蔡鵬程, 鄭鵬遠

(上海電力學(xué)院 自動化工程學(xué)院, 上海 200090)

多年來,動態(tài)系統(tǒng)的最佳過程操作和控制策略一直是工業(yè)界和學(xué)術(shù)界積極研究的課題,引起了廣泛關(guān)注。目前,復(fù)雜工業(yè)過程的優(yōu)化控制普遍采用由計劃調(diào)度層、經(jīng)濟優(yōu)化層(Real-Time Optimization,RTO)、先進控制層、基礎(chǔ)控制層等不同功能層組成的分層遞階控制結(jié)構(gòu)[1]。由于其RTO層經(jīng)濟指標的優(yōu)化并不涉及下層模型預(yù)測控制(Model Predictive Control,MPC)的動態(tài)模型信息,RTO層的靜態(tài)優(yōu)化模型和MPC動態(tài)模型通常具有不匹配性[2-3]。

受到優(yōu)化和控制一體化設(shè)計思想的驅(qū)動,研究者們提出了將經(jīng)濟指標優(yōu)化和動態(tài)控制以扁平化結(jié)構(gòu)實現(xiàn)為特征的經(jīng)濟性預(yù)測控制(Economic Model Predictive Control,EMPC)[4-9]。為了架起穩(wěn)定性分析的橋梁,保證系統(tǒng)狀態(tài)收斂到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)工作點,文獻[10-13]以耗散性為工具,對經(jīng)濟性預(yù)測控制問題進行了分析和設(shè)計。其中文獻[10-11]指出,如果一個系統(tǒng)相對于其經(jīng)濟目標函數(shù)是嚴格耗散的,則通過優(yōu)化目標函數(shù)得到的經(jīng)濟控制器可以使系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。在可控性假設(shè)下,耗散性也是系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)工作點(xs,us)時最優(yōu)運行的充要條件[11-13]。文獻[14]通過在經(jīng)濟目標中添加凸性質(zhì)的指標,使得系統(tǒng)對于新的目標函數(shù)具有耗散性。文獻[15-16]采用參數(shù)優(yōu)化的形式來構(gòu)造新目標函數(shù),以保證系統(tǒng)滿足耗散性。在穩(wěn)態(tài)工作點附近,將原系統(tǒng)近似轉(zhuǎn)化為線性化系統(tǒng),將原經(jīng)濟指標近似轉(zhuǎn)化為Hessian矩陣對應(yīng)的二次指標,從而將原經(jīng)濟性能優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為動態(tài)性能優(yōu)化問題,進一步以系統(tǒng)狀態(tài)和穩(wěn)態(tài)工作點之間偏差的二次指標函數(shù)作為懲罰函數(shù)來優(yōu)選控制量,在穩(wěn)態(tài)工作點附近取得了較優(yōu)的控制性能。但當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)遠離穩(wěn)態(tài)工作點時,轉(zhuǎn)化后的動態(tài)優(yōu)化問題將難以適用,因此該設(shè)計方法存在一定的局限性,有待進一步開展相關(guān)研究以改善系統(tǒng)性能。

本文以逼近原經(jīng)濟優(yōu)化問題的最優(yōu)性為設(shè)計目標,引入切換控制思想[17],設(shè)計切換控制策略的經(jīng)濟性預(yù)測控制優(yōu)化算法。該算法首先離線設(shè)計具有耗散性的Hessian矩陣指標,隨后根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)所處的不同可行域,分別在經(jīng)濟指標優(yōu)化和Hessian矩陣對應(yīng)的動態(tài)性能指標優(yōu)化之間進行切換,從而驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)收斂到穩(wěn)態(tài)工作點,并取得較優(yōu)的經(jīng)濟性能。

1 問題描述

考慮連續(xù)時間非線性系統(tǒng)

(1)

式中:x——狀態(tài)變量,x∈X?Rnx;

u——輸入變量,u∈U?Rnx。

式(1)中,(x,u)?X×U。系統(tǒng)的經(jīng)濟指標采用連續(xù)函數(shù)le(x,u)進行定義,le:X×U→R。

對于式(1)和給定經(jīng)濟指標le(x,u),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)工作點(xs,us)滿足

x∈X,u∈U}

(2)

式(1)的經(jīng)濟性優(yōu)化問題,可描述為經(jīng)濟性預(yù)測控制優(yōu)化問題,其公式為

(3)

x(t)∈X,u(t)∈U,?t∈[0,T]

