基于Lipschitz條件的一類非線性時滯廣義系統(tǒng)觀測器的設(shè)計(jì)

孫延修,黎虹,潘斌

(1.沈陽工學(xué)院基礎(chǔ)課部,遼寧 撫順 113122;2.遼寧石油化工大學(xué)理學(xué)院,遼寧 撫順 113122)

1 引言

系統(tǒng)的觀測器設(shè)計(jì)是控制領(lǐng)域研究的熱點(diǎn),針對非線性系統(tǒng)觀測器的研究,近幾十年取得了很多的成果,但大多是針對未帶時滯的系統(tǒng)觀測器的設(shè)計(jì)[1-4].在社會生活生產(chǎn)的各個方面,如:冶金、網(wǎng)絡(luò)控制、通信、化工和機(jī)械傳輸?shù)阮I(lǐng)域時滯現(xiàn)象廣泛存在,所以研究時滯系統(tǒng)更具實(shí)際應(yīng)用意義[5-9].文獻(xiàn)[4]針對含有Lipschitz非線性項(xiàng)系統(tǒng)的狀態(tài)不可測量,分別設(shè)計(jì)了全維和降維觀測器.文獻(xiàn)[8]針對非線性項(xiàng)滿足Lipschitz條件的時滯系統(tǒng)的觀測器進(jìn)行了設(shè)計(jì),并對觀測器進(jìn)行了H∞技術(shù)性能分析.文獻(xiàn)[10]針對一類非線性系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)出了全維、降維觀測器,并給出觀測器存在的充分條件,通過利用線性矩陣不等式(LMI)求解出了觀測器的增益矩陣.文獻(xiàn) [11]針對滿足Lipschitz條件的非線性時滯系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)出了全維和降維觀測器,并通過對模型的仿真分析證實(shí)了觀測器設(shè)計(jì)方法的可行性.文獻(xiàn)[12]給出了具有時滯的Lipschitz非線性系統(tǒng)觀測器存在的充分條件,并設(shè)計(jì)出具有擾動的時滯Lipschitz非線性離散系統(tǒng)的魯棒觀測器.

廣義系統(tǒng)是一類形式更為一般化的系統(tǒng),其在電力系統(tǒng)、電子網(wǎng)絡(luò)、機(jī)器人系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.隨著奇異系統(tǒng)理論的發(fā)展,針對廣義系統(tǒng)觀測器的設(shè)計(jì)及觀測器在故障診斷中的應(yīng)用具有一定的積極意義[13-15].文獻(xiàn)[16]針對一類離散廣義時滯系統(tǒng),通過系統(tǒng)變換結(jié)合系統(tǒng)差分方程的特點(diǎn)及范數(shù)的性質(zhì),給出了狀態(tài)觀測器存在的充分條件.文獻(xiàn)[17]針對一類時滯廣義系統(tǒng)的全維與降維觀測器進(jìn)行了設(shè)計(jì),并給出了觀測器增益矩陣的求解方法.文獻(xiàn)[18]針對一類時滯Lipschitz非線性離散廣義系統(tǒng),分兩種情況對系統(tǒng)進(jìn)行討論進(jìn)而設(shè)計(jì)出觀測器,并給出了相應(yīng)觀測器存在的充分條件.

目前,針對非線性時滯廣義系統(tǒng)觀測器的設(shè)計(jì)與研究成果較少.本文針對一類含有Lipschitz非線性項(xiàng)的連續(xù)時滯廣義系統(tǒng)的觀測器進(jìn)行了設(shè)計(jì),利用Schur補(bǔ)引理給出了系統(tǒng)觀測器存在的充分條件,最后利用數(shù)值算例驗(yàn)證了觀測器設(shè)計(jì)方法的可行性.

2 問題描述

考慮如下非線性時滯廣義系統(tǒng):

其中,E∈Rn×n為奇異矩陣且滿足rank(E)=q

為常數(shù)矩陣,u(t)∈Rm,y(t)∈Rp分別是系統(tǒng)的輸入和輸出.

假設(shè) 1系統(tǒng)的非線性項(xiàng)Φ(x(t),x(t?d),u(t)),滿足Lipschitz條件,即有

其中,LΦ為大于0的Lipschitz常數(shù).

