不完全預(yù)防性維修條件下保修決策模型研究

王 謙，程中華，白永生，李欣玥，張建卿

(1.陸軍工程大學(xué)， 石家莊 050003；2.陸軍第九綜合訓(xùn)練基地，河北 張家口 075000； 3.中國人民解放軍32200部隊，遼寧 錦州 121000)

預(yù)防性維修，對于恢復(fù)和保持產(chǎn)品可靠度具有重要意義。對于隨時間逐步退化的產(chǎn)品，通過預(yù)防性維修，可以降低產(chǎn)品故障率，從而改變保修期內(nèi)產(chǎn)品的故障次數(shù)，降低保修費用。在現(xiàn)行保修制度下，包含預(yù)防性維修的保修策略已逐步應(yīng)用到很多產(chǎn)品的保修策略中。當(dāng)前，對于一些大型設(shè)備的用戶，用戶必須具備一定的維修力量，以滿足在日常使用過程中維修保養(yǎng)的需要。針對保修期內(nèi)的新產(chǎn)品，在使用初期，由于自身維修人力、物質(zhì)資源和技術(shù)等因素的影響，用戶與廠家維修力量相比有一定的差距。僅由用戶對進行預(yù)防性維修，可能會出現(xiàn)預(yù)防性維修難以達(dá)到規(guī)定要求的情況，造成產(chǎn)品故障率高、故障頻發(fā)、維修費用高等現(xiàn)象。因此，由廠家輔助進行預(yù)防性維修工作是一種好的方法。

營利是廠家的根本目標(biāo)，完成年度生產(chǎn)計劃是其首要任務(wù)。在預(yù)定的生產(chǎn)任務(wù)期間，企業(yè)難以臨時改變生產(chǎn)計劃并抽調(diào)人員進行產(chǎn)品的預(yù)防性維修工作，造成產(chǎn)品故障次數(shù)增多，甚至影響產(chǎn)品的完好率等指標(biāo)。為解決這一問題，本文在現(xiàn)有保修制度下，提出在保修期內(nèi)引入廠家進行預(yù)防性維修的保修策略。但是，在當(dāng)前文獻有關(guān)保修策略的模型中，預(yù)防性維修多是單一維修程度的工作。Huang[1]假設(shè)在保修期內(nèi)預(yù)防性維修為維修程度恒定的不完全維修，建立了預(yù)防性維修策略下的費用模型，得出最優(yōu)保修方案。Wang[2]以制造商的觀點考慮，提出進行周期性不完全預(yù)防性維修，研究了不同使用率情況下產(chǎn)品的最優(yōu)保修策略。Park[3]提出在保修期內(nèi)進行維修程度恒定的不完全預(yù)防性維修，對預(yù)防性維修期間的故障進行最小維修或者更換維修，最終確定預(yù)防性維修的最優(yōu)間隔期，使保修成本最低。Cheng[4]針對隨時間退化的產(chǎn)品，提出延遲首次預(yù)防性維修條件下的保修策略。假設(shè)每次預(yù)防性維修的維修費用不等，建立了相應(yīng)保修費用模型。Nasrum[5]在假設(shè)用戶具有一定的維修能力的前提下，提出保修期內(nèi)，由用戶和廠家分別進行不完全預(yù)防性維修的兩種策略，并建立費用模型。文獻[6-7]對不完全預(yù)防性維修策略也進行了研究。

在當(dāng)前保修相關(guān)的文獻中，還沒有發(fā)現(xiàn)涉及到兩種不同修復(fù)程度的預(yù)防性維修相結(jié)合的保修策略研究。本文提出兩種不同維修程度的預(yù)防性維修相結(jié)合的保修策略，并建立相應(yīng)的決策模型。

1 保修策略

對于大型產(chǎn)品，用戶和廠家都具有一定程度的維修能力，且維修能力不同，進行預(yù)防性維修對產(chǎn)品的恢復(fù)效果也不同。保修期內(nèi)，在用戶進行定期預(yù)防性維修的基礎(chǔ)上，引入廠家代替用戶進行若干次預(yù)防性維修。保修期內(nèi)，廠家可以進行一次、兩次和多次預(yù)防性維修。本文以廠家進行一次預(yù)防性維修作為新的保修策略來研究。按照原先的保修策略，由用戶進行周期性的預(yù)防性維修，從中選取一次交給廠家完成。故障后進行最小維修。

