何天琛 李吉

(太原師范學(xué)院物理系,晉中 030619)

利用Feynman路徑積分研究了簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中冷原子受到兩次Kapitza-Dirac脈沖的干涉機(jī)制.理論研究表明：當(dāng)初始態(tài)為簡(jiǎn)諧勢(shì)阱的基態(tài)時(shí),外場(chǎng)使不同模式的演化路徑相對(duì)于沒(méi)有外場(chǎng)情況下的路徑發(fā)生偏離; 同時(shí)外場(chǎng)強(qiáng)度和測(cè)量時(shí)刻相鄰模式的相位差成線性關(guān)系; 當(dāng)外場(chǎng)為重力場(chǎng)時(shí),測(cè)量重力加速度的精度可達(dá)10-9;當(dāng)初始態(tài)為簡(jiǎn)諧勢(shì)阱和外場(chǎng)作用下的共同基態(tài)時(shí),測(cè)量精度會(huì)下降,同時(shí)原子間排斥和吸引相互作用的增強(qiáng)也會(huì)導(dǎo)致測(cè)量精度提高.

1 引 言

利用光波的相干性,光學(xué)干涉儀可以實(shí)現(xiàn)非常精密的測(cè)量,經(jīng)典的光學(xué)干涉儀有Mach-Zehnder干涉儀、Michelson干涉儀等,但目前光學(xué)干涉儀的測(cè)量性能會(huì)受到光的波長(zhǎng)的限制,還會(huì)在某些情況下受到實(shí)驗(yàn)儀器大小和尺寸的限制.利用物質(zhì)波干涉儀從某種程度上能避免以上問(wèn)題.最重要的一類物質(zhì)波干涉儀就是原子干涉儀[1-8].近年來(lái),由于激光冷卻技術(shù)的成熟應(yīng)用,原子干涉儀得到快速發(fā)展,在地球物理學(xué)[9]、計(jì)量學(xué)[10]、資源勘探[11]、精密慣性傳感器[12]等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用.

相對(duì)于光波而言,重力對(duì)原子的影響更加明顯,所以在測(cè)量重力加速度上,原子干涉儀[13-15]相對(duì)于傳統(tǒng)的光學(xué)干涉儀更具有優(yōu)勢(shì).使分束器作用于制備好的初始態(tài),重力作用會(huì)使不同路徑上的波包產(chǎn)生相位差,最后再使不同路徑的波包相干疊加產(chǎn)生干涉條紋,這樣就可以精確測(cè)量重力加速度[16,17].

對(duì)于理論上基于簡(jiǎn)諧勢(shì)阱和Kapitza-Dirac脈沖(KD脈沖)的多模式冷原子干涉儀[18],它的測(cè)量精度可以隨KD脈沖產(chǎn)生模式數(shù)的增加而提高.使用玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體[19]來(lái)實(shí)現(xiàn)多模式冷原子干涉儀,理論計(jì)算結(jié)果表明非線性相互作用會(huì)影響干涉儀的測(cè)量精度[20].對(duì)于多模式冷原子干涉儀的兩次KD脈沖,第二次脈沖選取的時(shí)刻很特殊,它是所有模式波包相干疊加的時(shí)刻,也是冷原子在受到第一次KD脈沖后在簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中演化的周期點(diǎn).由于在冷原子演化過(guò)程中,簡(jiǎn)諧勢(shì)阱會(huì)受到外界環(huán)境的擾動(dòng),同時(shí)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的微小振動(dòng)還會(huì)導(dǎo)致KD脈沖產(chǎn)生微小的平移[21],這些都會(huì)對(duì)測(cè)量精度產(chǎn)生影響.降低此影響最直接的方法就是縮短冷原子的演化時(shí)間.在此過(guò)程中,不但需要選取較合適的測(cè)量時(shí)刻而且還需保證兩次KD脈沖對(duì)冷原子的作用.

本文通過(guò)改變第二次KD脈沖的時(shí)刻來(lái)縮短冷原子在簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中的整體演化時(shí)間,采用Feynman路徑積分來(lái)研究簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中冷原子的動(dòng)力學(xué)演化以及干涉機(jī)制,并且給出外場(chǎng)為重力場(chǎng)時(shí)的測(cè)量精度.

