基于變分不等式算法的再制造系統(tǒng)生產(chǎn)決策研究

韓小雅 杜建輝

摘要：針對市場競爭和消費(fèi)者環(huán)保意識條件下再制造產(chǎn)品和新產(chǎn)品的生產(chǎn)決策問題，該文章構(gòu)建了多個(gè)企業(yè)之間的博弈模型，并證明了均衡解的存在性和唯一性。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用變分不等式理論提出了一個(gè)高效收斂算法，并借助MATLAB軟件進(jìn)行了數(shù)值分析。數(shù)值結(jié)果表明，通過變分不等式算法求解再制造系統(tǒng)優(yōu)化模型，企業(yè)能夠準(zhǔn)確地做出生產(chǎn)決策;盡管消費(fèi)者環(huán)保意識的提高會降低企業(yè)新產(chǎn)品的利潤.但為再制造產(chǎn)品帶來了極大的生產(chǎn)優(yōu)勢;競爭的加劇并非一定導(dǎo)致企業(yè)通過降低價(jià)格來減少損失。

關(guān)鍵詞：再制造系統(tǒng);生產(chǎn)決策;變分不等式;環(huán)保意識;競爭

中圖分類號：F272.3文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

O引言

伴隨著全球經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，因環(huán)境污染惡化、資源耗費(fèi)引起的社會問題層出不窮，而其中最大的源頭在于制造業(yè)。為了有效地利用有限的資源，在國家政府相繼出臺政策的大力推動(dòng)下，居民環(huán)保意識不斷加強(qiáng)，對于綠色環(huán)保的再制造產(chǎn)品的認(rèn)可度也不斷提高。因此，再制造系統(tǒng)應(yīng)運(yùn)而生，繼而再制造產(chǎn)品逐步融入市場競爭。再制造產(chǎn)品的出現(xiàn)，無疑將會對新產(chǎn)品的銷售造成一定程度的沖擊，究竟會在市場競爭中產(chǎn)生怎樣的影響？本文就此進(jìn)行建模分析。

對再制造生產(chǎn)方面的研究。對于再制造生產(chǎn)問題，Swaminathan在消費(fèi)者無法區(qū)分再制造產(chǎn)品和新制造產(chǎn)品前提下，研究其對生產(chǎn)批量的影響。張威等翻入研究發(fā)現(xiàn)企業(yè)投入回收和再制造努力的成本是相互替代的。洪佳等人研究發(fā)現(xiàn)再制造供應(yīng)鏈中聯(lián)合定價(jià)決策優(yōu)于分散定價(jià)決策。楊春苗等人研究發(fā)現(xiàn)政府補(bǔ)貼可以提高節(jié)點(diǎn)企業(yè)的均衡利潤。李楓等人對不完全信息下的逆向供應(yīng)鏈的定價(jià)與協(xié)調(diào)問題作了研究。對于庫存問題，Inderfurth等人通過構(gòu)造混合制造系統(tǒng)得出最優(yōu)的庫存控制策略。Qu和zhou通過報(bào)童模型研究消費(fèi)者行為對綠色低碳產(chǎn)品生產(chǎn)決策的影響。Qu等人將政府補(bǔ)貼考慮到供應(yīng)鏈的決策模型中并通過兩個(gè)合同機(jī)制來協(xié)調(diào)綠色供應(yīng)鏈。以上研究雖然對再制造系統(tǒng)作了較為詳細(xì)研究和探討，但未考慮消費(fèi)者環(huán)保意識對產(chǎn)品的影響。此外，這些研究對企業(yè)間的競爭刻畫得也比較簡略，僅是單一制造商的定價(jià)決策問題，而在實(shí)際市場競爭中，制造商不僅要應(yīng)對其上下游企業(yè)間的競爭，還要應(yīng)對企業(yè)內(nèi)部的競爭（自身企業(yè)的新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品間的競爭）。綜上所述，本文在以上研究的基礎(chǔ)上，充分考慮消費(fèi)者環(huán)保意識對企業(yè)經(jīng)營策略的影響，并將單一競爭推廣到多重企業(yè)間的競爭，同時(shí)，將企業(yè)內(nèi)部競爭考慮進(jìn)去，提出了基于變分不等式的再制造系統(tǒng)優(yōu)化模型。

