論“顏色悖論”作為一個(gè)邏輯悖論

劉葉濤，常 琳

(1.南開大學(xué) 哲學(xué)院， 天津 300350; 2.燕山大學(xué) 文法學(xué)院， 河北 秦皇島 066004)

陳波在其《模糊性：連鎖悖論》一文中指出，“顏色悖論”是依據(jù)萊布尼茨“不可分辨者的同一”原則推導(dǎo)出的悖謬[1]，由于顏色謂詞本身的模糊性，導(dǎo)致了“某一物體既是這個(gè)顏色又不是這個(gè)顏色”的矛盾。該悖論具體可以表述為，假設(shè)有一條長為20厘米的彩帶，左端為紅色，右端為橘色，將其按順序分割為100個(gè)等大的小塊，其中相鄰的兩個(gè)僅憑肉眼無法區(qū)分它們?cè)陬伾系牟顒e。從左端開始，第一個(gè)小塊是紅色的并且與第二個(gè)小塊在顏色上僅憑肉眼無法區(qū)分，所以第二個(gè)小塊也是紅色的；視線向左移動(dòng)，第三個(gè)小塊在顏色上與第二個(gè)也無明顯差別，所以第三個(gè)小塊也是紅色的。按照上述邏輯，依次類推，可以得到下述結(jié)論：隨著視線的左移，后一個(gè)小塊與前一個(gè)小塊總是視覺上的顏色無差，都是紅色的，直至最后，第100個(gè)小塊與第99個(gè)小塊也不存在差別，是紅色的。但事實(shí)上，第100個(gè)小塊為彩帶最右端的小塊，它是橘色的。因此，第100個(gè)小塊是紅色的當(dāng)且僅當(dāng)它是橘色的，換句話說，第100個(gè)小塊是紅色的當(dāng)且僅當(dāng)它不是紅色的?？梢钥闯?，通過上述合乎邏輯的推理得出了一個(gè)自相矛盾的結(jié)論。那么，問題究竟出在哪里呢？“顏色悖論”是否為嚴(yán)格意義上的邏輯悖論？是否能夠在萊布尼茨“不可分辨者的同一”原則和“同一不可分辨”原則的基礎(chǔ)上建立嚴(yán)密無誤的邏輯推導(dǎo)？“顏色悖論”與“連鎖悖論”“同一性悖論”是否具有相同實(shí)質(zhì)?上述推理是否在哪一步或哪些步存在錯(cuò)誤？下面將針對(duì)這些問題進(jìn)行論述。

一、“顏色悖論”與邏輯悖論

從克里特島哲學(xué)家埃庇門尼德(Epimenides)于公元前6世紀(jì)說出“所有克里特島人都說謊”這一命題開始，人們就展開了對(duì)“悖論”的廣泛討論與研究。悖論大致可以分為兩種形式：日常語境中的悖論和邏輯悖論。日常語境中的悖論指的是日常生活中所有令人產(chǎn)生困惑、感到驚訝的事情，它們都可以用“悖論”一詞指稱。張建軍在《邏輯悖論研究引論》一書中提到：“(邏輯)悖論指謂這樣一種理論事實(shí)或狀況，在某些公認(rèn)正確的背景知識(shí)下，可以合乎邏輯地建立兩個(gè)矛盾語句相互推出的矛盾等價(jià)式。”[2]邏輯悖論又分為狹義邏輯悖論和廣義邏輯悖論。通常狹義的邏輯悖論僅包括語形悖論、語義悖論和語用悖論，例如“羅素悖論”“說謊者悖論”“合理行動(dòng)悖論”等等。廣義的邏輯悖論指的是以“芝諾悖論”和“二律背反”為代表的“哲學(xué)悖論”和“具體理論悖論”，其廣泛性體現(xiàn)在“將悖論的‘背景知識(shí)’之所指從日常合理思維轉(zhuǎn)到哲學(xué)思維和具體科學(xué)思維領(lǐng)域”[3]。