式中:x0——系統(tǒng)初始狀態(tài)。

求解上述經(jīng)濟性預(yù)測控制優(yōu)化問題即是對式(3)進行滾動優(yōu)化。在當(dāng)前時刻將控制輸入序列的第一個控制量u(0)施加到系統(tǒng)上,驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)在下一時刻到達新的狀態(tài)值,再以新的系統(tǒng)狀態(tài)值作為初始狀態(tài)進行重復(fù)優(yōu)化。

定義1如果存在一個可微的儲存函數(shù)V(x)滿足

(4)

則稱式(1)在穩(wěn)態(tài)工作點附近關(guān)于目標函數(shù)le(x,u)是耗散的,如果式(4)不等條件嚴格成立,則稱式(1)在穩(wěn)態(tài)工作點附近關(guān)于目標函數(shù)le(x,u)嚴格耗散。

2 性能指標轉(zhuǎn)化

針對經(jīng)濟性預(yù)測控制優(yōu)化問題(3),將其轉(zhuǎn)化為參考跟蹤MPC問題[16]。首先對原優(yōu)化問題的經(jīng)濟指標進行轉(zhuǎn)化,即通過增加拉格朗日松弛項,構(gòu)建新性能指標為

L(x,u,λ)=le(x,u)+λf(x,u)

(5)

式中:λ——拉格朗日因子。

基于上述拉格朗日松弛后的新性能指標,求解式(2)可等價轉(zhuǎn)化為

x∈X,u∈U}

(6)

因此,可以采用拉格朗日函數(shù)L(x,u,λ)代替經(jīng)濟目標函數(shù)le(x,u),進行性能優(yōu)化。

考慮等式約束優(yōu)化問題:

s.t.h(z)=0

(7)

假設(shè)函數(shù)l(z)二次可微,并且函數(shù)h(z)可微,給定一個點z*和z*附近的擾動量Δz=z-z*,則函數(shù)l(z)可以在點z*泰勒級數(shù)展開為

(8)

同理,約束函數(shù)h(z)可以展開為

h(z*+Δz)≈h(z*)+h(z*)Δz

(9)

假設(shè)z*是式(7)的解,則其滿足式(7)最優(yōu)解的必要條件為

l(z*)+λTh(z*)=0

(10)

h(z*)=0

(11)

(12)

在z*點附近,該優(yōu)化目標函數(shù)可轉(zhuǎn)化成Hessian矩陣指標。

3 優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化

針對式(1),經(jīng)濟目標函數(shù)為le(x,u),穩(wěn)態(tài)工作點為(xs,us),在穩(wěn)態(tài)工作點(xs,us)處對f(x,u)進行線性化,并對L(x,u,λ)進行泰勒級數(shù)展開[16]

f(x,u)≈f(xs,us)+

(13)

L(x,u,λ)≈L(xs,us,λ)+

(14)

H=2L(xs,us,λ)

(15)

式(14)中,G=0,f(xs,us)=0,L(xs,us,λ)在穩(wěn)態(tài)工作點(xs,us)處為常值。

式(1)在穩(wěn)態(tài)工作點處相對于其目標函數(shù)不一定具有耗散性。為保證系統(tǒng)的耗散性,基于式(15)中得到的Hessian矩陣H,以對稱矩陣Pc和Hc為變量,以線性矩陣不等式為約束條件[15-16],即

(16)

通過最小化對稱矩陣Hc的某一合適矩陣范數(shù),從而計算得到對稱矩陣Hc。

利用式(15)和式(16)計算所得的矩陣H和Hc,令

(17)

將式(3)轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題

(18)

x(t)∈X,u(t)∈U,?t∈[0,T]

x(0)=x0,x(T)=xs

4 經(jīng)濟性預(yù)測控制的切換控制優(yōu)化算法

在上述分析過程中,原經(jīng)濟性優(yōu)化問題被轉(zhuǎn)化成具有Hessian矩陣二次目標函數(shù)的動態(tài)性能優(yōu)化問題。需要指出的是,這種近似等價關(guān)系僅在穩(wěn)態(tài)點附近成立。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠離穩(wěn)態(tài)工作點時,這種近似等價關(guān)系就難以成立,導(dǎo)致該優(yōu)化難以獲得較優(yōu)的經(jīng)濟性能。為了彌補上述缺陷,本文以初始點和穩(wěn)態(tài)工作點間的歐氏距離為切換條件,設(shè)計基于切換控制策略的優(yōu)化算法。