2 簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中冷原子受兩次KD脈沖的模型

考慮一團(tuán)冷原子處在頻率為 ω 簡(jiǎn)諧勢(shì)阱的基態(tài)(如圖1所示).在 t=0 時(shí)刻加第一次 KD脈沖,初始波包被劈裂成許多動(dòng)量不同的模式(模式的運(yùn)動(dòng)軌跡在圖1中用不同的顏色標(biāo)記).這些模式在簡(jiǎn)諧勢(shì)阱和外場(chǎng) β 的共同作用下演化.當(dāng)t=π/(2ω),相鄰模式之間的距離達(dá)到最大,加第二次KD脈沖會(huì)劈裂 t=π/(2ω) 時(shí)刻的波包,產(chǎn)生出更多的模式.在 tf=π/ω ,不同模式相干疊加.通過(guò)測(cè)量原子在每個(gè)模式的分布,可以獲得外場(chǎng)強(qiáng)度.

圖1 簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中冷原子受到兩次KD脈沖的示意圖 在測(cè)量時(shí)刻 tf=π/ω ,不同模式相干疊加,β 為外場(chǎng)Fig.1.Diagram of cold atoms with two KD pulses in harmonic oscillator potential.At the measurement time tf=π/ω,the coherent superposition of different modes occurs.β is the external field.

系統(tǒng)哈密頓量為

其中 Vβ=βx 為待測(cè)外場(chǎng)的勢(shì)函數(shù),β 為外場(chǎng)強(qiáng)度;Vh=mω2x2/2,m 為原子質(zhì)量,ω 為簡(jiǎn)諧勢(shì)阱頻率,特征長(zhǎng)度為

為作用在冷原子上的KD脈沖.實(shí)驗(yàn)上采用激光在非常短的時(shí)間內(nèi)形成余弦周期勢(shì) V0Ercos(kx) 來(lái)實(shí)現(xiàn)KD脈沖[23],這里(2ΔEr)為脈沖強(qiáng)度,?Rabi為共振行波的Rabi頻率,Δ=ωlight-ωatom為原子和光之間的頻率失諧量,Er為反沖能量,k=4π/λ 且 λ 為實(shí)現(xiàn)脈沖的激光波長(zhǎng).在Raman-Nath區(qū)域內(nèi)[23],由于KD脈沖持續(xù)時(shí)間很短,導(dǎo)致冷原子的波函數(shù)只增加一個(gè)相因子,態(tài)密度分布函數(shù)不會(huì)發(fā)生任何改變.同時(shí),對(duì)于軟光晶格中的冷原子,會(huì)出現(xiàn)局域場(chǎng)效應(yīng)[24,25].這里,KD脈沖起著類似經(jīng)典光學(xué)干涉儀中分束器的作用.簡(jiǎn)諧勢(shì)阱可以使分開(kāi)的原子束相干疊加,類似于反射鏡.

3 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化

3.1 冷原子受到第一次KD脈沖

對(duì)于簡(jiǎn)諧勢(shì)阱的基態(tài),有

這也是冷原子初始時(shí)刻 t=0 的波包,加第一次KD脈沖可以得到

對(duì)于系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程,可以采用Feynman路徑積分的方法[21]來(lái)計(jì)算波函數(shù)的含時(shí)演化過(guò)程.簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中的傳播子為

通過(guò)路徑積分,可以得到

且有

(4)式中l(wèi) (取整數(shù))標(biāo)記在第一次KD脈沖后的每一個(gè)模式,在數(shù)學(xué)上 l∈(-∞,∞).由于模式的幅度值隨著 |l| 的增加而衰減,實(shí)際情況下模式數(shù)是非常有限的[22].

(4)式中x1=-2βσ2sin2(ωt/2)/(?ω)為所有模式因外場(chǎng)效應(yīng)在實(shí)空間產(chǎn)生的偏移.x2=kσ2sin(ωt)表明每個(gè)模式隨時(shí)間以正弦函數(shù)的形式變化.θl(t) 為每個(gè)模式的相位隨時(shí)間變化的函數(shù),有

在計(jì)算(3)式的過(guò)程中使用到了(2)式,對(duì)應(yīng)的時(shí)間段為 0≤t≤τ/2.