為了區(qū)別不同維修程度的預(yù)防性維修工作，引入不完全維修理論。按照維修后產(chǎn)品的恢復(fù)情況，可將維修程度分為三類：最小維修、不完全維修和完全維修。假設(shè)δ表示修復(fù)因子，δ∈[0,1]。在最小維修情況下(δ=1)，每次修復(fù)將項目恢復(fù)到故障之前的水平，而在完全維修情況下(δ=0)，每次修復(fù)將項目恢復(fù)為新項目。在不完全維修情況下[8]，0<δ<1。按照維修所消耗的費用來比，最小維修、不完全維修、完全維修依次增大[9]。為了達(dá)到降低保修期內(nèi)產(chǎn)品故障總次數(shù)的目的，預(yù)防性維修通常采用不完全維修或者完全維修。本文所研究的保修策略中，應(yīng)用不完全維修程度的預(yù)防性維修。進行不完全維修對故障率影響的建模，既可以假設(shè)不完全維修縮減了上一預(yù)防性維修間隔期內(nèi)的時間，還可以假設(shè)縮減此次預(yù)防性維修之前的所有時間，本文中采用后者。在這種假設(shè)中用到比例年齡倒退(Proportional Age Setback)模型[10]，多數(shù)文獻也用到了同樣的假設(shè)[11-12]。不完全預(yù)防性維修中，不同的修復(fù)程度對應(yīng)不同的修復(fù)因子，對產(chǎn)品的有效壽命有不同等級的降低，而較高的修復(fù)程度所花費的維修成本也會更高，這種規(guī)律與實際應(yīng)用中的維修情況是相符合的。提出新的保修策略，就是建立不同維修程度下預(yù)防性維修工作的組合。在此策略下，以保修費用為目標(biāo)，建立相應(yīng)的決策模型，確定最優(yōu)的預(yù)防性維修時機。

2 建立模型

符號與假設(shè)

TW：產(chǎn)品保修期；

T0：產(chǎn)品預(yù)防性維修間隔期；

m：維修程度；

δ(m)：預(yù)防性維修的修復(fù)因子；

Cp：預(yù)防性維修費用；

Cf：修復(fù)性維修費用；

λ(t)：產(chǎn)品的初始故障率；

C(N)：保修費用期望值。

在產(chǎn)品保修期TW內(nèi)，按照產(chǎn)品原先使用的間歇時間，用戶以T0為間隔期進行周期性的預(yù)防性維修。產(chǎn)品故障率服從形狀參數(shù)為β、尺度參數(shù)為α的威布爾分布，。預(yù)防性維修為不完全維修，維修程度為m，修復(fù)因子為δ(m)，兩者滿足如下關(guān)系[13-14]：δ(m)=(1+m)e-m。不完全維修影響產(chǎn)品的虛擬工齡，若在T時刻進行不完全維修，T-表示維修前的虛擬工齡，T+表示維修后的虛擬工齡。維修后產(chǎn)品故障率為：λ(T+)=λ[δ(m)*T-]。保修期內(nèi)，共進行M次預(yù)防性維修。用戶和廠家進行預(yù)防性維修的修復(fù)程度分別為m1和m2。假設(shè)在M次預(yù)防性維修工作中，第N次由廠家來完成，剩余M-1次由用戶完成，其中N∈[1,M]。當(dāng)N變化時，對保修期內(nèi)產(chǎn)品的故障率有不同的影響，進而影響保修費用。用戶和廠家進行不完全預(yù)防性維修的程度分別為m1和m2(m2>m1)，其對產(chǎn)品的修復(fù)因子分別為δ(m1)和δ(m2)，預(yù)防性維修費用分別為Cp1和Cp2。

保修期內(nèi)，第k次預(yù)防性維修后(k∈[0,M])，λk(t)為第k次預(yù)防性維修間隔期內(nèi)產(chǎn)品的故障率，變化如下：

若k=0，則

λk(t)=λ(t)

若1≤k≤N，則

λk(t)=λ(t-(δ(m1)T0+δ2(m1)T0+…+δk(m1)T0))=

若k=N，則

λk(t)=λ(t-(δ(m2)T0+δ(m2)δ(m1)T0+…+δ(m2)δk-1(m1)T0))=

若N+1≤k≤M，則

λk(t)=λ(t-((δ(m1)T0+δ2(m1)T0+…+

δk-N(m1)T0)+(δ(m2)δk-N(m1)T0+

δ(m2)δk-N+1(m1)T0+…+

δ(m2)δk-1(m1)T0)))=

由于產(chǎn)品故障后進行最小維修，每個預(yù)防性維修間隔期內(nèi)產(chǎn)品故障服從非齊次泊松過程(NHPP)，則各預(yù)防性維修間隔期內(nèi)修復(fù)性維修總費用為：

(1)

在該策略下，預(yù)防性維修總費用為：

Cp總=Cp1*(M-1)+Cp2

(2)

由式(1)、(2)可知，保修費用期望值為：

C(N)=Cp總+Cf 總=Cp1*(M-1)+Cp2+

(3)

