。對于一般不規(guī)則導體頻變參數(shù)計算，目前主要的方法有等效管狀數(shù)學模型和有限元軟件仿真等方法[7-8]。管狀導體模型[9]是一種針對不規(guī)則導體計算頻變參數(shù)的常用方法，將不規(guī)則導體等效成管狀模型，直接采用數(shù)值計算方法計算導體頻變參數(shù)特性，數(shù)學模型精度較高，易于編程。但是在計算過程中難以確定導體的等效管狀模型內(nèi)徑、外徑等參數(shù)，較為復雜。文獻[10-12]提出將鋼軌等效為管狀導體計算鋼軌頻變參數(shù)。其中文獻[10]提出一種四參數(shù)等效管狀模型計算鋼軌頻變參數(shù)，但是需要同時需要確定四種參數(shù)，較為復雜。文獻[12]討論了通過建模導體細分方法來確定鋼軌等效管狀模型下各計算參數(shù)的確定，無法直接用數(shù)值計算方法進行計算。

有限元建模仿真計算不規(guī)則界面導體頻變參數(shù)另一個普遍的方法是通過偏微分方程邊值問題以及大量的網(wǎng)格劃分解決通過磁場、電場的不規(guī)則界面導體內(nèi)阻抗計算。文獻[13-15]利用FEM有限元分析軟件對鋼軌的頻變參數(shù)進行研究，并取得了一定的效果。

現(xiàn)有針對計算鋼軌頻變參數(shù)方法，計算模型需要確定參數(shù)較多，較為復雜。本文根據(jù)已有管狀導體計算模型，針對計算鋼軌高頻頻變參數(shù)要求，對管狀導體模型進行了簡化，并給出了簡化管狀導體中各計算參數(shù)的確定方法，利用簡化管狀導體數(shù)學模型對鋼軌頻變參數(shù)進行計算。

1 管狀導線模型

1.1 管狀導線模型基本原理

在交變電流的作用下，導線和大地中會出現(xiàn)集膚效應，使輸電線路的電阻和電感成為電流、頻率的參數(shù)，簡稱頻變參數(shù)，這使得計算線路阻抗十分復雜?？紤]集膚效應時，頻變參數(shù)的主要影響是導線的自阻抗。在計算一般圓形導體時，為了計算的方便，我們一般采用管狀導線模型來計算導線的自阻抗，它既可以計算管狀導線，又能用來作為鋼芯鋁線等導線，是管狀導線內(nèi)徑為零的特例。管狀模型時導線內(nèi)阻抗可以表示為[9]

(1)

(2)

但是鋼軌作為一種不規(guī)則導體，其橫截面為“工”字形。很難有有效的數(shù)學模型計算鋼軌的內(nèi)阻抗。文獻[10]提出一種將鋼軌等效為管狀導體模型的方法來計算鋼軌內(nèi)阻抗，如圖1所示。

圖1 鋼軌等效管狀導線示意圖

根據(jù)式(1)和式(2)可知，鋼軌管狀導線模型需要確定3個關鍵參數(shù)：鋼軌等效管狀模型磁導率μ；等效管狀導線模型外徑r；等效管狀導線模型內(nèi)徑q。

1.2 鋼軌等效管狀導體模型的簡化

在大量的計算仿真過程中，發(fā)現(xiàn)在高頻狀態(tài)下，利用管狀等效導體數(shù)學模型計算不規(guī)則導體頻變參數(shù)時，管狀導體模型內(nèi)徑q對結果幾乎無影響。通過驗證這一結果，給出一種簡化的鋼軌等效管狀導體模型。

崔：既然提到了“拉三”，那么這幾個經(jīng)典版本的“拉三”，哪個是您的最愛？是拉赫瑪尼諾夫本人的經(jīng)典演繹？是霍洛維茲的傳承和創(chuàng)新？是阿格里奇的極致炫技？還是范·克萊本在“柴科夫斯基國際鋼琴比賽”中對此曲的解構與重塑？

在討論內(nèi)徑q對結果的影響時，對相對磁導率、外徑r取固定值，測試不同頻率下內(nèi)徑q數(shù)值上的變化對鋼軌內(nèi)阻抗的計算結果影響，見表1。在本次驗證過程中，對鋼軌等效管狀模型其他參數(shù)采用固定值，內(nèi)徑q從0.005 4按照步長0.001自增，觀察每自增一次最終結果的變化。

表1 內(nèi)徑q對最終結果影響實驗各參數(shù)取值

表2為不同頻率下內(nèi)徑變化后的計算結果。根據(jù)表2計算結果可知，當頻率為100以上時，內(nèi)徑q對計算結果幾乎沒有影響。分析其原因，頻變參數(shù)主要是集膚效應的影響，在高頻情況下，鋼軌內(nèi)阻抗主要集中在鋼軌表面，所以等效模型中內(nèi)徑q在高頻情況下對計算結果幾乎無影響。在研究鋼軌頻變參數(shù)對行波色散的影響時，考慮到行波的高頻特性，可以忽略內(nèi)徑q的影響，即將管狀導線模型近似等效為實心導體。

(3)

(4)

表2 不同頻率下內(nèi)徑變化后的計算結果

(5)

