一個(gè)無(wú)理分式不等式猜想的證明①

劉春平

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 225002 )

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2016年9月問(wèn)題2325[1]為：

設(shè)x,y是滿足xy=1的正數(shù)，λ≥0，求證：

最近，文[2]從指數(shù)與項(xiàng)數(shù)人手，將問(wèn)題2325進(jìn)行推廣得到了三個(gè)定理，其中定理3為：

設(shè)x,y>0,xy=1,m≥2,m為整數(shù),λ≥0，有

在考慮將定理3再推廣至n元時(shí)，文[2]作者“傾向于結(jié)論成立但久思不得證法”[2]，故提出了如下

下面，本文利用變量變換和Jensen不等式給出上述猜想的證明.

對(duì)f(θ)求導(dǎo)得

當(dāng)m≥2,m為整數(shù),λ≥ 0 時(shí)，f″(θ)>0,

故f(θ)在(-，+)上為凸函數(shù)，

根據(jù)Jensen不等式有

即

文[2]猜想得證.