吳 冰 朱鴻鵠② 曹鼎峰 王家琛 魏廣慶 施 斌

( ①南京大學地球科學與工程學院 南京 210023)

( ②中國科學院西北生態(tài)環(huán)境資源研究院凍土工程國家重點實驗室 蘭州 730000)

( ③中山大學土木工程學院 廣州 519082)

( ④蘇州南智傳感科技有限公司 蘇州 215123)

0 引 言

凍土是一種溫度在0 ℃或0 ℃以下、含有冰的巖石和土壤，強烈的溫度敏感性是凍土區(qū)別于其他土壤介質的重要因素( 馬巍等，2014) 。凍土地區(qū)工程建設首先需要考慮凍土地基的熱穩(wěn)定性，預估地下土層的溫度場分布。準確獲取導熱系數、體積熱容量和相變潛熱等凍土熱物理性質參數是開展地層溫度場分析和評價的前提條件( 胡田飛，2015) 。

土壤熱物性參數的常規(guī)測試方法分為穩(wěn)態(tài)法和瞬態(tài)法( 尹飛，2008; 鄭志濤，2013) 。后者在測量時間、成本和可移植性方面都優(yōu)于前者( He et al.，2008) 。線熱源法是瞬態(tài)法的一種，具有測量快速、操作簡單的優(yōu)點，在工程中得到了廣泛的應用( 楊杰，2014) 。

與其他傳感器相比，光纖傳感器具有體積小、靈敏度高、抗電磁干擾、耐化學腐蝕、可遠程和分布式測量等優(yōu)勢，在地質與巖土工程監(jiān)測領域有著巨大的應用潛力( Fang et al.，2012; 施斌，2017; Joe et al.，2018; 周谷宇等，2018; 施斌等，2019) 。主動加熱光纖( AHFO) 法是一種基于線熱源模型的光纖感測方法( Weiss，2003; Sayde et al.，2010; 曹鼎峰等，2014; Duminda et al.，2018) 。該方法將分布式溫度傳感( DTS) 技術與傳統線熱源探針相結合，在保護光纖的護套或管體中通電加熱產生熱脈沖，光纖作為溫度傳感器測量土壤的熱響應，通過建立溫度變化與熱物性參數之間的關系實現參數測量。國內外一系列室內和原位試驗表明，AHFO 技術可以在高時空分辨率下表征土壤熱導率和土壤水分動力學特征( Ciocca et al.，2012; Cao et al.，2015; 嚴珺凡等，2015; 曹鼎峰等，2018) 。

然而，凍土獨特的溫度敏感性造成其傳熱問題的特殊性和復雜性( 史金艷等，1988; 何瑞霞等，2018) 。目前將AHFO 技術應用于凍土監(jiān)測時，通常未考慮冰水相變問題，因此得到的線熱源溫度場解析解誤差較大，難以精確計算凍土熱物性參數。尤其是在凍土近相變區(qū)，劇烈相變使測量結果嚴重失真，線熱源模型的傳統分析方法不再適用。如何在考慮冰水相變的情況下提高AHFO 法的測量精度，是一個亟待解決的問題。

本文將自主研發(fā)的FBG 剛玉管傳感器同時作為線熱源和溫度傳感器，基于AHFO 法開展了一系列室內試驗，對凍土溫度場的分布特征進行了監(jiān)測和分析; 在考慮未凍水和相變潛熱的情況下，通過理論公式和試驗數據，計算、反演出凍土的導熱系數和相變熱容，并驗證分析了它們與測量初始溫度之間的關系。相關結論為基于AHFO 的凍土含冰量測量方法的修正提供了參考依據和理論支撐。

1 理論方法

1.1 凍土熱傳導方程

熱量在土壤中主要有傳導、對流和輻射3 種傳輸方式，其中輻射和對流只有在大孔隙、高溫差或者土中有水分滲流時才考慮，在黏性土中可以忽略不計( 徐斅祖等，2001) 。

在基于AHFO 的凍土含冰量測量過程中，線熱源工作將引起冰水相變，產生的相變潛熱以內熱源的形式影響凍土熱傳導。包含相變熱容的凍土一維熱傳導控制方程可以表示為( Liu et al.，2011) :

式中，T0和T 分別為土體初始溫度和溫度; ρl為水的密度; Lli為冰水相變潛熱，即單位質量水凍結成冰釋放的熱量，取值為334.3 kJ·kg－1; w 為總含水量;和分別為土體含冰量和未凍水含量; λ 為土體導熱系數，對于同種類型的土體，λ 受和w 控制; Cv為體積熱容。

在線熱源模型中，線熱源溫度增量與周圍土體導熱系數關系為( Weiss，2003) :

式中，t 為加熱時間; q 為單位長度熱源的放熱功率;rw和L 分別為剛玉管半徑和長度; R 為管體與鉆孔壁面之間的熱阻; γ 為歐拉常數，取0.577 216。

