隨機脈沖發(fā)展集值微分方程的可控性?

李文勝 周 千

（西安航空學院理學院 西安 710077）

1 引言

近些年來，發(fā)展微分方程解的存在性問題得到了廣泛關注［1～5］，有關集值微分方程的內(nèi)容可參見文獻［6～11］。

本文在上述文獻基礎上，研究一類雙參數(shù)發(fā)展系統(tǒng)下的隨機脈沖發(fā)展集值微分方程：

2 預備知識

可測泛函x:Rτ→X 是Bochner 可積當且僅當‖ x ‖為Lebesgue 可積，有關Bochner 積分及其性質(zhì)參見Yosida［12］。 L1( Rτ，X )是由Bochner 可積的連續(xù)泛函x:Rτ→X 組成的Banach 空間，賦予范數(shù)

引理1［13］設多值映射F 有非空緊值并且全連續(xù)，則F 是上半連續(xù)的當且僅當F 有閉圖像（即當xn→x*，yn→y*，yn∈F( xn)時，有y*∈F( x*)。

引理2［13］如果F為Caratheodory 多值映射，且對給 定 的 ψ ∈B ，集 合 SF，ψ={f ∈L1( Rτ，X ):f( t )∈F( t，ψ )，t ∈Rτ} 是 非 空 的，Γ:L1( Rτ，X )→C( Rτ，X)為 線 性 連 續(xù) 映 射，則 Γ ?SF:C( Rτ，X )→Pcp，cv(C ( Rτ，X ))，y →( Γ ?SF)( y )=Γ( SF，y)是C( Rτ，X )×C( Rτ，X )上的閉圖算子。

有關多值映射和雙參數(shù)發(fā)展系統(tǒng)可參見文獻［13～16］。在證明過程中，本文將采用一個文獻［17］提到過的公理化定義，

定義1泛函{ x ( t ):t0-r ≤t ≤T }稱為（1）～（3）的溫和解，當且僅當

其中

引理3［18］設B 為Banach空間X 中的有界的凸子集，Γ:B →P( B )是上半連續(xù)的凝聚集值映射，假如對任意的x ∈B，Γ( x )是B 中的閉凸子集，則Γ在B 中存在一個不動點。

3 主要結果

為了證明（1）～（3）是可控的，假定下面條件成立：

H2.當t ＞s 時，U( t，s )是緊算子，且存在一個常數(shù)M ＞0 ，使得當0 ≤s ≤t ≤T 時，有‖ U ( t，s )‖≤M 。

H3. 當t ∈J 時，存在一個常數(shù)M1＞0 ，使得

H4.函數(shù)Q:Rτ×Cˉ→X 是連續(xù)的，且存在常數(shù)L，Lg＞0，使得對任意的ψ，ψ1，ψ2∈B，有

H5（i）F:Rτ×→Pbd，cp，cv( X )，對每個ψ ∈，t →F( t，ψ )是可測的；對任意的t ∈Rτ，ψ →F( t，ψ)是 上 半 連 續(xù) 的；對 固 定 的ψ ∈B ，集 合SF，ψ={f ∈L1( Rτ，X ):f( t )∈F( t，ψ )a.e.t ∈Rτ} 是非空的。

H5（ii）存在一個可積函數(shù)m:Rτ→[0 ，+∞ )和一 個 連 續(xù) 非 減 函 數(shù)W:[ 0 ，∞ )→( 0 ，∞ )，使 得‖ F( t，ψ )‖=sup{‖ f ‖:f( t )∈F( t，ψ )}≤m( t )W(‖ ψ‖B)，( t，ψ )∈Rτ×。

定理1假設條件H1～H5成立。如果

則系統(tǒng)（1）～（3）的是可控的。

證明：定義如下控制：

在賦予一致收斂范數(shù)的空間Y={u∈C(J，X ):u(0)=φ( 0)}上定義算子Γ:Y →P(Y)，定義如下：

分以下幾步來證明溫和解的存在性：

第一步，Γ1是壓縮的。

由（4）可知，Γ1是一個壓縮算子。

第二步，Γ2有閉圖。

令yn→y*，yn∈Br，un∈Γ2( yn)及un→u*，需要證明u*∈Γ2( y*)。

若un∈Γ2( yn)，則存在fn∈SF，yn，使得對任意的t ∈[t0，T ]，有

集合

接下來證明存在f*∈SF，y*，使得

因此，Γ2是上半連續(xù)算子。Γ=Γ1+Γ2是上半連續(xù)且凝聚的。由引理3 可知，集值微分方程（1）～（3）是可控的。

4 結語

利用集值映射不動點定理結合發(fā)展系統(tǒng)理論，在隨機脈沖有關理論以及抽象的相空間里所給定的充分條件的基礎上，先將集值系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成積分方程，然后按照給定的集值映射不動點定理逐步證明了一類隨機脈沖發(fā)展集值微分方程的可控性，此分析方法對同類集值微分系統(tǒng)可控性的研究具有一定的促進意義。