由一道初等數(shù)學(xué)題引發(fā)的猜想及其高等證明與推廣

合肥市第一中學(xué)(230601) 谷留明

在高二下學(xué)期講授導(dǎo)數(shù)時(shí),有學(xué)生問了這樣一個(gè)題目：設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c ∈R 且兩兩不相等,則

有感于此題解答過程中的美妙的數(shù)學(xué)形式和對稱輪換性,筆者講解后又追問了該生一個(gè)變式思考題：設(shè)且兩兩不相等,則

發(fā)現(xiàn)結(jié)果也是0.進(jìn)一步推廣到類似的5 次多項(xiàng)式函數(shù),經(jīng)計(jì)算機(jī)模擬,結(jié)果仍是0.由此提出以下的

猜想設(shè)f(x)=(x-a1)(x-a2)···(x-an),a1,a2,···,an ∈R 且兩 兩不相等,n ∈N 且n ≥3,則

此猜想經(jīng)教研組同事內(nèi)部討論仍未得到證明或者證偽.于是將它張貼到教研組門口的公告板上,面向全校師生進(jìn)行征解.有兩位學(xué)競賽的同學(xué)來分享了根據(jù)拉格朗日插值公式得到的證明思路.因?yàn)橹R受限,他們表達(dá)得很不清楚嚴(yán)謹(jǐn),只是感性的一些描述.看來都感覺到了這個(gè)看起來簡單的初等問題,得尋求高等數(shù)學(xué)知識來解答.筆者又重新拾起來了高等代數(shù)等大學(xué)數(shù)學(xué)知識,得到了以下4 種證明.

下文中,對i=1,2,···,n記

方法1 由得

所以

由拉格朗日插值公式得

令x=0,得

即

由拉格朗日插值公式,得x=0,得即

方法2 設(shè)則deg(fi(x))=n-1,以R[x]n表示由所有次數(shù)不超過n-1的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式所構(gòu)成的線性空間,則fi(x)∈R[x]n,可以證明：f1(x),f2(x),···,fn(x) 是R[x]n中的一組基,且因?yàn)閤 ∈R[x]n,所以存在不全為0 的b1,b2,b3,···bn ∈R,使得把x=ai代入,得故又3),故對比xn-1項(xiàng)的系數(shù)得即得證.

方法3 由n階范德蒙德行列式得

而

按第n行展開的展開式.因?yàn)榇诵辛惺降牡?、n行相同,所以此行列式的值為0,即

由此證明了上述猜想,這個(gè)猜想在結(jié)構(gòu)上,在證明過程中,以及利用作圖軟件作圖探究中,都能感受到對稱之美和數(shù)學(xué)的奇妙.其實(shí)中學(xué)里,還有類似的題目.例如：設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c ∈R 且兩兩不相等,則

其結(jié)果也是0.再結(jié)合上述證明中的體會和感悟,還可提出以下

猜想2設(shè)f(x)=(x-a1)(x-a2)···(x-an),a1,a2,···,an ∈R,且兩兩不相等,n ∈N,n ≥2,則

用上述三種方法,仍可類似地證明,下面用新的方式來證明.

證明設(shè)a1,a2,···,an ∈R且互不相等),則f′n(ai)=由拉格朗日插值公式,存在唯一的次數(shù)不超過n-1 的多項(xiàng)式函數(shù)

其圖像經(jīng)過平面上的給定的n個(gè)點(diǎn) (a1,1),(a2,1),···,(an,1).而y=1 就是經(jīng)過這n個(gè)點(diǎn)的次數(shù)不超過n-1 的多項(xiàng)式函數(shù),所以

即

同理,

又因?yàn)閒n(x) 不恒為0,所以有即

由上述兩個(gè)猜想的結(jié)構(gòu)特征,利用證明猜想1 的方法2和方法3,容易進(jìn)一步推廣,得：

推廣設(shè)f(x)=(x-a1)(x-a2)···(x-an),a1,a2,···,an ∈R 且兩兩不相等.當(dāng)時(shí),恒有

證明(按方法3)因?yàn)?/p>

所以當(dāng)k≤n-2 時(shí),

由這個(gè)更一般的結(jié)論,很容易命制以下初等題目：

(1) 已知f(x)=(x-a)(x-b),(a,b ∈R 且不等,則

(2)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c ∈R 且兩兩不等,則

(3)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d),a,b,c,d ∈R且兩兩不等,則

(4)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d),a,b,c,d ∈R且兩兩不等,則

(5)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d),a,b,c,d ∈R且兩兩不等,則

這系列題的難點(diǎn)不在導(dǎo)數(shù),換種形式,也可以命制以下證明題.已知a,b,c,d ∈R 且兩兩不相等,證明：

由此,可見教學(xué)相長的重要性；教師平時(shí)教學(xué)中更是要以身作則,堅(jiān)持舉一反三、發(fā)散思考；在如今雙一流大學(xué)更傾向于自主招生的潮流下,面對部分?jǐn)?shù)學(xué)優(yōu)等生,教師遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能自滿,掌握適當(dāng)?shù)母叩葦?shù)學(xué)知識,才能高屋建瓴,給予學(xué)生更“高端的指導(dǎo)”.