那么，“顏色悖論”是否為嚴(yán)格意義上的邏輯悖論？答案是肯定的。一方面，“顏色悖論”具有公認(rèn)正確的背景知識(shí)。根據(jù)開篇所述，“顏色悖論”的背景知識(shí)是人們對(duì)于“紅色”和“橘色”的認(rèn)知。對(duì)于“紅色”“橘色”這類模糊謂詞，雖然人們不能依據(jù)明確的界限事例將二者嚴(yán)格區(qū)分，但是除“紅綠色盲”患者外，人們對(duì)于何謂“紅色”以及何謂“橘色”存在基本的、通用的認(rèn)知。另一方面，“顏色悖論”可以通過嚴(yán)密無誤的邏輯推導(dǎo)構(gòu)建矛盾等價(jià)式。陳波在其《思維魔方——讓哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家糾結(jié)的悖論》一書中，依據(jù)“不可分辨者的同一”原則，即?x?y((Fx?Fy)→(x=y))，對(duì)“顏色悖論”進(jìn)行了如下形式化推導(dǎo)[4]：

Fa1

Fa1?Fa2

如果(Fa1?Fa2)，則(a1=a2)

Fa2?Fa3

如果(Fa2?Fa3)，則(a2=a3)

Fa3?Fa4

如果(Fa3?Fa4)，則(a3=a4)

…

Fan-1?Fan

如果(Fan-1?Fan)，則(an-1=an)

所以，F(xiàn)an

其中，n為任意自然數(shù)，F(xiàn)an表示第n個(gè)小塊是紅色的，由上文可知，第n個(gè)小塊為彩帶均分后的最后一個(gè)小塊，是橘色的，所以“Fan∧﹁Fan”。顯然該式為矛盾式，所以“顏色悖論”可以構(gòu)建矛盾等價(jià)式。因此，“顏色悖論”為嚴(yán)格意義上的邏輯悖論，它滿足上述邏輯悖論構(gòu)成的三要素。

二、“顏色悖論”與連鎖悖論

“顏色悖論”作為一個(gè)邏輯悖論，通常被認(rèn)為是“連鎖悖論”的一種。所謂“連鎖悖論”(sorites paradox)，指從明顯真實(shí)的前提出發(fā)，通過一些很微小因而難以覺察的改變，或者通過一些直觀上明顯有效的小的推理步驟，得出了直觀上不可接受或明顯為假的結(jié)論[1]。學(xué)界普遍認(rèn)為，“連鎖悖論”起源于“谷堆”(soros)悖論，常見的“連鎖悖論”包括“谷堆悖論”“禿頭悖論”“谷粒和響聲悖論”“很少悖論”和“王浩悖論”幾種。

以古希臘麥加拉學(xué)派邏輯學(xué)家歐布里德(Eubulides)對(duì)于“禿頭悖論”的描述為例，“一個(gè)人頭上有10萬根頭發(fā)不是禿頭；掉一根頭發(fā)不算禿頭，再掉一根呢？也不算！再掉一根？……于是，不管掉多少根，即便頭發(fā)掉光，也不算禿頭”[5]。假設(shè)Fx表示“x是禿頭”，an表示“有n根頭發(fā)的某個(gè)頭a(n為足夠大的自然數(shù))”，“禿頭悖論”可以表示為如下形式：

﹁Fan

如果﹁Fan，那么﹁Fan-1

如果﹁Fan-1，那么﹁Fan-2

如果﹁Fan-2，那么﹁Fan-3

…

如果﹁Fan-i，那么﹁Fa1

所以，﹁Fa1

根據(jù)上文，一個(gè)“連鎖悖論”必須滿足以下幾個(gè)條件：一方面，對(duì)于推導(dǎo)形式來說，〈a1,a2,a3,…,an〉必須是一個(gè)有序n元組。例如，根據(jù)頭發(fā)根數(shù)的多少對(duì)“頭”進(jìn)行排序。另一方面，謂詞F必須滿足下述條件：第一，它必須對(duì)該序列中的第一項(xiàng)(a1)為真，即Fa1為真；第二，它必須對(duì)該序列中最后一項(xiàng)(an)為假，即Fan為假；第三，該序列中緊鄰的兩個(gè)項(xiàng)，例如an-1和an，必須足夠相似，以至相對(duì)于謂詞F難以鑒別：它們或者同時(shí)滿足謂詞F或者同時(shí)不滿足[6]。