3.2 冷原子受到第二次KD脈沖

當(dāng) t=τ/2 時(shí),給系統(tǒng)加第二次KD脈沖可以得到

原則上通過(guò)傳播子積分可以得到系統(tǒng)任意時(shí)刻的演化規(guī)律.對(duì)于系統(tǒng)在 t=τ/2 的波函數(shù),我們可以在(3)式中取特定時(shí)刻 t=τ/2 計(jì)算得出.給冷原子作用第二次KD脈沖之后,系統(tǒng)產(chǎn)生了更多的模式,這些模式在測(cè)量時(shí)刻 tf=τ 相干疊加.由Feynman路徑積分

得到

(7)式中,?1(x,l,β) 為每一個(gè)模式在 tf=τ 的波函數(shù)

且

計(jì)算(7)式的過(guò)程中使用了第一類貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)[20].(8)式為第二次KD脈沖后每一個(gè)模式的波函數(shù),可以看出每一個(gè)模式的波包都呈現(xiàn)出高斯函數(shù)的形式.Θl(x) 為每個(gè)模式對(duì)應(yīng)的相位.不同模式的波包在測(cè)量時(shí)刻將完全分開(kāi),滿足非重疊條件

此時(shí),測(cè)量時(shí)刻系統(tǒng)的態(tài)密度分布函數(shù)為

從(11)式可以看出,測(cè)量時(shí)刻的波包為高斯波包,外場(chǎng)的作用使每個(gè)高斯波包在x方向發(fā)生了平移.

對(duì)于冷原子干涉儀而言,不同路徑的相位差是一個(gè)非常重要的物理量,它直接決定了測(cè)量時(shí)刻的干涉條紋,且與測(cè)量精度有非常密切的關(guān)系[16,17].在本文提出的干涉裝置中,使用(9)式可以得到測(cè)量時(shí)刻不同模式之間相位差和外場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系.在非重疊條件(10)式下,由于波包上的每一點(diǎn)都有相位值,相鄰兩波包中心距離為 Δl=kσ2,把相鄰模式波包上幅度值相同的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的相位值相減,得到

(13)式就是測(cè)量時(shí)刻相鄰模式的相位差和重力加速度的關(guān)系,可以看出在簡(jiǎn)諧勢(shì)阱頻率 ω 和KD脈沖的激光波長(zhǎng) λ 確定的情況下,重力加速度以線性函數(shù)的方式改變相鄰模式的相位差.KD脈沖的強(qiáng)度V并未出現(xiàn)在(13)式中,也就是說(shuō)KD脈沖的強(qiáng)弱不會(huì)影響相鄰模式的相位差,進(jìn)而不會(huì)影響測(cè)量精度,這將與我們?cè)诘谒牟糠钟?jì)算的結(jié)果相一致.

