基于非參數(shù)核密度估計(jì)與Copula方法的山東省小麥?zhǔn)杖氡ｋU(xiǎn)定價(jià)研究

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

科學(xué)厘定農(nóng)作物收入保險(xiǎn)費(fèi)率，對(duì)分散農(nóng)業(yè)生產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)、促進(jìn)農(nóng)業(yè)可持續(xù)發(fā)展具有重要意義。收入保險(xiǎn)費(fèi)率厘定的關(guān)鍵在于兩個(gè)方面：一是對(duì)單產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)、價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)的測算，即確定單產(chǎn)和價(jià)格的邊緣分布；二是確定兩類風(fēng)險(xiǎn)的相關(guān)關(guān)系，即產(chǎn)量和價(jià)格的聯(lián)合分布。常用的風(fēng)險(xiǎn)測算方法有參數(shù)法和非參數(shù)法兩種。國外研究最早假設(shè)農(nóng)作物單產(chǎn)服從正態(tài)分布[1]，而Ramírez、Mcdonald發(fā)現(xiàn)農(nóng)作物單產(chǎn)受諸多因素影響，是否服從正態(tài)分布要取決于當(dāng)?shù)氐臈l件。此后，國外學(xué)者進(jìn)一步提出農(nóng)作物單產(chǎn)可能服從Beta分布、Lognormal分布和Weibull分布等[3-4]。由于價(jià)格具有非負(fù)性，所以大多學(xué)者認(rèn)為農(nóng)作物價(jià)格服從Log normal分布[5-6]。盡管學(xué)者們分別采用了不同的分布來提高風(fēng)險(xiǎn)測算的準(zhǔn)確性，但事先對(duì)其分布進(jìn)行假定，就可能導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果不精確或費(fèi)率估計(jì)結(jié)果不穩(wěn)定等問題，本身就存在不合理之處。因此，非參數(shù)法逐步發(fā)展起來，Woodard[7]采用非參數(shù)核密度法對(duì)農(nóng)作物單產(chǎn)、價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了測算，結(jié)果表明非參數(shù)核密度估計(jì)更加靈活，且能夠體現(xiàn)出單產(chǎn)損失數(shù)據(jù)的非對(duì)稱性和左偏性特點(diǎn)。文獻(xiàn)[8]分別采用參數(shù)法和非參數(shù)法厘定了我國糧食單產(chǎn)純費(fèi)率，發(fā)現(xiàn)非參數(shù)核密度法厘定的費(fèi)率結(jié)果更為準(zhǔn)確，更加符合實(shí)際。在確定了單產(chǎn)、價(jià)格邊緣分布的基礎(chǔ)上，如何確定其聯(lián)合分布至關(guān)重要，Copula理論的出現(xiàn)及發(fā)展使這一問題得到解決。Tejeda通過Copula方法發(fā)現(xiàn)農(nóng)作物單產(chǎn)與價(jià)格之間存在微弱負(fù)相關(guān)性，并得出在風(fēng)險(xiǎn)“對(duì)沖效應(yīng)”下，收入保險(xiǎn)相較于產(chǎn)量保險(xiǎn)具有更低費(fèi)率的結(jié)論[3]。隨后，有學(xué)者對(duì)Copula函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，Woodard發(fā)現(xiàn)相較于單一Copula函數(shù)，混合Copula函數(shù)能夠有效提高玉米收入保險(xiǎn)費(fèi)率厘定的準(zhǔn)確性[9]。Goodwin等[10]采用vine-Copula對(duì)美國玉米和大豆收入保險(xiǎn)進(jìn)行了研究，結(jié)果表明vine-Copula具有更小的AIC和BIC值,相較于高斯Copula能更好的衡量尾部風(fēng)險(xiǎn)。國內(nèi)當(dāng)前只有少數(shù)學(xué)者通過Copula方法對(duì)農(nóng)作物收入保險(xiǎn)進(jìn)行定價(jià)研究，且均采用參數(shù)法并依據(jù)AD統(tǒng)計(jì)量來選取最優(yōu)分布對(duì)農(nóng)作物單產(chǎn)、價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行測算[11-13]。