筆者認(rèn)為，雖然“顏色悖論”與以“禿頭悖論”為代表的“連鎖悖論”在語言表達(dá)方面具有相似性，但是這種相似性不足以將“顏色悖論”歸結(jié)到“連鎖悖論”的范疇，具體體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。

首先，謂詞的功能不一致。“顏色悖論”中的謂詞，是僅具有描述功能的模糊詞，例如“紅色”“橘色”等。這些詞的作用，無非是對(duì)具有該性質(zhì)的個(gè)體進(jìn)行描述和限定，并不能單獨(dú)指稱某一類具體的事物，例如，“紅色的高跟鞋”或“高跟鞋是紅色的”，“紅色”這一顏色謂詞要與“高跟鞋”這一名詞一同指稱一類具體的事物。以“禿頭悖論”為代表的“連鎖悖論”，其謂詞“禿頭”不僅具有描述功能，還具有一定的指稱功能。在邏輯上，上述形式刻畫中的每一個(gè)ai都可以看成一個(gè)個(gè)體，即有i根頭發(fā)的頭，甚至每一個(gè)都可以獲得一個(gè)專名，我們可以用這個(gè)專名指稱這個(gè)頭，并提問其是否具有“是禿的”這種性質(zhì)[5]?？梢钥闯?，“禿頭”在特定的情境下指稱了一類人或事物。此外，從外延的角度來看，“紅色”作為謂詞相比“禿頭”，更具有寬泛性，“禿頭”在一定程度上先天地對(duì)它所修飾、描述的對(duì)象進(jìn)行了選擇。例如，我們可以用“紅色”來描述一塊石頭，卻不能用“禿頭”來描述一塊石頭，因?yàn)槭^不屬于“禿頭”的描述范圍之內(nèi)。

其次，推導(dǎo)過程與矛盾點(diǎn)存在差異。通過上文所述推導(dǎo)過程不難看出，“顏色悖論”與“禿頭悖論”存在一定的差異。“顏色悖論”是通過彩帶小塊之間的依次對(duì)比推出的矛盾。彩帶是整體，而小塊是部分，“顏色悖論”是通過部分與部分的依次對(duì)比，得出最后一個(gè)部分是紅色當(dāng)且它不是紅色。所以“顏色悖論”的矛盾點(diǎn)在于最后一部分其自身具有且不具有性質(zhì)F(紅色)。而“禿頭”悖論則是通過“頭發(fā)的減少”判斷具有i根“頭發(fā)”的“某個(gè)頭”ai是否具有性質(zhì)F“禿頭”。其中，頭發(fā)是部分，某個(gè)頭是整體，與“顏色悖論”不同，“禿頭悖論”探討的是整體與部分的關(guān)系，通過部分的增減判斷整體是否具有性質(zhì)F(禿頭)，矛盾點(diǎn)在于，根據(jù)推導(dǎo)形式，如果某個(gè)頭失去了最后一根頭發(fā)，那么這個(gè)頭作為一個(gè)整體具有且不具有性質(zhì)F(禿頭)。

綜上，“顏色悖論”雖然與以“禿頭悖論”為代表的“連鎖悖論”具有相似之處，但它在謂詞的功能、推導(dǎo)過程與矛盾點(diǎn)等方面與嚴(yán)格意義上的“連鎖悖論”存在一定差異，因此不能將其簡單歸納為“連鎖悖論”的一個(gè)部分，應(yīng)從二者的差異出發(fā)，明確“顏色悖論”作為一個(gè)邏輯悖論的研究價(jià)值，探討展開該類問題研究的理論意義。