采用線性推導法對導熱系數λ 進行估算，將式( 2) 簡化為溫度變化ΔT( t) 與時間對數lnt 的線性關系，令其斜率為m，則凍土導熱系數為:

在基于顯熱容法的凍土導熱系數與溫度關系的分析中，λ 與T 的關系如下式所示( 林文生，2007) :

式中，f、d 分別為與凍土相變溫度有關的常數。

凍土體積熱容Cv由凍土的組成成分及含量控制，可表達為( 張喜發(fā)等，2013) :

式中，Cd、Cuw和Ci分別為土顆粒、未凍水和冰的比熱; ρd為土壤干密度。

根據大量研究，未凍水含量wml 與土質類別和溫度相關，黏土未凍水含量的經驗公式為( 張喜發(fā)等，2013) :

式中，wp為土體的塑限。

為區(qū)別于體積熱容，定義相變熱容CL為( 周家作等，2016) :

相變熱容和體積熱容之和為表觀熱容，即:

結合式( 1) 、式( 5) 、式( 7) 、式( 8) ，就可以得到包含相變的凍土熱傳導方程，將其轉化為極坐標形式:

由式( 9) 可以得到加熱t(yī) 時刻距離熱源半徑r處土體的溫度增量分布解答:

式中，Ei 為指數積分函數; a 為凍土導溫系數，是導熱系數與熱容的比值。

經過國內外學者的大量研究，上述原理在理論上已經十分成熟。但是對于凍土熱傳導而言，式( 1) 中最后一項相變潛熱項為該技術的應用增大了難度。

首先，主動加熱法測量凍土導熱系數過程中，會出現兩個問題: ( 1) 土體升溫必然會使得在測量過程中導熱系數是一個變量，是否可以將其當作定值進行簡化計算? ( 2) 如果問題一是肯定的，那么導熱系數簡化值與不同土體初始溫度之間是否仍為線性關系? 其次，式( 7) 得到的相變熱容并不是一個常數，且無法通過解析解直接計算。那么如何才能得到相變熱容，以及其隨土體初始溫度的變化規(guī)律呢? 本文通過一系列室內試驗來探究這一問題。

1.2 基于導熱系數與初始溫度線性關系的含冰量測量方法修正

最近，基于FBG 剛玉管傳感器的土壤含水量和含冰量測試方法相繼被成功研發(fā)( 段超喆等，2018) ，并應用于甘肅會寧等地的原位監(jiān)測中。在監(jiān)測凍土含冰量時，該方法存在一定的局限性:該方法是在極低溫度下( －20 ℃) ，將含冰量作為單一因素為前提而實現的。但是在實際情況下，凍土溫度與大氣溫度有關，且即使在很低溫度下凍土中依然會存在未凍水。

本文在考慮未凍水和凍土初始溫度的情況下，基于1.1 中導熱系數與初始溫度之間的線性關系，對基于FBG 的凍土含冰量測量方法進行修正。

在考慮未凍水的情況下凍土導熱系數為:

式中，A、B、C 為與土體性質有關的常數。

依據式( 2) 、式( 4) ，凍土導熱系數與初始負溫呈線性關系，則傳感器所得溫度增量ΔT( t) 與lnt 的關系曲線斜率m 與初始負溫關系呈負相關關系，可表示為:

依據式( 11) 、式( 12) ，將其代入含冰量測量的理論推導過程中可得:

式( 13) 可簡化為:

式( 14) 表明，傳感器所測溫度特征值與含冰量、總含水量之間為指數關系，與初始負溫之間為倒數相關關系。上式不僅可以應用于含冰量的測量，在常溫下不考慮變量T0也可以拓展到土壤含水量的測量。A、B、C、a、b、c 的確定可以通過室內標定試驗實現。

2 試驗裝置與方法

本文中試驗研究的目的是，將AHFO 法應用于凍土熱物性參數以及含冰量測量中，分析初始含水量恒定的凍土在不同溫度下的熱響應特征，探究驗證導熱系數、相變熱容與凍土初始溫度之間的關系，并基于分析結果對凍土含冰量測量的修正方法進行驗證、評價。

試驗裝置如圖1 和圖2 所示，由環(huán)刀試樣、FBG剛玉管傳感器、數據采集系統、熱敏測溫系統和直流穩(wěn)壓電源組成。試驗土樣為南京地區(qū)的典型下蜀土，經過壓制成為圓柱形環(huán)刀樣; 為消除主動加熱過程中邊界效應的影響，試驗選取直徑100 mm、高度63.7 mm 的環(huán)刀。試驗中采用同時具有內加熱和測溫功能的FBG 剛玉管傳感器，其外徑為4 mm，內孔徑為1 mm，有效長度40 mm。管體內置溫度傳感光纖和阻值為28 Ω·m－1的加熱電阻絲。數據采集系統由蘇州南智傳感科技有限公司生產的A-01型FBG 解調儀和計算機組成，用于實時讀取剛玉管傳感器的波長數據。熱敏測溫系統由RC-4 型高精度溫濕度記錄儀和不銹鋼熱敏探針構成，用于測量和記錄加熱t(yī) 時刻半徑r 處的溫度信息。

