趙國榮,李曉寶,劉 帥,趙超輪

(1.海軍航空大學(xué)參謀部， 山東 煙臺 264001； 2.海軍航空大學(xué)岸防兵學(xué)院， 山東 煙臺 264001)

導(dǎo)彈末制導(dǎo)律能夠?qū)崿F(xiàn)導(dǎo)彈對目標(biāo)的精確打擊，同時考慮終端落角的約束，能夠使得導(dǎo)彈取得最佳毀傷效果[1]。攔截機動目標(biāo)時，由于目標(biāo)信息未知，傳統(tǒng)的比例導(dǎo)制導(dǎo)性能大大降低[2]，而滑?？刂朴捎谄鋵ν獠扛蓴_和內(nèi)部不確定性有較強的魯棒性，應(yīng)用在制導(dǎo)律設(shè)計中取得了良好的效果。

末制導(dǎo)中導(dǎo)彈為滿足落角要求，彈道通常較為彎曲，這可能導(dǎo)致目標(biāo)不在導(dǎo)彈的導(dǎo)引頭視場范圍內(nèi)，使導(dǎo)彈丟失目標(biāo)[3]。同時，導(dǎo)彈自動駕駛儀延遲也是影響制導(dǎo)精度的重要因素，因此，研究末制導(dǎo)律時同時考慮導(dǎo)彈落角和視場角約束并結(jié)合自動駕駛儀的延遲影響具有重要意義。文獻(xiàn)[4]基于切換邏輯的思路設(shè)計了帶有落角和視場角約束的終端滑模制導(dǎo)律，因為存在指令轉(zhuǎn)換的問題，制導(dǎo)律不是光滑連續(xù)的；文獻(xiàn)[5]利用積分型障礙Lyapunov函數(shù)設(shè)計了一種新型滑模制導(dǎo)律能同時約束落角和視場角，但積分項的引入使得制導(dǎo)律求解較為困難。文獻(xiàn)[6]考慮了導(dǎo)彈的一階自動駕駛儀延遲問題，而研究導(dǎo)彈的二階動態(tài)特性更貼近實際情況。文獻(xiàn)[7-8]進(jìn)一步給出了考慮自動駕駛儀二階動態(tài)和攻擊角度約束的制導(dǎo)律設(shè)計方法。然而，文獻(xiàn)[6-8]都沒有考慮了視場角約束的問題。

本文結(jié)合導(dǎo)彈自動駕駛儀的二階動態(tài)特性提出了一種帶有落角和視場角約束的末制導(dǎo)律。通過構(gòu)造一種新型的滑模面并結(jié)合動態(tài)面控制給出了制導(dǎo)律的設(shè)計方法；利用一種新的障礙Lyapunov函數(shù)并根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明了制導(dǎo)系統(tǒng)的彈目視線(line of sight，LOS)角跟蹤誤差和LOS角速率是收斂的，并且視場角始終滿足約束條件。

1 問題描述和相關(guān)引理

1.1 問題描述

如圖1所示,假定末制導(dǎo)過程中導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度VM和VT大小不變，r和q分別表示為彈目之間的相對距離和LOS角，φM和φT分別表示為導(dǎo)彈和目標(biāo)的前置角，γM和γT分別表示為導(dǎo)彈和目標(biāo)的航跡角，aM和aT分別表示為導(dǎo)彈和目標(biāo)的法向加速度。導(dǎo)彈和目標(biāo)的末制導(dǎo)運動學(xué)關(guān)系為

(1)

圖1 彈目關(guān)系

(2)

其中，d=aTcosφT。

假設(shè)1若存在一個有界常數(shù) Δ≥0 代表目標(biāo)加速度aT的最大值，可知 |d|≤Δ。

導(dǎo)彈的自動駕駛儀的動態(tài)特性可以看成二階慣性環(huán)節(jié)：

(3)

其中，u為導(dǎo)彈自動駕駛儀的輸入指令，ζ和ωn分別代表導(dǎo)彈自動駕駛儀的阻尼比和固有頻率。

(4)