3.3 系統(tǒng)的整體動(dòng)力學(xué)演化規(guī)律

采用簡(jiǎn)諧勢(shì)阱的特征長(zhǎng)度 σ 作為長(zhǎng)度量綱,簡(jiǎn)諧勢(shì)阱的特征時(shí)間 1/ω 作為時(shí)間量綱對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行無(wú)量綱化.系統(tǒng)在兩次KD脈沖后的態(tài)密度分布函數(shù)含時(shí)演化規(guī)律如圖2、圖3和圖4所示.本節(jié)所有圖中和文中的參數(shù)都已無(wú)量綱化.圖2中,兩次KD脈沖的強(qiáng)度都是 V=1.第一次KD脈沖加在時(shí)刻 t=0.由于 V=1 ,所以初始的波包被劈裂成3個(gè)模式(l=0,±1).l來(lái)自(1)式中第一類貝塞爾的下角標(biāo),用來(lái)標(biāo)記不同模式.這三個(gè)模式在簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中分別沿不同的路徑演化.從圖中可以看出,上下模式(l=±1)的態(tài)密度分布是對(duì)稱的.中間模式(l=0)的態(tài)密度分布的最大值要比其他兩個(gè)的模式大一些,也就是說(shuō)大部分冷原子集中在中間的模式上.當(dāng)系統(tǒng)演化到時(shí)刻 t=π/2 ,上、下兩個(gè)模式離中間模式的距離達(dá)到最大 ΔL=(M-1)k.此時(shí)加第二次KD脈沖,之前每個(gè)模式又被劈裂成3個(gè)模式(l′=0,±1).為了與l區(qū)別,l'來(lái)自第二次KD脈沖中第一類貝塞爾的下角標(biāo).這些不同的模式在簡(jiǎn)諧勢(shì)阱的作用下演化,同時(shí)發(fā)生相干疊加.從圖中我們可以看出在測(cè)量時(shí)刻 t=π ,(l=1,l′=1)、(l=0,l′=1)和(l=-1,l′=1)這三個(gè)模式相干疊加,形成了上面的波包.同理,中間的波包是由 l=-1,0,1 三個(gè)模式的 l′=0 分量相干疊加形成的.下面的波包是由l=-1,0,1三個(gè)模式的 l′=-1 分量相干疊加形成的.相對(duì)t=3π/4時(shí)刻的態(tài)密度分布,t=π 時(shí)刻的波包分布形式上更加簡(jiǎn)潔,有助于我們?cè)谙乱还?jié)來(lái)計(jì)算系統(tǒng)的測(cè)量精度.

圖2 沒(méi)有外場(chǎng)的情況下(β=0),系統(tǒng)態(tài)密度分布函數(shù)的演化規(guī)律 無(wú)量綱參數(shù)為 V=1,k=10 ,測(cè)量時(shí)刻在t=tf=π,兩次KD脈沖都用紅色箭頭表示,態(tài)密度演化圖右邊的彩色條表示態(tài)密度分布函數(shù)值由低(藍(lán)色)變到高(紅色)Fig.2.In the absence of an external field (β=0),the density distribution function of system varies with time.The dimensionless parameter are V=1,k=10.The measurement time is at t=tf=π.Both KD pulses are represented by red arrows.The color bar on the right side of the density of states evolution diagram indicates that the value of the density distribution function changes from low(blue) to high (red).

圖3 在外場(chǎng) β=1 的情況下,系統(tǒng)態(tài)密度分布函數(shù)的演化規(guī)律 圖中除 β 之外的其他無(wú)量綱參數(shù)與圖2相同,紅色箭頭為KD脈沖,測(cè)量時(shí)刻在t=tf=πFig.3.In the case of external field β=1 ,the evolution of density distribution function of the system is obtained.The dimensionless parameters in this figure are the same as those in Figure 2.The red arrow are KD pulses.The mea surement time is at t=tf=π.

圖3顯示了外場(chǎng)強(qiáng)度 β=1 的情況下,系統(tǒng)的整體態(tài)密度演化.相對(duì)于圖2沒(méi)有外場(chǎng)的情況,第一次KD脈沖后,l=0,±1 模式由于外場(chǎng)的作用向X軸負(fù)方向發(fā)生偏移.在 t=π/2 時(shí)刻,偏移的距離為 |-β|=1.在第二次KD脈沖后,所有的模式繼續(xù)在外場(chǎng)的作用下發(fā)生整體偏移,但這并不影響測(cè)量時(shí)刻上中下三個(gè)波包的形成.波包中心偏移x=0的距離為 |-2β|=2.這個(gè)偏移的距離從圖5中也可以得到.這說(shuō)明測(cè)量時(shí)刻的波包包含了外場(chǎng)的信息.我們可以通過(guò)測(cè)量時(shí)刻不同模式的分布來(lái)反向計(jì)算外場(chǎng)的強(qiáng)度.

在圖4中,進(jìn)一步將外場(chǎng)強(qiáng)度增加到 β=2.對(duì)比圖3,外場(chǎng)增加了所有波包在演化過(guò)程中的下移程度.雖然外場(chǎng)變強(qiáng),但并沒(méi)有影響不同模式在測(cè)量時(shí)刻的相干疊加.