(I)當(dāng)系統(tǒng)的非線性項(xiàng)等于零時,根據(jù)假設(shè)2系統(tǒng)(1)可轉(zhuǎn)化為:

進(jìn)行線性變換z(t)=x(t)?Ny(t),則可以去掉(t)項(xiàng)得

設(shè)計(jì)如下狀態(tài)觀測器:

令e(t)=z(t)?(t),由觀測器(3)與系統(tǒng)(2)使得到的誤差系統(tǒng)(4)漸進(jìn)穩(wěn)定:

(II)當(dāng)系統(tǒng)存在滿足Lipschitz條件的非線性項(xiàng)時,根據(jù)假設(shè)2系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為:

進(jìn)行線性變換z(t)=x(t)?Ny(t),去掉(t)項(xiàng)式后為

其中,Φ(x(t),x(t?d),u(t))= Φ′(z(t),z(t?d),u(t)).

假設(shè) 3系統(tǒng) (1)經(jīng)線性變換后得到 (5)式中的非線性項(xiàng) Φ′(z(t),z(t?d),u(t)),滿足Lipschitz條件,即有

其中,LΦ′為大于0的Lipschitz常數(shù).根據(jù)假設(shè)3設(shè)計(jì)如下狀態(tài)觀測器:

令e(t)=z(t)?(t),由觀測器(6)與系統(tǒng)(5)使得到的狀態(tài)估計(jì)誤差系統(tǒng)(7)漸進(jìn)穩(wěn)定:

3 主要結(jié)果

利用線性矩陣不等式(LMI)的方法,考慮時滯廣義系統(tǒng)的觀測器設(shè)計(jì)及狀態(tài)估計(jì)誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,得到兩個觀測器存在的充分條件.

定理 3.1若存在對稱正定矩陣P,Q和增益矩陣L,Ld滿足下列不等式(8),則(3)式為系統(tǒng)(2)的觀測器:

矩陣M1<0等價于定理中的矩陣不等式(8),故?V<0誤差系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定,定理得證.

定理 3.2若存在對稱正定矩陣P,Q和增益矩陣L,Ld滿足下列不等式(9),則(6)式為系統(tǒng)(5)的觀測器:

其中,P,Q為對稱正定矩陣,X=PT,=PL,d=PLd,α=∥T∥LΦ′為大于零的實(shí)數(shù),?表示對稱矩陣中的對稱部分.

證明設(shè)e(t)=z(t)?(t),則由(5)式和(6)式可得誤差系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

根據(jù)Schur補(bǔ)引理,矩陣M2<0等價于定理中的矩陣不等式(9),故?V<0誤差系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定,定理得證.

注 3.1定理3.1,定理3.2中選取了相同的李雅普諾夫函數(shù),定理3.2考慮到系統(tǒng)含有的Lipschitz非線性項(xiàng),為了易于求取增益矩陣L,Ld,根據(jù)schur補(bǔ)引理將矩陣不等式M2<0變換成與(9)式等價的形式,給出了含有Lipschitz非線性項(xiàng)時滯系統(tǒng)觀測器存在的充分條件.

4 數(shù)值算例

例 4.1考慮時滯廣義系統(tǒng)(1)的參數(shù)如下:

系統(tǒng)(1)可以轉(zhuǎn)化為(5)式的形式,根據(jù)文獻(xiàn)[11]中針對增益矩陣的求解方法,利用線性矩陣不等式可以計(jì)算得出含Lipschitz非線性項(xiàng)時滯廣義系統(tǒng)觀測器的增益矩陣:

5 結(jié)論

主要研究了一類含有Lipschitz非線性項(xiàng)的時滯廣義系統(tǒng)的觀測器設(shè)計(jì)問題.考慮到廣義系統(tǒng)的特殊結(jié)構(gòu),基于時滯系統(tǒng)觀測器的設(shè)計(jì)方法和線性矩陣不等式的方法,設(shè)計(jì)出了含Lipschitz非線性項(xiàng)條件下的一類時滯廣義系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器,并根據(jù)Schur補(bǔ)引理給出了時滯系統(tǒng)觀測器存在的充分條件和時滯系統(tǒng)觀測器增益矩陣的求解方法.最后,通過結(jié)合文獻(xiàn)[11]中的數(shù)值算例驗(yàn)證了含Lipschitz非線性時滯廣義系統(tǒng)觀測器設(shè)計(jì)方法的有效性.關(guān)于含有非線性項(xiàng)的不確定廣義時滯系統(tǒng)觀測器的設(shè)計(jì)則可作為進(jìn)一步的研究方向.