對(duì)一道高考題的解法探究與思考

李坤麗 胡典順

一題多解是提高數(shù)學(xué)解題能力的有效途徑。在一題多解中，通過(guò)典型問(wèn)題呈現(xiàn)不同解法的同時(shí)，回顧與綜合不同的知識(shí)點(diǎn)與不同的數(shù)學(xué)思想方法，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，充分暴露思維過(guò)程，真正提升能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。三角函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)中很重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，是歷年高考必涉及的，題目一般具有基礎(chǔ)性，本質(zhì)性強(qiáng)的特點(diǎn)。2019年高考全國(guó)Ⅰ卷第17題是一道綜合利用正弦定理、余弦定理解三角形的問(wèn)題，涉及到兩角和差公式以及正余弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，題目本身難度不大但卻能很好地考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的熟練程度和理解程度，學(xué)生的解答能較好反應(yīng)其真實(shí)素養(yǎng)水平。

原題：（2019年高考全國(guó)Ⅰ卷第17題）. 的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè) .

（1）求A；

（2）若 ，求sinC.

題目解析：本題考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形的問(wèn)題，涉及到兩角和差公式以及正余弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正余弦定理進(jìn)行邊和角的相互轉(zhuǎn)化并利用邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到對(duì)應(yīng)所求的角之間的關(guān)系。對(duì)于第一問(wèn)基本沒(méi)有設(shè)置障礙，屬于送分題，直接利用正弦定理化簡(jiǎn)已知邊角關(guān)系式可得： ，從而得 ，再由余弦定理和 即可直接求解出答案。對(duì)于第二問(wèn)由題目已知條件利用正弦定理很容易得出結(jié)論，但是在具體求解中會(huì)存在一定的障礙，本題作為數(shù)學(xué)試卷的第一個(gè)答題，知識(shí)的掌握和解題的熟練度對(duì)學(xué)生的心態(tài)和最終考核結(jié)果有很重要的作用。而本題從多角度給予了學(xué)生思考和解答的空間，不僅可以考查學(xué)生的知識(shí)掌握程度，還可以綜合考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解程度和綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)意識(shí).方法并不唯一，視角開(kāi)闊，綜合考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)，彰顯了“立德樹人”的目標(biāo)導(dǎo)向，同時(shí)也是評(píng)價(jià)體系轉(zhuǎn)變的一個(gè)良好實(shí)例。

（2）思路一：利用兩角和差公式進(jìn)行求解

方法1：由（1）知 ， ，由題知 ，依據(jù)正弦定理可得： 整理得 ，即 ， ，所以 ， .

方法2：由（1）知 ， ，由題知 ，依據(jù)正弦定理得： ，

整理得 ， ， ，所以 ，可得 .

所以 .

方法3：由 ，得： 即 ，

得： ，

所以 .

點(diǎn)評(píng)：利用正余弦定理對(duì)三角形求解屬于常規(guī)題，對(duì)于本題其涉及的一個(gè)難點(diǎn)在于題目中所給出的角具有一定的特殊性，需要學(xué)生能夠活學(xué)或用，靈活處理所給式子。解題過(guò)程能很好地反映出學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)理解掌的程度以及數(shù)學(xué)運(yùn)用能力，達(dá)到測(cè)試的目的.

（2）思路二：利用三角形三角直接的關(guān)系進(jìn)行求解

方法4：已知 ， ， ， ，

得 ， ， ，因 所以 ，故 .

方法5：由已知依據(jù)正弦定理得： ，

整理得 ，兩邊平方整理得： ， ， ，所以 ， .得 .

方法6：由題知 ，即 ，根據(jù)射影定理知 ，由（1）知角 ，所以 ， ， .

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)檎麄€(gè)解題里只涉及到三角形的三個(gè)角和邊，學(xué)生會(huì)自然聯(lián)想到邊角關(guān)系進(jìn)行求解，且第一問(wèn)為第二問(wèn)做了一定得鋪墊，學(xué)生容易捕獲解題的信息點(diǎn)。這一做法思路較流暢，屬于順勢(shì)而上的直線型思維，能很好地考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度。

（2）思路三：利用正余弦定理直接進(jìn)行求解

方法7：由題知 （1）， ，即 （2）由兩式聯(lián)立得：將（2）式代入（1）式消去c整理得： ， ，將其帶入（1）可得 ，由正弦定理： ， ， ， ，從而 ，同法4 ，故 .

方法8：步驟同一： ，由正弦定理：， ， ， ，得 .同理 ，故 .

結(jié)束語(yǔ)：

考場(chǎng)上學(xué)生容易緊張，出現(xiàn)稍需要技巧處理的題很容易慌張，但如能把握住運(yùn)算的本質(zhì)，還是可以拿到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。上述三種方法中第三種思路相對(duì)于前兩種思路更清晰，兩個(gè)未知數(shù)兩個(gè)方程，直接對(duì)相應(yīng)邊角進(jìn)行求解，但計(jì)算過(guò)程相對(duì)而言較前兩者復(fù)雜，需要學(xué)生具備良好的計(jì)算能力和耐心細(xì)心的心理素質(zhì)。三種思路均可以從不同層次對(duì)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)進(jìn)行考查，在知識(shí)考查中更切實(shí)地考查學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，充分暴露其思維過(guò)程，真正體現(xiàn)能力，展現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平。

作者簡(jiǎn)介：

李坤麗（1993-），女，漢，陜西，在讀碩士，碩士，華中師范大學(xué)，課程與教學(xué)論，430079。