圖4 在外場(chǎng) β=2 的情況下,系統(tǒng)態(tài)密度分布函數(shù)的演化規(guī)律 圖中除 β 之外的其他無(wú)量綱參數(shù)與圖2相同,紅色的箭頭為KD脈沖,測(cè)量時(shí)刻在t=tf=πFig.4.In the case of external field β=2 ,the evolution of density distribution function of the system is obtained.The dimensionless parameters in this figure are the same as those in Figure 2.The red arrow are KD pulses.The measurement time is at t=tf=π.

圖5 圖2、圖3、圖4中測(cè)量時(shí)刻 tf=π 態(tài)密度的分布規(guī)律Fig.5.The density distribution functions at measuring time tf=πfor figure 2,3,and 4.

在圖5中,我們展示了圖2-4中的測(cè)量時(shí)刻態(tài)密度分布.可以發(fā)現(xiàn),外場(chǎng)的作用僅僅使不同模式的波包發(fā)生了偏移,并未改變?nèi)N情況下波包的形狀.這樣,我們就可以在下一節(jié)通過(guò)波包在外場(chǎng)作用下的移動(dòng)來(lái)計(jì)算Fisher信息,進(jìn)而得出干涉儀的測(cè)量精度.

4 系統(tǒng)測(cè)量重力加速度的精度

使用本文提出的干涉測(cè)量法,可以用來(lái)測(cè)量重力加速度.當(dāng)外場(chǎng)為重力場(chǎng)時(shí) β=mg ,系統(tǒng)的Fisher信息[26]為

使用測(cè)量時(shí)刻的態(tài)密度分布函數(shù)(11)式、測(cè)量時(shí)刻的非重疊條件(10)式和第一類貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)[20],通過(guò)解析計(jì)算得到

通過(guò)Cramer-Rao lowér bound[26]

可以計(jì)算得到

在(17)式中,N為無(wú)關(guān)聯(lián)的原子數(shù),p為測(cè)量的次數(shù).可以看出如果想要提高干涉儀的測(cè)量精度,可以通過(guò)降低簡(jiǎn)諧勢(shì)阱的頻率、提高原子質(zhì)量和增加測(cè)量次數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn).最后的測(cè)量精度表達(dá)式中沒(méi)有出現(xiàn)脈沖強(qiáng)度V,表明其不受KD脈沖影響.這與我們?cè)诘谌糠值姆治鼋Y(jié)果一致.接下來(lái),考慮107個(gè)23Na 原子囚禁在簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中,簡(jiǎn)諧勢(shì)阱的頻率為 ω=12.4Hz[27],可以計(jì)算出干涉儀的測(cè)量精度為

在整個(gè)過(guò)程中,23Na 原子從受到第一次KD脈沖到測(cè)量時(shí)刻的總演化時(shí)間為 253ms ,所有模式的波包在自由空間占據(jù)的最大寬度約為 4.48×10-4m.由于冷原子在整個(gè)演化過(guò)程中都處在簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中,所以理論上講是沒(méi)有原子損失的,這對(duì)提高測(cè)量精度是有益的.冷原子占據(jù)的最大寬度為 10-4m 量級(jí)說(shuō)明整個(gè)裝置的空間較小,對(duì)在實(shí)驗(yàn)上用此裝置測(cè)重力加速度較為有利.

5 初始態(tài)為簡(jiǎn)諧勢(shì)阱和外場(chǎng)的基態(tài)

在之前的計(jì)算中,系統(tǒng)的初始態(tài)為簡(jiǎn)諧勢(shì)阱的基態(tài).由于干涉裝置一直處于外場(chǎng)中,外場(chǎng)會(huì)破壞簡(jiǎn)諧勢(shì)阱的對(duì)稱性.簡(jiǎn)諧勢(shì)阱的基態(tài)就會(huì)發(fā)生改變.需要使用系統(tǒng)處在外場(chǎng)和簡(jiǎn)諧勢(shì)阱共同作用下的基態(tài)作為初始態(tài).在 t=0 且沒(méi)有加第一次KD脈沖之前,系統(tǒng)的哈密頓量為

對(duì)(19)式進(jìn)行變形,得

由于(21)式的基態(tài)為

所以(19)式的基態(tài)為

(23)式與3.1節(jié)使用的簡(jiǎn)諧勢(shì)阱基態(tài),不同之處在于由于外場(chǎng)的作用導(dǎo)致初始的高斯波包整體在x軸上發(fā)生了平移.