對于變分不等式的研究現(xiàn)狀。Nagumey詳盡地介紹了變分不等式的概念以及相關(guān)定理。Qiang將其應(yīng)用到閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)模型的求解問題上。變分不等式求解的難點(diǎn)在于模型本身，由于充分考慮了再制造系統(tǒng)的各個(gè)制約因素，模型變得復(fù)雜而龐大，利用傳統(tǒng)的算法難以求解，求解時(shí)間較長，甚至找不到可行解。針對此難點(diǎn)，本文提出更加高效便捷的歐拉算法，在保證模型取得均衡解基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)求解過程中快速收斂的效果，從而進(jìn)一步推廣變分不等式模型的應(yīng)用范圍。

1模型構(gòu)建與變量定義

在再制造系統(tǒng)中，企業(yè)不僅要生產(chǎn)新產(chǎn)品，還要生產(chǎn)再制造產(chǎn)品，具體的業(yè)務(wù)流程如圖1所示。

在再制造系統(tǒng)中，企業(yè)既可以生產(chǎn)新產(chǎn)品，新產(chǎn)品的定價(jià)與庫存策略與普通產(chǎn)品一樣，同時(shí)，又通過回收中心回收舊產(chǎn)品，并經(jīng)二次制造再次推向市場。環(huán)保意識高的消費(fèi)者會選擇再制造產(chǎn)品，環(huán)保意識低的消費(fèi)者會選擇購買新產(chǎn)品。

本文研究的問題是：在市場競爭和消費(fèi)者環(huán)保意識條件下，如何應(yīng)用變分不等式算法來解決多個(gè)企業(yè)對新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品的生產(chǎn)決策問題，使自身獲得最大利潤。

模型假設(shè)：

（1）企業(yè)的新產(chǎn)品價(jià)格與再制造產(chǎn)品生產(chǎn)量以及其他企業(yè)的新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品生產(chǎn)量相關(guān)。

（2）企業(yè)的再制造產(chǎn)品價(jià)格與新產(chǎn)品生產(chǎn)量以及其他企業(yè)的新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品生產(chǎn)量相關(guān)，并且還依賴于消費(fèi)者的環(huán)保意識水平。

（3）每個(gè)企業(yè)的新產(chǎn)品和再制造價(jià)格函數(shù)均關(guān)于新產(chǎn)品生產(chǎn)量和再制造產(chǎn)品生產(chǎn)量是連續(xù)可微的單調(diào)遞減函數(shù)。

（4）企業(yè)的新產(chǎn)品成本與自己再制造產(chǎn)品生產(chǎn)量以及其他企業(yè)的新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品生產(chǎn)量相關(guān)。

（5）企業(yè)的再制造產(chǎn)品成本與自己新產(chǎn)品生產(chǎn)量以及其他企業(yè)的新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品生產(chǎn)量相關(guān)。

（6）每個(gè)企業(yè)的新產(chǎn)品和再制造成本函數(shù)均關(guān)于新產(chǎn)品生產(chǎn)量和再制造產(chǎn)品生產(chǎn)量是連續(xù)可微的凸函數(shù)。

根據(jù)上述假設(shè)，提出以下目標(biāo)模型式（5），模型變量和符號定義如表1所示。在再制造系統(tǒng)中，每個(gè)企業(yè)的利潤組成兩個(gè)部分，即：新產(chǎn)品利潤和再制造產(chǎn)品利潤。企業(yè)j優(yōu)化模型如下所示：

通過表2中的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：（1）從消費(fèi)者角度分析：當(dāng)環(huán)保意識較低（p=2）時(shí)，企業(yè)l和企業(yè)2的新產(chǎn)品生產(chǎn)量和價(jià)格均高于其自身的再制造產(chǎn)品生產(chǎn)量和價(jià)格，說明市場上大部分消費(fèi)者還是愿意花費(fèi)高的價(jià)格購買新產(chǎn)品。（2）從企業(yè)競爭的角度分析：企業(yè)l遠(yuǎn)低于企業(yè)2的利潤，因?yàn)楦嘞M(fèi)者偏愛企業(yè)2，更愿意花費(fèi)更高價(jià)格購買企業(yè)2的產(chǎn)品。