根據(jù)式(5)可知，簡化模型只需要確定兩個關鍵參數(shù)：鋼軌等效管狀模型磁導率μ；鋼軌等效管狀模型外徑r。

2 鋼軌等效管狀導體模型參數(shù)的確定

2.1 鋼軌等效管狀模型磁導率μ確定

為計算方便，把不同磁介質中的磁導率μ與真空中的磁導率μ0進行比較，比較的倍數(shù)用μr表示，叫做相對磁導率。相對磁導率是一個常數(shù)。

μr=B/(μ0H)

(6)

(7)

式中：μ0為真空磁導率，一般認為μ0=4π×10-7H/km；μr為相對磁導率；I為鋼軌電流；P為鋼軌截面周長。

在采用管狀導體模型計算鋼軌頻變參數(shù)時，由于模型進行了等效轉換，不能直接使用鋼軌相對磁導率代入等效管狀模型進行計算，而應該使用一個具有某種平均意義的有效磁導率μe[16]。而在直流情況下，管狀導體直流內(nèi)感Lint(dc)可以表示為

(8)

(9)

當利用鋼軌等效管狀簡化模型時，由于S=0，g(S)=1，有

μe=Lint(dc)·8π

(10)

式中：Lint(dc)可現(xiàn)場測量獲取，亦可有限元仿真直流情況下鋼軌內(nèi)感獲得。本文采用有限元分析軟件Anasys-Maxwell對P50型號鋼軌有限元建模仿真獲取Lint(dc)，在實際工程中，還需要對鋼軌直流情況下內(nèi)感進行測量，以盡量消除誤差。

2.2 鋼軌等效模型外徑r的確定

根據(jù)文獻[2]定義自阻抗

Z=jωLii+Zc+Zg

(11)

Zc=Rc+jωLc

(12)

Z0是導線的內(nèi)電阻，根據(jù)文獻[3]，在忽略Zg的前提下，定義鋼軌的自阻抗為

Zc=Zext+Zin

(13)

Zext=jωLii

(14)

(15)

由于Zin與頻率和導體電流分布有關，在頻率f→∞時，電流集中在導體的表面，Zin→0。在管狀導線模型中，此時導體阻抗主要由外徑?jīng)Q定，在非常高的頻率下，導體阻抗與內(nèi)徑q無關。

(16)

(17)

此時r=ri，在能夠獲取到極限高頻率下鋼軌自阻抗時，可以根據(jù)式(17)確定鋼軌的等效管狀導線外徑r。一般情況下，我們可以用有限元分析軟件仿真極限頻率獲取鋼軌極限頻率下的鋼軌自阻抗。

本文采用有限元分析軟件Anasys-Maxwell對P50型號鋼軌[17]1∶1有限元建模仿真，可以得到極限頻率f∞下鋼軌的自阻抗參數(shù)(取極限頻率f∞=107Hz)，見表3。

表3 有限元仿真極限頻率下P50鋼軌自阻抗

根據(jù)表3仿真結果電感L的平均值以及式(17)，得到P50型號鋼軌等效管狀模型外徑r數(shù)據(jù)。

3 算例計算

根據(jù)第二章確定的相對磁導率μ和外徑r，利用管狀導體模型對P50鋼軌進行算例計算，其取值參數(shù)見表4。

表4 簡化管狀模型計算參數(shù)

利用表4參數(shù)，根據(jù)簡化管狀導體模型對P50型號鋼軌頻變參數(shù)進行計算，分別計算在0～10 000 Hz頻率下電流為100、200、800 A鋼軌頻變參數(shù)數(shù)據(jù)，見表5、表6。

表5 簡化管狀模型計算鋼軌電阻R

表6 簡化管狀模型計算鋼軌電感L

圖2為P50鋼軌電流為100、200、800 A三種情況下不同頻率下的電阻R的變化曲線，圖3為P50鋼軌電流為100、200、800 A三種情況下不同頻率下的電阻L的變化曲線，表5和表6分別為其中截取的部分計算結果數(shù)據(jù)。由圖2、圖3和表5、表6數(shù)據(jù)分析可知，鋼軌電阻R隨著頻率增加不斷增大，電感L隨著頻率增加逐漸減少，最后趨于穩(wěn)定?？傮w而言，鋼軌頻變參數(shù)中R、L隨頻率變化明顯，當行波在鋼軌傳播過程中，不同頻率成分的行波分量具有不同的波速度和衰減系數(shù)。在研究行波故障測距考慮行波色散過程中，鋼軌頻變參數(shù)對其影響十分巨大，對此進行深入的基礎性研究非常必要。

圖2 簡化管狀模型計算P50鋼軌電阻R

圖3 簡化管狀模型計算P50鋼軌電感L

4 結束語

本文根據(jù)現(xiàn)有管狀導體計算模型，得到一種針對計算鋼軌高頻頻變參數(shù)的簡化等效管狀數(shù)學模型，對簡化數(shù)學模型中各參數(shù)的確定給出詳細確定方案，并通過MATLAB語言實現(xiàn)該模型計算過程，利用該簡化模型對P50鋼軌頻變參數(shù)進行計算，計算結果為后續(xù)研究牽引供電系統(tǒng)行波故障測距中行波色散問題提供基礎數(shù)據(jù)參考。從計算結果分析可知，鋼軌頻變參數(shù)中R、L隨頻率變化明顯，在考慮行波色散過程中，鋼軌頻變參數(shù)對其影響十分巨大，不可忽略。但是在計算過程中，鋼軌等效管狀模型磁導率μ很大程度依賴有限元仿真直流內(nèi)感Lint(dc)的準確性。后續(xù)將對鋼軌相對磁導率μ的確定進行深入研究。