圖1 試驗裝置圖Fig. 1 Schematic diagram of the test setup

圖2 試驗裝置實物圖Fig. 2 Photograph of the test setup

FBG 剛玉管傳感器布設在環(huán)刀試樣正中心軸線位置，與周圍土體保持良好的接觸性，并與直流穩(wěn)壓電源和光纖解調儀連接。不銹鋼熱敏探針分別布設在徑向距離軸心1 cm、2 cm、3 cm 和4 cm 處。試驗過程中土樣連同剛玉管傳感器和不銹鋼溫度探針用聚乙烯薄膜密封后放置于低溫箱中，直流電源、解調儀和溫濕度記錄儀置于室內常溫中。

試驗中控制土樣干密度為1.63 g·cm－3，初始含水量為20%，土樣的初始溫度依次為21.9 ℃( 室內常溫) 、－0.6 ℃、－3.2 ℃、－6.7 ℃、－ 11.9 ℃和－20.6 ℃。為了達到溫度均勻，土樣在每個溫度下恒溫12 h 以上。然后，在相同加熱功率下對凍土試樣中的傳感器進行主動加熱，測量不同初始溫度下土樣的溫度變化情況。試驗過程中，FBG 剛玉管傳感器的加熱功率設置為23 W·m－1，加熱時間為300 s，FBG 解調儀和溫度記錄儀分別以1 s 和10 s的采樣間隔記錄溫度測值。

3 結果與討論

3.1 導熱系數與初始負溫的關系

根據試驗中FBG 剛玉管傳感器的監(jiān)測結果，可以得到不同初始溫度下傳感器管體溫度增量ΔT( t)與加熱時間對數lnt 的關系曲線( 圖3) 。由于加熱初始階段產生的熱量主要用于傳感器管體升溫，不符合線熱源模型，因此僅考慮加熱后40～300 s 的溫度信息。由圖3 可以看出，在加熱40 ～300 s 期間，ΔT 與lnt 保持良好的線性增長關系。這說明在凍土升溫過程中，土體溫度變化引起的導熱系數的變化幅度較小，可以忽略不計。因此在本文所述試驗條件下，可以將凍土導熱系數當作定值以進行簡化計算。

圖3 溫度增量與時間關系曲線Fig. 3 Curves of ΔT( t) and t

對圖3 所示曲線進行線性擬合，所得ΔT( t) 與lnt 曲線的斜率為m，根據式( 3) 可得不同初始溫度下凍土的導熱系數。由圖4 可以看出，試樣在室內常溫中導熱系數λ0=2.2 W·( m·K)－1。在初始溫度低于－3.2 ℃時，導熱系數均大于λ0，且隨溫度升高呈線性減小趨勢。這是因為在初始含水量一定時，土體導熱系數取決于含冰量和未凍水含量。常溫條件下未凍水含量= w; 隨溫度降低，凍土含冰量增加，未凍水含量減少，而冰的導熱系數約為未凍水的4 倍，所以凍土的導熱系數隨初始溫度降低、含冰量增加而增大。

基于最小二乘法可以得到該溫度區(qū)間凍土導熱系數與初始溫度的線性關系曲線，且擬合度很高。

圖4 導熱系數隨初始溫度變化曲線Fig. 4 Relationship between thermal conductivity and initial temperature

此結果表明，在一定負溫范圍內，AHFO 法測量所得凍土導熱系數與土體初始溫度之間仍然符合式( 4)所述線性關系。

值得注意的是，在初始溫度T0=－0.6 ℃時，所測導熱系數小于λ0，測量值為1.4 W/( m·K)－1。這可能是因為試驗所使用土壤的近相變區(qū)位于－0.6 ℃附近，該溫度條件下未凍水含量隨溫度急劇變化，大量熱量轉化為相變潛熱而不是通過熱量傳導消散，導致測量誤差較大。這說明，基于AHFO的導熱系數測定方法不適用于近相變區(qū)( －0.6 ℃附近區(qū)間) 的凍土。

3.2 相變熱容影響的誤差分析

根據式( 5) 、式( 6) 可得凍土試樣在不同初始溫度下的體積熱容Cv。將計算得到的體積熱容Cv和導熱系數λ 代入式( 10) ，可以獲得不同初始溫度下凍土試樣的溫度增量計算值ΔTc( r，t) 。圖5 ～圖7將其和實測溫度分布ΔTs( r，t) 進行了對比。

