基于修正Z變換法的數(shù)字控制系統(tǒng)

楊 栩

（成都師范學(xué)院物理與工程技術(shù)學(xué)院，成都611130）

0 引言

數(shù)字控制系統(tǒng)中存在數(shù)字部分和連續(xù)部分，系統(tǒng)中含有采樣信號(hào)，而被控對(duì)象大多為連續(xù)信號(hào)，數(shù)字控制系統(tǒng)可以等效為一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)，用Z變換法來(lái)分析系統(tǒng)，系統(tǒng)輸出響應(yīng)為周期采樣點(diǎn)上的輸出。采樣周期之間的輸出信息很難獲得，如果要得到更多的輸出點(diǎn)信息，一般通過(guò)改變采樣周期的大小來(lái)實(shí)現(xiàn)。但是采樣周期T不能隨意改變，減小T可以獲取更多的采樣點(diǎn)信號(hào)，信號(hào)恢復(fù)精度越高，但是T過(guò)小，會(huì)使執(zhí)行效率下降，增加運(yùn)算，在工程實(shí)踐中也不允許T過(guò)小，這會(huì)給信號(hào)恢復(fù)和分析帶來(lái)困難。

修正Z變換法在不改變采樣周期T的前提下，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)輸出增加一個(gè)虛擬延時(shí)環(huán)節(jié)，在采樣周期內(nèi)任意延時(shí)，通過(guò)修正Z變換法，能得到任意時(shí)刻的輸出，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的連續(xù)輸出。

1 數(shù)字控制系統(tǒng)

在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，控制系統(tǒng)由數(shù)字部分和連續(xù)部分構(gòu)成的混合系統(tǒng)，在系統(tǒng)中有離散采樣信號(hào)和連續(xù)信號(hào)，等效為數(shù)字部分和連續(xù)部分。數(shù)字部分表示計(jì)算機(jī)控制算法，輸入和輸出皆為離散序列，用D(Z)表示；連續(xù)部分等效為連續(xù)被控對(duì)象和零階保持器串聯(lián)構(gòu)成。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 數(shù)字控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

圖2 控制系統(tǒng)在采樣時(shí)刻輸出值

系統(tǒng)分析時(shí)，只能得到控制系統(tǒng)在采樣周期整數(shù)倍時(shí)刻的輸出序列C（k），而被控對(duì)象大多是連續(xù)部分，實(shí)際輸出是連續(xù)信號(hào)。為了能補(bǔ)齊采樣點(diǎn)時(shí)刻之間的連續(xù)輸出，可以采用修正Z變換法獲得非采樣點(diǎn)之間的輸出。

2 修正Z變換法

圖3 輸入信號(hào) f（t）延時(shí) βT（0＜β＜1）

號(hào)f（t）的修正Z變換F（Z，m）表達(dá)式為式（1）：

對(duì)于用F(S)表示的連續(xù)函數(shù)，修正Z變換表達(dá)式為式（2）：

當(dāng)m=0時(shí)，β=1，相當(dāng)于信號(hào)延遲一個(gè)采樣周期；當(dāng)m=1時(shí)，β=0，若f(0)=0，則修正Z變換為一般Z變換。

3 修正Z變換法在數(shù)字控制系統(tǒng)中的應(yīng)用

系統(tǒng)輸出為連續(xù)信號(hào)，為了統(tǒng)一數(shù)字連續(xù)部分，可以給輸出加一虛擬滯后環(huán)節(jié)（0＜β＜1），等效為時(shí)域的延時(shí)環(huán)節(jié)，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖4所示：零階保持器和連續(xù)系統(tǒng)等效為連續(xù)系統(tǒng)G(S)。

系統(tǒng)輸出為式（3）：

圖4 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

虛擬滯后環(huán)節(jié)e-βTs（0＜β＜1），Z變換為修正Z變換 C（Z，m）表達(dá)式為式 4（m=1-β）。

采樣系統(tǒng)經(jīng)過(guò)修正Z變換后的系統(tǒng)函數(shù)為式（5）

圖5 控制系統(tǒng)經(jīng)修正Z變換法后系統(tǒng)輸出值

其中，紅色圓圈處值為控制系統(tǒng)在整數(shù)倍采樣周期時(shí)刻的輸出值，不同顏色虛線表示控制系統(tǒng)經(jīng)βT(0≤β≤1)延時(shí)后系統(tǒng)輸出，通過(guò)延遲不同的時(shí)間，可以得到非整數(shù)倍采樣周期時(shí)刻的輸出信號(hào)。當(dāng)β=1，輸出與非修正Z變換輸出一致，當(dāng)β=0，輸出恰好為非修正Z變換的下一采樣點(diǎn)值，當(dāng)0＜β＜1時(shí)，輸出為非整數(shù)倍采樣周期時(shí)刻的值，其值大小介于非修正Z變換的兩個(gè)采樣點(diǎn)值之間，本圖中β取值步長(zhǎng)為0.1。

為了更直觀地觀察控制系統(tǒng)非周期整數(shù)倍時(shí)刻的輸出值，對(duì)控制系統(tǒng)采用修正Z變換法，延時(shí)時(shí)間步長(zhǎng)取更小的β為0.01，將系統(tǒng)輸出值與采樣時(shí)刻對(duì)應(yīng)，可以獲取更多的非周期采樣點(diǎn)上的輸出值，控制系統(tǒng)經(jīng)修正Z變換法后系統(tǒng)輸出如圖6所示。

圖6 控制系統(tǒng)經(jīng)修正Z變換法連續(xù)輸出響應(yīng)

4 小結(jié)

通過(guò)仿真圖可以看出，系統(tǒng)輸出為連續(xù)輸出，除了采樣點(diǎn)處有值外，采樣點(diǎn)之間也不失真的還原了連續(xù)系統(tǒng)的輸出。本方法達(dá)到了預(yù)期效果。修正Z變換法在不改變采樣周期T的前提下，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)輸出增加一個(gè)虛擬延時(shí)環(huán)節(jié)，能夠得到任意時(shí)刻的輸出，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的連續(xù)輸出。