3.2環(huán)保意識靈敏度分析。隨著消費(fèi)者的環(huán)保意識會不斷提高，本文將p=2上升到p=3.5，兩個(gè)企業(yè)的新產(chǎn)品價(jià)格函數(shù)與算例（3.1）保持不變，但其再制造產(chǎn)品價(jià)格函數(shù)發(fā)生改變（消費(fèi)者環(huán)保意識提高），如下：

比較表2和表3發(fā)現(xiàn)：隨著環(huán)保意識的提高企業(yè)l利潤增加8.8225%，企業(yè)2利潤增加3.6072%。盡管環(huán)保意識的提高會導(dǎo)致一些消費(fèi)者放棄購買新產(chǎn)品。然而，由于環(huán)保意識的提高會促進(jìn)更多消費(fèi)者花費(fèi)更高的價(jià)格購買再制造產(chǎn)品，反而會增大企業(yè)再制造產(chǎn)品的收入。在（3.2）場景下，兩個(gè)企業(yè)再制造產(chǎn)品利潤的增大幅度要大于其新產(chǎn)品利潤減少幅度。因此，當(dāng)環(huán)保意識水平從p=2上升到p=3.5時(shí)，企業(yè)1和企業(yè)2的利潤均有所提高。為了分析環(huán)保意識對兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)過程的影響，還考慮當(dāng)環(huán)保意識不斷變化時(shí)，分析其對企業(yè)新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品生產(chǎn)量以及各自利潤的影響，如圖2至圖4所示。

從圖2觀察到：當(dāng)環(huán)保意識p=2變化到p=4時(shí)，企業(yè)1和企業(yè)2新產(chǎn)品的均衡產(chǎn)量均隨著p的增大而減小，而企業(yè)1和企業(yè)2再制造產(chǎn)品的均衡產(chǎn)量均隨著p的增大而增大。這進(jìn)一步說明了隨著環(huán)保意識的增強(qiáng)，對再制造產(chǎn)品的認(rèn)可度會逐漸的增強(qiáng)，而對于新產(chǎn)品的依賴程度則會降低。此外，圖2顯示這兩個(gè)企業(yè)再制造產(chǎn)品產(chǎn)量上升的幅度要大于其新產(chǎn)品產(chǎn)量下降的幅度。

在圖3中可以看出，當(dāng)環(huán)保意識p=2變化到p=4時(shí)，企業(yè)1和企業(yè)2新產(chǎn)品的價(jià)格均隨著p的增大而減小，而企業(yè)1和企業(yè)2再制造產(chǎn)品的價(jià)格均隨著p的增大而增大。這意味著消費(fèi)者更愿意花費(fèi)更高的價(jià)格購買再制造產(chǎn)品。同時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)企業(yè)再制造產(chǎn)品價(jià)格上升的幅度要大于其各自新產(chǎn)品價(jià)格下降的幅度。

根據(jù)圖4，當(dāng)環(huán)保意識p=2變化到p=4時(shí)，發(fā)現(xiàn)企業(yè)總利潤均隨著p的增大而增大。由于消費(fèi)者環(huán)保意識的提高，盡管價(jià)格和產(chǎn)量均下降，導(dǎo)致新產(chǎn)品利潤下降。但再制造產(chǎn)品利潤上升的幅度要比新產(chǎn)品利潤下降的幅度要大，并隨著p的增大，其幅度的大小也越來越大。因此，環(huán)保意識的提高能為企業(yè)帶來更大的利潤空間，企業(yè)應(yīng)當(dāng)采取相應(yīng)措施。

3.3競爭程度靈敏度分析。在算例（3.3）中，假定市場上進(jìn)入一個(gè)新企業(yè)（企業(yè)3）。企業(yè)3的加入，導(dǎo)致企業(yè)之間的競爭越來越強(qiáng)。設(shè)定p=3.5，價(jià)格函數(shù)為：