由圖5、圖6 和圖7 中實測、計算溫度分布曲線都可以看出，在試驗所使用加熱功率和加熱時間條件下，FBG 剛玉管傳感器在凍土試樣中的影響半徑小于5 cm，說明試驗所選用環(huán)刀尺寸可以有效避免邊界效應所帶來的測量誤差。

圖5a、圖6a、和圖7a 所示實測溫度ΔTs( r，t) 普遍大于圖5b、圖6b 和圖7b 所示計算溫度ΔTc( r，t) ，這是由于測量過程中伴隨著冰水相變，融化冰的比例隨溫度和溫度的升高而增大。而冰的熱容約為2000 J·( kg·K)－1，潛熱為3.55×105iJ·( kg·K)－1，融化1 g 冰所需的熱量可以使178 g 冰的溫度升高18 ℃，換言之，冰的融化會減小凍土升溫幅度。所以，即使在遠低于名義凍結溫度的情況下，忽略融化也會影響分析結果。

圖5 初始溫度－3.2 ℃下實測和計算溫度分布曲線Fig. 5 Measured and calculated temperature distributions at the initial temperature of －3.2 ℃

圖6 初始溫度－6.7 ℃下實測溫度和計算溫度分布曲線Fig. 6 Measured and calculated temperature distributions at the initial temperature of －6.7 ℃

圖7 初始溫度20.6 ℃下實測溫度和計算溫度分布曲線Fig. 7 Measured and calculated temperature distributions at the initial temperature of 20.6 ℃

表1 為加熱300 s 時凍土試樣各半徑實測溫度和計算溫度誤差參數RMSE 與初始溫度的關系?？梢钥闯觯跍囟鹊陀? ℃時，RMSE 隨溫度升高而增大，在近相變區(qū)達到最大。表明相同的加熱功率和加熱時間，凍土試樣的相變隨初始溫度升高而逐漸劇烈，由相變影響的實測溫度和計算溫度誤差隨之增大。

根據式( 8) 、式( 10) 和加熱300 s 時、距離試樣軸心2 cm 處的實測溫度可反演不同初始溫度下凍土試樣的表觀熱容C，進而計算出相變熱容CL。 圖8 顯示，隨著初始溫度升高，凍土體積熱容變化較小; 在很低的負溫下( 小于－6 ℃) ，相變熱容趨于穩(wěn)定; 在－6 ～0 ℃，相變熱容隨溫度升高逐漸增大，且變化趨勢愈漸強烈; 在溫度高于－5 ℃時，相變熱容甚至大于凍土自身的體積熱容。此現象說明，在較低的負溫下對凍土主動加熱所引起的測量誤差較小，在較高的負溫下( 大于－5 ℃) 由于劇烈相變帶來的誤差隨溫度增高逐漸增大。這很好地解釋了表1 中實測溫度與計算溫度誤差參數隨初始溫度升高而增大的現象。

表1 溫度分布誤差分析Table 1 Error analysis of temperature distribution

圖8 熱容隨初始溫度變化曲線Fig. 8 Relationship between heat capacity and initial temperature

4 結 論

本文基于主動加熱法和線源模型，應用自主研發(fā)的FBG 剛玉管傳感器對凍土溫度場進行了監(jiān)測;在考慮未凍水和相變潛熱的情況下分析了凍土熱響應特征，計算、反演出凍土導熱系數和相變熱容，分析驗證了其與土體初始溫度之間的關系，為凍土含冰量AHFO 測量法的修正提供了理論支撐。本文得到以下結論:

( 1) 在加熱功率q =23 W·m－1，加熱時間t=300 s 的情況下，試驗結果顯示，溫度增量ΔT( t) 與時間對數lnt 之間具有良好的線性關系，說明線源模型測量凍土導熱系數過程中，凍土導熱系數變化較小，AHFO 法的適用性良好。

( 2) 隨著凍土初始溫度升高，凍土導熱系數測量值與初始溫度呈線性關系; 該線性關系為基于FBG 的含冰量測量方法的修正提供了參考依據和理論支撐。

( 3) 在溫度低于－6 ℃時，相變熱容趨于穩(wěn)定;在－6～0 ℃時，相變熱容隨溫度升高逐漸增大，且變化趨勢愈漸強烈; 在溫度高于－5 ℃時，相變熱容甚至大于凍土自身的體積熱容。

本文研究結果為凍土含冰量AHFO 測試方法的修正提供了實踐意義上的可行性驗證，進一步明確了傳感器所測溫度特征值與含冰量、總含水量之間的指數關系，與初始負溫之間的倒數關系。但是本文結論是基于有限的室內試驗得到的，這種關系是否適用于其他類型的凍土，以及如何通過標定確定參數間換算的經驗系數，仍然是值得深入研究和探討的問題。