針對捷聯(lián)導(dǎo)引頭，在攻角近似為零的情況下，可采用前置角φM來表示導(dǎo)彈的視場角。若導(dǎo)彈可接受的最大視場角為φmax，本文末制導(dǎo)律的設(shè)計要求就是通過制導(dǎo)指令u使LOS角誤差x1以及垂直于LOS方向的相對速度分量x2最終收斂到零，確保導(dǎo)彈能夠以給定的落角qd準(zhǔn)確命中目標(biāo)，并且保證導(dǎo)彈視場角始終滿足 |φM|≤φmax。

根據(jù)式(1)可得 |φM|≤φmax成立的充分條件為

|x2|≤α

(5)

其中，α=VMsinφmax-VT。

1.2 基本引理

引理2[10]對任意的正數(shù)α，令A(yù)={x∈R∶|x|<α{ 以及B=Rl×A?Rl+1均為開區(qū)間，考慮如下系統(tǒng)：

(6)

其中，η=[ω,x]T∈B，函數(shù)h∶R+×B→Rl+1在時間t上分段連續(xù)，并且關(guān)于x滿足局部一致Lipschitz條件。若函數(shù)U∶Rl→R+以及V1∶A→R+在各自的定義域內(nèi)連續(xù)可微且是正定的，同時滿足：當(dāng) |x|→α?xí)r，V1(x)→∞ ；γ1(||ω||)≤U(ω)≤γ2(||ω||)，γ1和γ2為K∞類函數(shù)。那么，對于函數(shù)V(η)=V1(x)+U(ω) 以及初時狀態(tài)x(0)∈A，假設(shè)不等式滿足如下關(guān)系

(7)

其中a,b>0，則對任意t∈[0,∞)，都滿足x∈A。

2 考慮自動駕駛儀延遲的帶有落角和視場角約束的制導(dǎo)律

2.1 制導(dǎo)律的設(shè)計

1) 設(shè)計虛擬控制量x3c

構(gòu)造如下滑模面

s1=x2+α(1-e-β|x1|)sign(x1)

(8)

對其求導(dǎo)可得

(9)

虛擬控制量x3c設(shè)計如下：

(10)

為了避免逆推設(shè)計方法的項數(shù)爆炸問題，引入一個一階濾波器對虛擬控制量x3c進(jìn)行濾波：

(11)

其中，τ3>0 為濾波器設(shè)計參數(shù)，x3d(0)=x3c(0)。

定義邊界層誤差：

y3=x3d-x3c

(12)

2) 設(shè)計虛擬控制量x4c

定義跟蹤誤差變量

s2=x3-x3d

(13)

對其求導(dǎo)可得

(14)

虛擬控制量x4c設(shè)計如下：

(15)

通過一個一階濾波器對虛擬控制量x4c進(jìn)行濾波

(16)

其中，τ4>0 為濾波器設(shè)計參數(shù)，x4d(0)=x4c(0)。

定義邊界層誤差

y4=x4d-x4c

(17)

3) 設(shè)計制導(dǎo)指令u

定義跟蹤誤差變量

s3=x4-x4d

(18)

對其求導(dǎo)可得

(19)

導(dǎo)彈制導(dǎo)指令u可設(shè)計如下

(20)

進(jìn)一步，將式(11)、式(13)、式(15)、式(16)、式(18)代入式(10)可得

(21)

2.2 穩(wěn)定性分析

定理1對于制導(dǎo)系統(tǒng)式(4)，如果制導(dǎo)指令u設(shè)計為式(21)，并且狀態(tài)變量x2滿足約束條件 |x2|<α，則導(dǎo)彈最終能夠成功的攔截目標(biāo)，并且狀態(tài)變量x1,x2收斂于零。

證明：該定理證明過程如下：

構(gòu)造如下障礙Lyapunov函數(shù)：

(22)

(23)