與之前的步驟類似,將(23)式作為初始態(tài),加兩次KD脈沖,使用傳播子積分,可以得到測(cè)量時(shí)刻的波函數(shù)為

不同模式的波包在測(cè)量時(shí)刻滿足非重疊條件

測(cè)量時(shí)刻系統(tǒng)的態(tài)密度分布函數(shù)為

對(duì)比(11)式,(27)式表明測(cè)量時(shí)刻系統(tǒng)整體的態(tài)密度分布在x軸上移動(dòng)的距離減少了 βσ2/(ω?).當(dāng) β=mg 時(shí),使用(14)式可以得到系統(tǒng)的Fisher信息為

通過(guò)Cramer-Rao lowér bound,可以得到

對(duì)比(17)式,可以看出Cramer-Rao lowér下限值提高了一倍,進(jìn)而表明測(cè)量精度下降了一倍.采用第4節(jié)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以得到

6 非線性相互作用對(duì)系統(tǒng)測(cè)量精度的影響

在之前的計(jì)算中,我們并沒(méi)有考慮冷原子之間具有非線性相互作用.考慮此作用對(duì)系統(tǒng)的影響[20],系統(tǒng)的哈密頓量變?yōu)?/p>

式中 g1為非線性相互作用參數(shù).首先采用虛時(shí)演化[28]數(shù)值計(jì)算了

得到不同非線性相互作用下的基態(tài),然后采用這些基態(tài)作為初始態(tài),使用算符劈裂法[29]對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值演化,得到測(cè)量時(shí)刻的態(tài)密度分布函數(shù),最后數(shù)值計(jì)算(14)式和Cramer-Rao lowér bound.在以上計(jì)算中,采用3.3節(jié)的無(wú)量綱化.以簡(jiǎn)諧勢(shì)阱的特征長(zhǎng)度 σ 為長(zhǎng)度量綱,特征時(shí)間 1/ω 為時(shí)間量綱,對(duì)(31)式子進(jìn)行了無(wú)量綱化.下文中所有的參數(shù)都是無(wú)量綱的.

圖6和圖7顯示了系統(tǒng)在不同非線性相互作用下的基態(tài),從圖中可以發(fā)現(xiàn)原子間的排斥相互作用使初始的波包變寬,吸引相互作用使初始的波包變窄.

從圖8可以看出,即使在存在非線性相互作用的情況下,不同模式在測(cè)量時(shí)刻仍然滿足非重疊條件.隨著排斥相互作用的增強(qiáng),每個(gè)模式波包上的振蕩幅度變得更大.圖9是圖8中0模式的放大圖.在這個(gè)圖中,排斥相互作用對(duì)測(cè)量時(shí)刻態(tài)密度分布的影響顯示更加清晰.

圖10顯示了在吸引相互作用的情況下,系統(tǒng)測(cè)量時(shí)刻態(tài)密度的分布規(guī)律.首先可以看出態(tài)密度分布函數(shù)滿足非重疊條件,其次和排斥相互作用的情況類似,吸引相互作用的增強(qiáng)使測(cè)量時(shí)刻態(tài)密度上每一個(gè)波包的振蕩程度加劇.圖11是圖10中0模式得放大圖,在圖11中可以更加清楚地看到這一點(diǎn).

圖6 外場(chǎng) β=1 的情況下系統(tǒng)基態(tài)的態(tài)密度分布函數(shù),不同的顏色對(duì)應(yīng)不同非線性相互作用下的態(tài)密度分布函數(shù)Fig.6.In the case of external field β=1 ,the density distribution function of the ground state of the system.Different colors correspond to the density distribution function under different non-linear interactions.

圖7 在外場(chǎng) β=1 的情況下系統(tǒng)基態(tài)的態(tài)密度分布函數(shù),不同的顏色對(duì)應(yīng)不同非線性相互作用下的態(tài)密度分布函數(shù)Fig.7.In the case of external field β=1 ,the density distribution function of the ground state of the system.Different colors correspond to the density distribution function under different non-linear interactions.