三、“顏色悖論”與同一性悖論

根據(jù)上文，“顏色悖論”的矛盾點(diǎn)在于最后一個(gè)小塊是紅色的當(dāng)且僅當(dāng)它不是紅色的，這與“同一性悖論”有相似之處。那么，何謂“同一性悖論”？“同一性悖論”是指根據(jù)一階邏輯定理，推出直觀上不能接受的結(jié)論[5]。所謂一階邏輯定理，在“同一性悖論”中指的是萊布尼茨的“同一不可分辨”原則：對(duì)任意的x和y，如果x同一于y，那么若x具有特定屬性F，則y也具有屬性F，其邏輯形式為：

?x?y((x=y)→(Fx?Fy))

(1)

假設(shè)此處任意謂詞變項(xiàng)F為“□(=x)”，即“必然存在某物同一于x”將其代入式(1)可得：

?x?y((x=y)→(□(x=x)?□(x=y)))

(2)

即“對(duì)于任意x和y，如果x同一于y，那么x同一于x是必然的當(dāng)且僅當(dāng)x同一于y是必然的”。以式(2)為前提，加上定理：

?x□(x=x)

(3)

即“對(duì)于任意x，x同一于x是必然的”。該式是同一律的謂詞邏輯表達(dá)，解釋為“個(gè)體必然自我同一”，則將式(3)代入式(2)可以得出結(jié)論：

?x?y((x=y)→□(x=y))

(4)

即“對(duì)于任意x和y,如果x同一于y，那么x同一于y是必然的”。式(4)經(jīng)常被認(rèn)為具有悖論性，因?yàn)槭聦?shí)上“毫無疑問存在著偶然為真的同一陳述。令a=b為其中之一。由‘a(chǎn)=b’的真和(5)(即上面的(4))，就可以得到‘□(a=b)’。但這樣還怎么可能存在什么偶然為真的同一陳述呢?”[5]上述內(nèi)容可以表達(dá)為，我們相信存在偶然為真的同一陳述，假設(shè)a=b為真并將其代入上述表達(dá)式?x?y((x=y)→□(x=y))，則□(a=b)，即“存在必然為真的同一陳述”，與“存在偶然為真的同一陳述”矛盾。例如，魯迅是《孔乙己》的作者。根據(jù)萊布尼茨的可能世界理論，世界是許多可能事物的組合，上帝將其中最完滿的那個(gè)選為現(xiàn)實(shí)世界，“魯迅是《孔乙己》的作者”在我們所處的這個(gè)世界里為真，但是這里所說的“真”并不是“必然真”，而是“偶然真”，也就是說“魯迅是《孔乙己》的作者”這一命題為真是具有偶然性的，即“魯迅可能是《孔乙己》的作者”。所以，存在某個(gè)或某些可能世界，“魯迅不是《孔乙己》的作者”。令“魯迅”為a，“《孔乙己》的作者”為b，則a=b，依據(jù)上文的論述可以得出□(a=b)，即“魯迅必然為《孔乙己》的作者”?！棒斞缚赡苁恰犊滓壹骸返淖髡弋?dāng)且僅當(dāng)他必然是《孔乙己》的作者”，產(chǎn)生矛盾，體現(xiàn)了結(jié)論即式(4)的悖論性。

為了深入探討“顏色悖論”與“同一性悖論”的異同，筆者根據(jù)萊布尼茨“同一不可分辨”原則，即?x?y((x=y)→(Fx?Fy))，對(duì)“顏色悖論”進(jìn)行邏輯推導(dǎo)。假設(shè)〈a1,a2,a3,…,an〉(n為自然數(shù)且n≧1)是一個(gè)有序n元組，表示“將紅橘彩帶等分成n小塊”，F(xiàn)x表示“x是紅色的”，“顏色悖論”可以形式化為：