綜上，國外通過Copula方法研究農(nóng)作物收入保險(xiǎn)理論較為成熟，研究成果也較為豐富，而我國對(duì)這方面的研究才剛剛起步，尤其在非參數(shù)核密度估計(jì)與Copula函數(shù)在農(nóng)作物收入保險(xiǎn)綜合應(yīng)用研究方面。因此，本文在已有研究的基礎(chǔ)上，通過非參數(shù)核密度估計(jì)與Copula函數(shù)相結(jié)合的方法來研究農(nóng)作物收入保險(xiǎn)費(fèi)率厘定問題。具體來說，以山東省1975—2016年小麥單產(chǎn)、價(jià)格數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過小波分析進(jìn)行去趨勢處理后，采用非參數(shù)核密度估計(jì)測算小麥單產(chǎn)、價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)，依據(jù)平方歐式距離從常用Copula函數(shù)中選取最優(yōu)Copula形式，采用極大似然估計(jì)得到Copula函數(shù)參數(shù)，結(jié)合蒙特卡羅方法隨機(jī)抽樣5 000次，最終得到不同保障水平下山東省小麥?zhǔn)杖氡ｋU(xiǎn)費(fèi)率。

1 基本理論

1.1 非參數(shù)核密度估計(jì)

設(shè)X1,X2,…,Xn是取自一元連續(xù)總體的樣本，在任意點(diǎn)x處總體密度函數(shù)f(x)的核密度估計(jì)[14]

(1)

(2)

(3)

其中，A=min{樣本四分位距/1.34，樣本標(biāo)準(zhǔn)差}。

1.2 Copula函數(shù)

1998年，Nelsen給出了Copula函數(shù)的定義：

定義[16]Copula函數(shù)是指具有以下性質(zhì)的函數(shù)C(u1,u2,…,uN)：

1)C(u1,u2,…,uN)定義域?yàn)閇0,1]N；

2)C(u1,u2,…,uN)有零基面，并且是N維遞增的；

3)C(u1,u2,…,uN)有邊緣分布函數(shù)Ci(ui)(i=1,2,…,N)，且滿足

Ci(ui)=C(1,…,1,ui,1,…,1)=ui

其中ui∈[0,1](i=1,2,…,N)。

下面的Sklar定理是Copula理論中的一個(gè)關(guān)鍵結(jié)果。

Sklar定理[16]Copula函數(shù)是隨機(jī)變量x1,x2,…,xn的聯(lián)合分布函數(shù)F(x1,x2,…,xn)與各自的邊緣分布函數(shù)F1(x1),…,Fn(xn)相連接的一個(gè)函數(shù)，即存在函數(shù)C(u1,u2,…,un)，滿足

F(x1,x2,…,xn)=C[F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)]。

(4)

若F1(x1),…,Fn(xn)連續(xù)，則Copula函數(shù)C(u1,u2,…,un)唯一確定。F(x1,x2,…,xn)的密度函數(shù)為

(5)

2 費(fèi)率厘定方法

小麥?zhǔn)杖氡ｋU(xiǎn)定價(jià)主要涉及兩個(gè)問題，一是對(duì)小麥單產(chǎn)、價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)的估計(jì)，二是對(duì)二者相關(guān)性的測算。分別采用非參數(shù)核密度估計(jì)和Copula方法解決以上兩個(gè)問題，在此基礎(chǔ)上結(jié)合蒙特卡羅模擬方法計(jì)算出小麥?zhǔn)杖氡ｋU(xiǎn)費(fèi)率，具體方法如下:

1)通過非參數(shù)核密度估計(jì)分別擬合小麥單產(chǎn)及價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)分布，得到兩個(gè)邊際分布密度函數(shù)f1(x1),f2(x2)，對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)為F1(x1),F2(x2)；