通過以上模型，對廠家進行預(yù)防性維修的時機進行決策，確定最優(yōu)保修費用。

決策步驟：① 根據(jù)保修期TW和預(yù)防性維修間隔期T0確定預(yù)防性維修總次數(shù)M；② 計算第N次預(yù)防性維修工作由廠家執(zhí)行的條件下，各個預(yù)防性維修間隔期內(nèi)，產(chǎn)品的故障率；③ 利用式(3)給出的模型，計算C(N)的值。將N在[1,M]內(nèi)取值，得到最小的C(N)，并確定其對應(yīng)的N。

3 算例分析

已知某新型工程車輛銷售以后，為減少故障次數(shù)，降低保修期內(nèi)費用，需要進行預(yù)防性維修。通過多年同類型產(chǎn)品的使用，用戶已經(jīng)具備了一定的維修實力。在產(chǎn)品使用初期，與廠家相比，用戶的維修實力還略有差距，因此采用廠家和用戶兩級力量進行預(yù)防性維修。由于廠家維修力量有限，在保修期內(nèi)，只為用戶提供一次預(yù)防性維修服務(wù)。該工程車輛保修期限為Tw=3年，按照工程車輛使用情況的安排，每隔T0=90天可進行一次預(yù)防性維修。經(jīng)專家評估，用戶和廠家對該車輛預(yù)防性維修工作的維修程度分別為m1=1，m2=2。其余參數(shù)如表1所示。

表1 參數(shù)設(shè)置

利用Matlab軟件編寫程序輔助計算，當(dāng)用戶獨立進行預(yù)防性維修，保修期內(nèi)的保修費用期望為4.677 9萬元。若將某次預(yù)防性維修任務(wù)交給廠家來完成，其費用如表2所示。經(jīng)對比，當(dāng)廠家在第6次對車輛進行預(yù)防性維修，可使保修期內(nèi)保修費用成本最小，最小費用為4.474 1萬元，比由用戶獨立進行預(yù)防性維修的費用少0.2萬元，節(jié)約保修費用4.36%。

表2 不同方案下產(chǎn)品保修費用

由表2可知，在用戶進行預(yù)防性維修的基礎(chǔ)上，引入廠家進行預(yù)防性維修可以影響保修費用。假設(shè)原有保修策略為策略A，新的保修策略為策略B。不同策略下保修費用如圖1所示。在策略B中，廠家進行預(yù)防性維修時機的不同，對保修費用的影響不同。廠家、用戶雙方都希望能夠降低保修成本，但如果廠家預(yù)防性維修的時機選擇不當(dāng)，如在第1、2、11、12次由廠家進行預(yù)防性維修。不但無法降低費用，還會增加保修費用。

這樣的結(jié)果是與實際相符的。在保修期初期，產(chǎn)品故障率還不高，產(chǎn)品有相對較高的可靠度，若此時由廠家來進行預(yù)防性維修，對產(chǎn)品故障率的降低效果不明顯，對保修期內(nèi)產(chǎn)品總故障次數(shù)影響不大；在保修期末期，由于產(chǎn)品已經(jīng)過了大部分保修期，出現(xiàn)了多次故障，此時再由廠家來進行預(yù)防性維修，剩余期限較短，即使可以降低剩余時間內(nèi)產(chǎn)品的故障次數(shù)，但對于整個保修期內(nèi)故障總次數(shù)的影響不明顯。

由此可知，若要由廠家和用戶聯(lián)合進行預(yù)防性維修，必須依靠科學(xué)的決策方法來確定合理的方案，不能僅僅依靠經(jīng)驗或者由人為決定。

圖1 不同策略下產(chǎn)品保修費用

4 敏感性分析

為進一步了解該策略對保修費用的影響，將Cp1、Cp2和Cf分別作為變量進行敏感性分析。將Cp1、Cp2和Cf分別在(-15%～+15%)內(nèi)變化，得到不同條件下的保修費用,如表3～表5所示。

表3 不同Cp1情況下的保修費用

表4 不同Cp2情況下的保修費用

表5 不同Cf情況下的保修費用

從以上結(jié)果可以看出，對保修費用影響依次增大的是Cp1>Cf>Cp2，由此可知，在策略B下調(diào)整保修費用，應(yīng)按照Cp1、Cf、Cp2的優(yōu)先順序進行。

5 結(jié)論

在現(xiàn)有保修策略前提下，不改變預(yù)防性維修周期，提出兩種不同程度不完全預(yù)防性工作組合的保修策略，建立相應(yīng)決策模型，確定最佳預(yù)防性維修時機。給出算例分析，證明了該模型的有效性，并給出了模型的使用條件。通過敏感性分析，得到了不同因素對該策略的影響大小。但是，本策略是在預(yù)防性維修間隔期已知的假設(shè)條件下進行優(yōu)化保修費用的，在下一步研究中，可以將預(yù)防性維修間隔期也作為新的決策變量，避免失修和過度修理，為廠家和用戶提供更優(yōu)的保修方案。