Fa1

a1=a2

如果(a1=a2)，則(Fa1?Fa2)

a2=a3

如果(a2=a3)，則(Fa2?Fa3)

a3=a4

如果(a3=a4)，則(Fa3?Fa4)

…

an-1=an

如果(an-1=an)，則(Fan-1?Fan)

所以，F(xiàn)an

與“不可分辨者的同一”原則下“顏色悖論”的推導(dǎo)結(jié)果一致，基于“同一不可分辨”原則同樣得出矛盾式“Fan∧﹁Fan”，即“最后一個(gè)小塊是紅色的并且不是紅色的”。因此，“顏色悖論”可以構(gòu)建矛盾等價(jià)式，根據(jù)萊布尼茨“同一不可分辨”原則可以對(duì)“顏色悖論”進(jìn)行嚴(yán)密無誤的邏輯推導(dǎo)。

綜上，筆者認(rèn)為，“顏色悖論”并不完全等同于“同一性悖論”。首先，“顏色悖論”與“同一性悖論”具有不同的推演基礎(chǔ)。一方面，“顏色悖論”的推導(dǎo)形式更加多樣，可以從“不可分辨者的同一”原則和“同一不可分辨”原則兩個(gè)角度出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)。另一方面，從萊布尼茨“同一不可分辨”原則的應(yīng)用角度而言，不同于“同一性悖論”復(fù)雜的演化、推理過程，“顏色悖論”僅僅為對(duì)該原則的初級(jí)應(yīng)用，其主要依據(jù)邏輯形式：?x?y((x=y)→(Fx?Fy))。假設(shè)〈a1,a2,a3,…,an〉(n為自然數(shù)且n≧1)是一個(gè)有序n元組，從彩帶左端(紅色)開始至彩帶右端(橘色)結(jié)束。為了便于思考，我們將上述有序n元組變形為〈(a1,a2),(a2,a3),…,(an-1,an)〉(n為自然數(shù)且n≧1)，則每個(gè)小括號(hào)內(nèi)包括任意兩個(gè)相鄰的小塊，肉眼無法分辨它們的不同，所以，“a1同一于a2，a2同一于a3，a3同一于a4，…，an-1同一于an”；根據(jù)式(1)，“a1是紅色的當(dāng)且僅當(dāng)a2是紅色的”，由此可以推出“an是紅色的”，又因?yàn)椴蕩У挠叶思碼n所在的一段為橘色(非紅色)，所以an是紅色的當(dāng)且僅當(dāng)它不是紅色的。其次，“顏色悖論”探討的是在一個(gè)整體中，部分與部分的關(guān)系，其矛盾點(diǎn)在于某個(gè)部分既具有又不具有某種性質(zhì)。例如，“an是紅色的”，這句話所表達(dá)的是an具有“紅色”這一性質(zhì)，“是”在該句中與“紅色”相連，共同表示“是紅色的”這一屬性。而“同一性悖論”探討的是一個(gè)物體的另兩個(gè)方面是否同一的問題，其矛盾點(diǎn)在于這兩個(gè)方面是可能同一的當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)方面是必然同一的。例如，“魯迅是《孔乙己》的作者”，“是”在該句中并不依附于“魯迅”或“《孔乙己》的作者”，而是作為“等詞”存在，表示“是”前后兩部分相等。所以，“顏色悖論”并不等同于“同一性悖論”。

總之，“顏色悖論”作為一個(gè)邏輯悖論，既由與“連鎖悖論”類似的模糊性謂詞導(dǎo)致，又受萊布尼茨“不可分辨者的同一”原則和“同一不可分辨”原則影響，二者的相互作用導(dǎo)致了“顏色悖論”的悖謬性和復(fù)雜性。因此，對(duì)于“顏色悖論”的研究具有重要的邏輯哲學(xué)價(jià)值。