2)通過Copula函數(shù)建立單產(chǎn)、價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)分布的聯(lián)合分布。采用極大似然估計(jì)法估計(jì)Copula參數(shù)，并依據(jù)平方歐式距離最小的原則從常用Copula函數(shù)中選取最優(yōu)Copula形式；

3)以C(F1(x1),F2(x2))作為“隨機(jī)數(shù)發(fā)生器”，生成服從[0,1]均勻分布的隨機(jī)變量u，v各5 000個(gè)；

(6)

(7)

3 實(shí)證研究

3.1 數(shù)據(jù)處理

對(duì)每千克主產(chǎn)品平均出售價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行相同處理，原始數(shù)據(jù)處理結(jié)果及去趨勢處理后的小麥單產(chǎn)及價(jià)格序列描述性統(tǒng)計(jì)量分析見表1、表2。

表1 原始序列及去趨勢處理后序列單位根檢驗(yàn)結(jié)果Tab.1 Unit root test results of original sequence and detrended sequence

表2 去趨勢處理后小麥單產(chǎn)、價(jià)格描述性統(tǒng)計(jì)Tab.2 Descriptive statistics of wheat yield and price after detrending treatment

由表1、表2可知，去趨勢處理后的單產(chǎn)、價(jià)格數(shù)據(jù)峰度系數(shù)均大于3，呈尖峰狀態(tài)；偏度系數(shù)均大于0，呈右偏分布，且在1%顯著性水平下均拒絕存在單位根的假設(shè)，即去趨勢處理后的單產(chǎn)、價(jià)格序列為平穩(wěn)序列。因此，可以通過非參數(shù)核密度估計(jì)對(duì)其分布進(jìn)行擬合。

3.2 邊緣分布確定

對(duì)小麥單產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)(KS檢驗(yàn)、W檢驗(yàn))發(fā)現(xiàn)，小麥單產(chǎn)并不符合常見參數(shù)分布(正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、伽馬分布、指數(shù)分布)，因此采用非參數(shù)核密度估計(jì)對(duì)小麥單產(chǎn)、價(jià)格數(shù)據(jù)邊緣分步進(jìn)行擬合。根據(jù)Silverman的“經(jīng)驗(yàn)法則”計(jì)算單產(chǎn)、價(jià)格數(shù)據(jù)的窗寬分別為8.139和0.097，考慮到選取不同核函數(shù)可能對(duì)核密度估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生影響，分別選取4種常用核函數(shù)對(duì)小麥單產(chǎn)、價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖1、圖2所示?？梢钥闯?，不同核函數(shù)之間差異不大，但高斯核函數(shù)更為平滑，更能反映小麥單產(chǎn)和價(jià)格的真實(shí)分布情況。

3.3 聯(lián)合分布的確定

在得到小麥單產(chǎn)和價(jià)格的邊際分布的基礎(chǔ)上，可以通過Copula方法來計(jì)算兩者的相關(guān)關(guān)系并模擬其聯(lián)合分布。目前常用的二元Copula函數(shù)有5種，分別為正態(tài)Copula、t-Copula、Frank Copula、Gumbel Copula和Clayton Copula[14]，采用極大似然估計(jì)法對(duì)Copula參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果如表3所示。

3.4 小麥?zhǔn)杖氡ｋU(xiǎn)費(fèi)率的厘定

確定農(nóng)戶小麥?zhǔn)杖氲淖顑?yōu)聯(lián)合分布函數(shù)(t-Copula函數(shù))后，由于Copula函數(shù)的具體解析式較為復(fù)雜，難以直接計(jì)算費(fèi)率。因此，通過蒙特卡羅模擬方法模擬5 000對(duì)單產(chǎn)和價(jià)格數(shù)據(jù)，通過式(6)和(7)計(jì)算小麥?zhǔn)杖氡ｋU(xiǎn)純費(fèi)率。目前，山東省現(xiàn)行小麥保險(xiǎn)費(fèi)率在80%保障水平下為4%，為方便比較并考慮到農(nóng)戶選擇保險(xiǎn)的多樣性，計(jì)算了75%～100%保障水平下的小麥?zhǔn)杖氡ｋU(xiǎn)費(fèi)率，結(jié)果如圖4和表4所示，圖4中的左、下方柱狀圖分別表示蒙特卡羅模擬小麥價(jià)格及單產(chǎn)樣本點(diǎn)的邊際分布情況。