因為 |x2|<α，可知 |s1|<α+gsign(s1)，即 |ξ|<1。

對V1求導(dǎo)并代入式(9)、式(10)、式(12)、式(13)可得：

φ[d-Δsign(s1)-k1s1-φ-(s2+y3)cosφM]

(24)

根據(jù)YOUNG不等式可得：

(25)

(26)

根據(jù)假設(shè)1以及引理1得：

φ[k1s1+φ+(s2+y3)cosφM]≤

φ[-k1s1-φ-(s2+y3)cosφM]≤

(27)

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

(28)

對其求導(dǎo)并代入式(14)、式(17)、式(18)可得：

(29)

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

(30)

對其求導(dǎo)并代入式(19)、式(20)可得：

(31)

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

(32)

(33)

(34)

對Lyapunov函數(shù)V求導(dǎo)可得

-2k1V1+(3-2k2)V2+(1-2k3)V3+

(35)

(36)

求解式(36)得：

(37)

當(dāng)制導(dǎo)系統(tǒng)的狀態(tài)量x1,x2到達(dá)滑模面s1=0 時，由式(8)可知x1x2≤0，并且

|x2|=α(1-e-β|x1|)

(38)

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

(39)

對其求導(dǎo)可得

(40)

(41)

求解上述不等式可知

(42)

定理2假設(shè)末制導(dǎo)初始條件滿足 |x2(0)|<α，那么，在制導(dǎo)律(21)的作用下末制導(dǎo)狀態(tài)變量x2始終滿足約束 |x2|<α。

狀態(tài)變量x1,x2在到達(dá)滑模面s1開始滑動時，由s1=0，可知 |x2|=α(1-e-β|x1|)≤α。證畢。

注1因為符號函數(shù) sign(s1) 的存在，制導(dǎo)律(21)中x3c是非連續(xù)的，可能會引發(fā)顫振現(xiàn)象。為此，用Sigmoid函數(shù)近似替代符號函數(shù) sign(s) ：

(43)

3 仿真分析

假設(shè)導(dǎo)彈的初始位置為(-5 000 m,0)，目標(biāo)的初始位置為(0,0)，初始航跡角γM0=0 °，γT0=100 °，導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度分別取值VM=200 m/s，VT=40 m/s，目標(biāo)的機動aT=gcos(πt/4)。制導(dǎo)律(31)中的參數(shù)選取為ζ=0.8，ωn=20，β=10， Δ=10，k1=2，k2=k3=10，τ3=τ4=τ=0.01，導(dǎo)彈最大加速度取 20g，重力加速度g=9.8 m/s2。

3.1 以不同落角和視場角約束打擊目標(biāo)

假設(shè)導(dǎo)彈最大視場角φmax分別為45°，60°，期望的落角qd分別為-40°，-60°，采用制導(dǎo)律式(21)在3種不同約束條件下進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖2所示。

圖2(a)表明：當(dāng)φmax和qd變化時，導(dǎo)彈均能夠成功攔截目標(biāo)，并且φmax和qd越大，彈道曲線越彎曲。圖2(b)給出了導(dǎo)彈加速度曲線圖，可以看出三種不同約束情況下的加速度曲線都較為光滑平緩，不存在指令跳變。圖2(c)表明：LOS角q最終都能夠收斂到期望的落角qd，使得導(dǎo)彈滿足落角約束的要求。圖2(d)給出了導(dǎo)彈視場角φM的變化曲線，可以看出當(dāng)限定最大視場角φmax時，在制導(dǎo)律式(21)作用下導(dǎo)彈始終能夠在視場角范圍內(nèi)實現(xiàn)對目標(biāo)的精確攔截。

3.2 與制導(dǎo)律FISMG，ISMDSG對比

文獻(xiàn)[6]采用切換邏輯的思路設(shè)計的一種帶有落角和視場角約束的制導(dǎo)律FISMG，但其沒有考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀影響；文獻(xiàn)[10]設(shè)計了一種帶有二階自動駕駛儀動態(tài)特性和攻擊角度約束的制導(dǎo)律ISMDSG。假設(shè)導(dǎo)彈最大視場角φmax為45°，期望的落角qd分別為-60°，為了充分分析制導(dǎo)律式(21)的制導(dǎo)性能，在相同的場景下，對3種制導(dǎo)律進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖3所示。