當(dāng)非線性參數(shù)改變時(shí),系統(tǒng)測(cè)量精度的變化規(guī)律顯示在圖12中.我們首先計(jì)算了線性情況下(g1=0)系統(tǒng)的測(cè)量精度,然后通過(guò)改變非線性參數(shù)計(jì)算了測(cè)量精度且給出了和線性情況下測(cè)量精度的比值.從圖12中可以看出,g1=0 時(shí)數(shù)值計(jì)算和解析計(jì)算的結(jié)果符合得很好.隨著排斥相互作用和吸引相互作用的增強(qiáng),系統(tǒng)的測(cè)量精度存在上升的趨勢(shì)（(Δβ非線性/β)/(Δβ線性/β)的值越小，系統(tǒng)的測(cè)量精度越高）,且相對(duì)于非線性參數(shù)的變化具有較好的對(duì)稱性.當(dāng) |g1| 增加到2時(shí),測(cè)量精度會(huì)提升一個(gè)數(shù)量級(jí).實(shí)驗(yàn)上可以通過(guò)Feshbach共振技術(shù)[30]來(lái)調(diào)節(jié)吸引和排斥相互作用,進(jìn)而改變非線性相互作用對(duì)測(cè)量精度的影響.

圖8 在 V=1,k=10,β=1 的情況下測(cè)量時(shí)刻的態(tài)密度分布函數(shù),不同的顏色對(duì)應(yīng)不同非線性相互作用下的態(tài)密度分布函數(shù)Fig.8.In the case of V=1,k=10,β=1 ,the density distribution functions at measuring time.Different colors correspond to the density distribution function under different non-linear interactions.

圖9 圖8中0模式的放大圖Fig.9.Detailed diagram of 0 mode in Fig.8.

圖10 測(cè)量時(shí)刻系統(tǒng)態(tài)密度的分布函數(shù),除了非線性參數(shù)以外的其他無(wú)量綱參數(shù)和圖8相同F(xiàn)ig.10.The density distribution functions at measuring time,dimensionless parameters other than non-linear parameters are the same as those in Fig.8.

圖11 圖10中0模式的放大圖Fig.11.Detailed diagram of 0 mode in Fig.10.

圖12 系統(tǒng)的測(cè)量精度隨非線性參數(shù)的變化規(guī)律,除了非線性參數(shù)以外的其他無(wú)量綱參數(shù)和圖8相同F(xiàn)ig.12.The variation of measuring accuracy of the system with nonlinear parameters,dimensionless parameters other than non-linear parameters are the same as those in Fig.8.

7 結(jié) 論

本文研究了簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中的冷原子在受到兩次KD脈沖的動(dòng)力學(xué)演化機(jī)制,采用Feynman路徑積分的方法計(jì)算了整體的動(dòng)力學(xué)過(guò)程和測(cè)量時(shí)刻的態(tài)密度分布函數(shù).計(jì)算結(jié)果表明：增加外場(chǎng)的強(qiáng)度會(huì)導(dǎo)致態(tài)密度分布整體向x負(fù)方向偏移,偏移的程度與外場(chǎng)強(qiáng)度成正比例,但是外場(chǎng)并未影響到測(cè)量時(shí)刻態(tài)密度分布的幅度值.對(duì)于外場(chǎng)為重力場(chǎng),我們可以通過(guò)降低簡(jiǎn)諧勢(shì)阱的頻率和增加原子質(zhì)量來(lái)提高干涉儀的測(cè)量精度.當(dāng)初始態(tài)為簡(jiǎn)諧勢(shì)阱的基態(tài)時(shí),使用實(shí)驗(yàn)參數(shù)計(jì)算得出此干涉裝置測(cè)量重力加速度的精度可以達(dá)到 10-9.對(duì)于初始態(tài)為簡(jiǎn)諧勢(shì)阱和外場(chǎng)的基態(tài),計(jì)算結(jié)果表明測(cè)量精度會(huì)下降,同時(shí)非線性相互作用的增強(qiáng)也會(huì)使測(cè)量精度提高.