圖1 小麥單產(chǎn)非參數(shù)核密度估計(jì)結(jié)果 Fig.1 Estimation results of nonparametric kernel density for wheat yield

圖2 小麥價(jià)格非參數(shù)核密度估計(jì)結(jié)果Fig.2 Nonparametric kernel density estimation of wheat price

表3 Copula函數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.3 Copula function estimation results

需要指出的是，此處得到的費(fèi)率為純費(fèi)率，不包括保險(xiǎn)公司實(shí)際運(yùn)營所需的附加營業(yè)費(fèi)用等。從表4可以看出，保障水平的降低會(huì)使預(yù)期損失發(fā)生的概率下降，從而費(fèi)率降低。在75%～100%保障水平下，山東省小麥?zhǔn)杖氡ｋU(xiǎn)純費(fèi)率在1.13%～6.71%之間，不同保障下費(fèi)率存在較大的差異。

圖3 小麥單產(chǎn)、價(jià)格經(jīng)驗(yàn)Copula分布函數(shù)圖Fig.3 Copula distribution function diagram of wheat yield and price experience

圖4 蒙特卡羅模擬結(jié)果Fig.4 Monte Carlo simulation results

表4 山東省小麥?zhǔn)杖氡ｋU(xiǎn)費(fèi)率厘定結(jié)果Tab.4 Determining results of wheat income insurance premium rate in Shandong Province %

4 結(jié)論

以山東省小麥歷史單產(chǎn)、價(jià)格數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，運(yùn)用非參數(shù)核密度估計(jì)與Copula方法得到兩變量的聯(lián)合概率分布，最終得到不同保障水平下小麥?zhǔn)杖氡ｋU(xiǎn)費(fèi)率，所得結(jié)論如下：

1)采用非參數(shù)核密度估計(jì)對(duì)小麥單產(chǎn)和價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行測算，而不是事先假設(shè)其服從某種特定分布，避免了由于分布選擇的主觀性引起費(fèi)率結(jié)果估計(jì)不穩(wěn)定的問題，所測風(fēng)險(xiǎn)更加符合實(shí)際。

2)根據(jù)最小平方歐式距離選取t-Copula得到了山東省小麥單產(chǎn)和價(jià)格的聯(lián)合概率分布，kendall-τ相關(guān)系數(shù)為-0.086 2，說明山東省小麥單產(chǎn)和價(jià)格數(shù)據(jù)并不是完全獨(dú)立的，而是呈現(xiàn)出微弱的負(fù)相關(guān)性。

3)目前山東省實(shí)施的小麥產(chǎn)量保險(xiǎn)在80%保障水平下費(fèi)率為4%，高于通過本文方法測算的收入保險(xiǎn)費(fèi)率1.51%，原因是小麥單產(chǎn)與價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)之間存在對(duì)沖效應(yīng)，因此收入保險(xiǎn)費(fèi)率一般會(huì)低于同保障水平的產(chǎn)量保險(xiǎn)費(fèi)率，并且計(jì)算結(jié)果為純費(fèi)率，并未考慮保險(xiǎn)公司的附加營業(yè)費(fèi)用和巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)等因素，這也是所得費(fèi)率偏低的原因之一。另外，測算的不同保障水平下小麥?zhǔn)杖氡ｋU(xiǎn)純費(fèi)率差異明顯，保險(xiǎn)者應(yīng)當(dāng)根據(jù)自身情況選擇適當(dāng)?shù)谋Ｕ纤劫徺I保險(xiǎn)。