圖2 不同落角和視場角約束下的末制導(dǎo)仿真

圖3 不同末制導(dǎo)律仿真

圖3(a)給出了制導(dǎo)律式(21)和FISMG，ISMDSG末制導(dǎo)軌跡曲線，通過仿真得出三者的末制導(dǎo)時間分別為27.92 s，28.01 s和29.54 s，對應(yīng)的脫靶量分別為0.012 4 m，0.664 9 m，0.002 4 m。通常情況下末制導(dǎo)終端彈目相對距離rf滿足rf≤0.25 m時，認(rèn)為末制導(dǎo)是成功的。因此，制導(dǎo)律式(21)以及ISMDSG能夠使導(dǎo)彈成功攔截目標(biāo)，并且制導(dǎo)律式(21)使導(dǎo)彈的末制導(dǎo)時間最短，而FISMG使導(dǎo)彈的末制導(dǎo)過程失效，這是因為FISMG是在導(dǎo)彈自動駕駛儀理想情況下設(shè)計的，當(dāng)考慮導(dǎo)彈的自動駕駛動態(tài)特性時，F(xiàn)ISMG的制導(dǎo)性能大大降低，甚至失效。

圖3(b)表明：當(dāng)考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀動態(tài)時，F(xiàn)ISMG使得導(dǎo)彈的加速度出現(xiàn)了嚴(yán)重的震顫現(xiàn)象，并且制導(dǎo)律在設(shè)計過程中會存在指令跳變的問題，F(xiàn)ISMG采用了一種特殊的方法來“軟化”這一問題。而制導(dǎo)律式(21)和ISMDSG的加速度指令曲線光滑平緩。從圖3(c)中可以看出制導(dǎo)律式(21)相比于ISMDSG使得LOS角能夠在更短的時間內(nèi)收斂到期望的落角qd，而FISMG對應(yīng)的LOS角曲線在末端出現(xiàn)了發(fā)散的現(xiàn)象，最終不能使導(dǎo)彈滿足落角約束的要求。圖3(d)表明制導(dǎo)律式(21)和FISMG使得導(dǎo)彈在末制導(dǎo)過程中始終滿足視場角約束的要求，并且制導(dǎo)律式(21)的視場角曲線光滑，而FISMG因為導(dǎo)彈加速度的變化而使得視場角在前期和末期產(chǎn)生了較大的抖動。ISMDSG因為在設(shè)計過程中沒有考慮視場角約束，導(dǎo)致導(dǎo)彈在ISMDSG作用下超出了視場角約束范圍，視場角最大值接近60°。

4 結(jié)論

本文在考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀二階動態(tài)特性的影響下設(shè)計了一種滿足落角和視場角約束的新型制導(dǎo)律。所設(shè)計的制導(dǎo)律不存在指令跳變。結(jié)合滑模控制理論與動態(tài)面方法，從理論上嚴(yán)格證明了制導(dǎo)系統(tǒng)在該制導(dǎo)律作用下最終保持穩(wěn)定，并且視場角在整個末制導(dǎo)過程中始終滿足約束條件。仿真實驗表明：在新設(shè)計的制導(dǎo)律作用下，導(dǎo)彈能夠以不同的落角和不同的視場角約束準(zhǔn)確的打擊目標(biāo)，與其他制導(dǎo)律的對比，本文所設(shè)計的制導(dǎo)律具有更加優(yōu)越的制導(dǎo)性能。為了提高制導(dǎo)律精度，應(yīng)采用更加精確的三維末制導(dǎo)模型，并且考慮視線俯仰運動和視線偏航面運動之間的耦合關(guān)系。如何在本文提出的制導(dǎo)方法基礎(chǔ)上設(shè)計三維空間內(nèi)的末制導(dǎo)律，值得進(jìn)一步研究。