4.1 離線計算

步驟2 設(shè)定穩(wěn)態(tài)工作點附近小鄰域的半徑值ρ=c1和Ωρ={x∈Rn|(x-xs)2≤ρ2},切換時間tswitch=c2。

4.2 在線優(yōu)化

步驟1 對式(3)進行求解,并將優(yōu)化計算所得的控制量施加到受控系統(tǒng)上。

步驟2 判斷系統(tǒng)狀態(tài)是否位于Ωρ,優(yōu)化時間是否到達切換時間tswitch。若x∈Ωρ或t≥tswitch,則執(zhí)行步驟3,否則返回步驟1。

步驟3 對轉(zhuǎn)化后的式(18)進行求解,將控制量u施加到受控系統(tǒng)上,并重復(fù)進行滾動優(yōu)化,直至系統(tǒng)狀態(tài)驅(qū)動到穩(wěn)態(tài)工作點時,優(yōu)化結(jié)束。

在上述經(jīng)濟性預(yù)測控制的切換控制優(yōu)化算法中,當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)在Ωρ領(lǐng)域以外時,求解原經(jīng)濟性能優(yōu)化問題,從而追求系統(tǒng)的經(jīng)濟性能最優(yōu);當(dāng)系統(tǒng)位于穩(wěn)態(tài)工作點的設(shè)定鄰域或到達設(shè)定時間時,則切換為t-MPC動態(tài)性能優(yōu)化問題進行求解,所得到的控制輸入量可以驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)收斂至穩(wěn)態(tài)工作點。

5 仿真驗證

考慮非線性連續(xù)流式攪拌罐反應(yīng)器,系統(tǒng)模型如下

(19)

該生產(chǎn)過程的經(jīng)濟優(yōu)化目標是使x2最大化,經(jīng)濟優(yōu)化目標為le(x,u)=-1.0×104x2,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)工作點為xs=[0.083 2,0.084 6,0.149 1],us=0.149 1。選取輸入約束0.049≤u≤0.449,拉格朗日乘子λ=[-0.156 1,-1,0],優(yōu)化時域T=10 s,采樣時間tc=0.1 s。將原經(jīng)濟性預(yù)測控制算法標記為“EMPC”,將式(18)記為“t-MPC”,將本文設(shè)計的經(jīng)濟性預(yù)測控制切換控制優(yōu)化算法標記為“切換算法”。選取系統(tǒng)初始狀態(tài)x(0)=[0.5,0.03,0.02]和x(0)=[0.6,0.04,0.01],分別記為“狀態(tài)1”和“狀態(tài)2”,對上述3種算法的控制效果進行仿真驗證,由離線計算得到穩(wěn)態(tài)工作點所對應(yīng)的Ac,Bc,H,Hc分別為

采用ICLOCS優(yōu)化軟件,利用內(nèi)點優(yōu)化算法IPOPT[18]來求解此優(yōu)化問題,得到閉環(huán)系統(tǒng)的仿真結(jié)果分別如圖1和圖2所示。平均經(jīng)濟性能和動態(tài)性能統(tǒng)計如表1所示。

圖1 狀態(tài)1下的閉環(huán)系統(tǒng)軌跡

圖2 狀態(tài)2下的閉環(huán)系統(tǒng)軌跡

表1 兩種狀態(tài)下的性能統(tǒng)計結(jié)果

由圖1和圖2可以看出,在原經(jīng)濟性預(yù)測控制算法控制下,被控系統(tǒng)處于震蕩狀態(tài),沒有收斂到穩(wěn)態(tài)工作點;t-MPC算法和本文設(shè)計的切換控制優(yōu)化算法均可以驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)收斂到穩(wěn)態(tài)工作點。由表1可以看出,與t-MPC算法相比,切換算法雖然在收斂速度上慢一些(動態(tài)性能上有一定的差距),但在3種方法中可以取得最優(yōu)的經(jīng)濟性能。

6 結(jié) 語

本文針對經(jīng)濟性預(yù)測控制優(yōu)化問題,離線計算了Hessian矩陣,并通過求解線性矩陣不等式優(yōu)化問題,構(gòu)造了滿足耗散性條件的二次指標函數(shù),將經(jīng)濟性預(yù)測控制優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為跟蹤MPC問題。本文設(shè)計的切換控制策略的優(yōu)化算法,驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)收斂到穩(wěn)態(tài)工作點,有效地改善了系統(tǒng)的經(jīng)濟性能。