對2019年全國Ⅰ卷理數(shù)第23題的賞析

廣州大學附屬中學(510006) 陳經(jīng)緯

題目已知a,b,c為正數(shù),且滿足abc=1,證明：

(2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

在課本《不等式選講4-5》中,貫徹本書重要內(nèi)容是基本不等式(包括兩個或多個正數(shù)的),絕對值不等式、柯西不等式,所以本題考查基本不等式是情理當中的,也是符合新課標精神的,本題兩問均可利用基本不等式證明,參考答案如下：

方法一(1) 因為a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=所以

(2) 因為a,b,c為正數(shù)且abc=1,故有(a+b)3+(b+當且僅當a=b=c時等號成立.

點評雖說基本不等式可以完整地證明此題,高考題區(qū)別一般模擬題的一個重要特征就是解題入口比較寬,可以從不同角度處理,例如本題中第(1)問,考慮到不等式右邊是平方式,容易聯(lián)想到柯西不等式；

第(1)問相對較簡單,以下重點討論第(2)問,我們都清楚不等式是選考內(nèi)容,有些高中側(cè)重極坐標與參數(shù)方程教學,淡化不等式,導致部分考生即使學習過三個正數(shù)的基本不等式,也不能夠靈活運用,本題最大的亮點是使用兩個正數(shù)的基本不等式也可以解決；

方法二因為a,b,c為正數(shù)且abc=1,故有(a+b)3=

同理

二要認真落實云南與周邊省區(qū)市及長江沿岸省區(qū)市簽訂的戰(zhàn)略合作協(xié)議，深入推進與長江流域、成渝經(jīng)濟區(qū)和周邊省區(qū)的交流合作，加強資本引進、渠道建設(shè)、市場對接，深度開展資本和產(chǎn)業(yè)合作。

點評解題成功的關(guān)鍵要素是代數(shù)變形的靈活應用,本題中技巧是將3 次降為2 次處理,若變形能力足夠強大,再退一步,此題僅用初中的知識也可以解決.

方法三(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3

根據(jù)(1)問得

當且僅當a=b=c時等號成立.

點評運用此方法雖然只需要具備初中知識,但變形技巧要求高,對于高中生來講有點繞圈子,不推薦使用.此方法的介紹,主要目的是讓我們感受數(shù)學的美.

我們在學習導數(shù)的時候不可回避地接觸到函數(shù)的凹凸性,由函數(shù)的凹凸性衍生出來的琴生不等式也可以很好地證明此題

琴生不等式

若f(x) 在區(qū)間I上為凸函數(shù),則對x1,x2,···,xn ∈I,總有當且僅當x1=x2=···=xn時取等號.

方法四構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3(x＞0),因為f′′(x)=6x＞0,所以f(x)在(0,+∞)是遞增的凸函數(shù),即整理得當且僅當a=b=c時等號成立.

有一定競賽基礎(chǔ)的考生都知道權(quán)方和不等式是一個銳利小巧的不等式,它具有條件簡明、結(jié)構(gòu)優(yōu)美、使用方便等特點,本題也可以使用權(quán)方和不等式證明；

權(quán)方和不等式

已知a1,a2,···,an,x1,x2,···,xn均為正數(shù),若m＞0,則有

方法五(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3當且僅當a=b=c時等號成立.

結(jié)束語

筆者所處的廣東省采用全國Ⅰ卷,據(jù)了解,在選做題的處理上大部分中學都鼓勵學生選擇極坐標與參數(shù)方程,

由于不等式選講內(nèi)容長期得不到足夠的重視,而今年全國Ⅰ卷的極坐標與參數(shù)方程突然難度加大,整個考生一片“哀嚎”.

本文采用五種方法對2019年不等式選講高考題進行多角度分析,充分說明不等式選做題的命制有一定的規(guī)律,解決方法也是多種多樣的,同時不等式與高中數(shù)學其他板塊內(nèi)容結(jié)合比較緊密,特別是解決最值問題,有獨到的優(yōu)勢,學好不等式對后續(xù)的學習也有很大的幫助.所以在今后的教學中,我們一線教師一定要對不等式選講的教學加以重視.