巧用面積原理解決三角形中的一類定比分點問題

廣東省中山紀念中學(528454) 鄧啟龍

三角形中,有一類常見的定比分點問題.

題目1 如圖1,P為△ABC內任意一點,直線AP,BP,CP分別交邊BC,CA,AB于點D,E,F,若則分別為多少?

圖1

筆者經過探究,通過巧妙地利用面積原理,找到了這些比例之間的等式關系.利用這些等式,已知其中任意兩個比例,可快速求出其他四個比例.

設△BPC,△CPA,△APB的面積分別為S1,S2,S3,分別為k1,k2,k3,分別為t1,t2,t3.

結論1k1k2k3=1.

證明由面積原理和比例性質得

結論1 即是平面幾何中著名的塞瓦定理.由結論1 可得,已知k1,k2,k3中的任意兩個,可推出第三個.

結論2t1+t2+t3=1.

證明由面積原理和比例性質得

同理可得t2=所以t1+t2+t3=1.

由結論2 可得,已知t1,t2,t3中的任意兩個,可推出第三個.

結論3S1:S2:S3=1:k1:k1k2=t1:t2:t3.

證明由結論1 的證明得S1:S2:S3=1:k1:k1k2,由結論2 的證明得S1:S2:S3=t1:t2:t3,所以S1:S2:S3=1:k1:k1k2=t1:t2:t3.

結論4t1=

證明由結論3 得S1:S2:S3=1:k1:k1k2,所以t1=同理t2=

由結論1 和結論4 可得,已知k1,k2,k3中的任意兩個,可推出t1,t2,t3.

結論5

證明由結論3 得S1:S2:S3=t1:t2:t3,所以

由結論2 和結論5 可得,已知t1,t2,t3中的任意兩個,可推出k1,k2,k3.若已知k1和t1,由結論5 得t2=k1t1,于是若已知k1和t2,由結論5得于是若已知k1和t3,由結論2 得t1+t2=1-t3,由結論5 得解得于是綜上所述,已知k1,k2,k3,t1,t2,t3中的任意兩個,可推出其他四個.

結論1-5 給出了六個比例k1,k2,k3,t1,t2,t3之間的等式關系,利用這些等式,可有效解決本文開頭提出的三角形中的定比分點問題.下面結合例題說明結論1-5 在三角形中的定比分點問題中的應用.

例1同題目1.

解由已知得k1=2,k2=3,由結論1 得由結論4 得所以

例2如圖1,P為△ABC內任意一點,直線AP,BP,CP分別交邊BC,CA,AB于點D,E,F,若則分別為多少?

解由已知得k1=2,t3=由結論4 得t3=得k3=由結論1 得k2=3,由結論4得所以

結論1-5 給出了六個比例k1,k2,k3,t1,t2,t3,以及面積S1,S2,S3之間的等式關系,利用這些豐富的結果可有效解決三角形中的定比分點問題,以及三角形內一點引發(fā)的與定比有關的其他問題.

例3如圖1,P為△ABC內任意一點,直線AP,BP,CP分別交邊BC,CA,AB于點D,E,F,證明：

證明由=k2得=k2+1,由=t1得所以由結論4 得t1=所以

例3 即平面幾何中著名的梅涅勞斯定理,利用結論4 立即證明該定理.

例4如圖1,P為△ABC內任意一點,直線AP,BP,CP分別交邊BC,CA,AB于點D,E,F,設△BPC,△CPA,△APB的面積分別為S1,S2,S3,證明：

證明由=k2得即,得

例4 即平面向量中著名的“奔馳定理”,本文通過巧妙地利用面積原理來證明該定理.