比較表3和表4發(fā)現(xiàn)：（1）整體競爭加劇。由于競爭者企業(yè)3的加入，導(dǎo)致企業(yè)l新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品的生產(chǎn)量和價(jià)格均下降，從而企業(yè)1的利潤降低6.8599%。此外，企業(yè)3的加入對企業(yè)2的影響更大，企業(yè)2的利潤下降19.8235%;（2）新產(chǎn)品增價(jià)止損。企業(yè)2新產(chǎn)品的價(jià)格增大，且其新產(chǎn)品生產(chǎn)量下降。因?yàn)閷τ谄髽I(yè)2的新產(chǎn)品，隨著競爭程度的增高，其價(jià)格降低難以導(dǎo)致產(chǎn)量大幅度上升，所以價(jià)格增高會減少企業(yè)2的利潤損失;（3）再制造產(chǎn)品降價(jià)止損。企業(yè)2再制造產(chǎn)品的價(jià)格和生產(chǎn)量均有所降低，原因是對于企業(yè)2的再制造產(chǎn)品，其價(jià)格的降低會避免由于競爭程度的加強(qiáng)導(dǎo)致其產(chǎn)量出現(xiàn)大幅度下降，從而達(dá)到降低其利潤損失的目的。

對比表2和表4的結(jié)果發(fā)現(xiàn)：環(huán)保意識的提高會彌補(bǔ)因競爭的加劇帶來的損失。企業(yè)2的利潤下降16.9314%，而企業(yè)1的利潤上升1.3574%，原因是盡管企業(yè)3的加入導(dǎo)致市場競爭程度越來越高，使企業(yè)2的利潤降低，然而，環(huán)保意識的提高會促進(jìn)更多消費(fèi)者以高價(jià)格購買再制造產(chǎn)品，這會增大企業(yè)1的利潤。具體而言，雖然企業(yè)1新產(chǎn)品的價(jià)格和產(chǎn)量均下降導(dǎo)致其新產(chǎn)品利潤降低。然而，企業(yè)1再制造產(chǎn)品的價(jià)格上升42.1003%，產(chǎn)量上升42.0873%，并且再制造產(chǎn)品利潤上升的幅度要大于其新產(chǎn)品利潤下降的幅度，所以其總利潤會上升。對于企業(yè)2而言，盡管其再制造產(chǎn)品的價(jià)格和產(chǎn)量都增大，但再制造產(chǎn)品利潤上升的幅度無法彌補(bǔ)新產(chǎn)品利潤下降的幅度，從而企業(yè)2總利潤降低。

4結(jié)論

本文主要研究多個(gè)企業(yè)對新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品的生產(chǎn)決策問題。在消費(fèi)者環(huán)保意識和市場競爭條件下，以企業(yè)的利潤最大化為目標(biāo)，建立多企業(yè)多變量的復(fù)雜再制造系統(tǒng)優(yōu)化模型。本文運(yùn)用變分不等式理論將其轉(zhuǎn)化為相對應(yīng)的變分不等式問題，并證明了均衡解的存在性和唯一性。在此基礎(chǔ)上，本文提出一個(gè)高效收斂算法（歐拉算法），運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行編程，可在十幾秒時(shí)間內(nèi)獲得數(shù)值結(jié)果。

本文通過算例研究，得到如下結(jié)論：（1）盡管消費(fèi)者環(huán)保意識的提高會降低企業(yè)新產(chǎn)品的利潤，但對再制造產(chǎn)品帶來的好處遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于新產(chǎn)品損失，且環(huán)保意識越高，企業(yè)的總利潤上升速度越大。（2）競爭程度的加強(qiáng)并非一定導(dǎo)致企業(yè)通過降低價(jià)格來減少損失。雖然新企業(yè)的加入會一定程度地降低其他企業(yè)新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品帶來的利潤水平，企業(yè)不一定必須通過降低價(jià)格、提高產(chǎn)量的方式來降低損失，或許用差異化的競爭策略會起到更好效果。