李 嵐，趙曉丹，武 敏，王龍生，楊毅彪

(太原理工大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院，太原 030024)

近幾年，互耦合半導(dǎo)體激光器網(wǎng)絡(luò)同步受到研究學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-3]。其原因在于，半導(dǎo)體激光器豐富的非線性動態(tài)特性(尤其是混沌)在模擬和分析神經(jīng)、社會以及通信等網(wǎng)絡(luò)行為時發(fā)揮了重要作用[4-5]。2007年，SORRENTINO et al首先在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了混沌同步現(xiàn)象[6]。2012年，DAHMS et al數(shù)值研究了由延時耦合混沌半導(dǎo)體激光器構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步穩(wěn)定性[7]。2013年，WILLIAMS et al實驗證明由混沌半導(dǎo)體激光器構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)中存在組同步[8]。

需要注意的是，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)組同步主要包括兩種類型的同步：組內(nèi)同步和組間同步。前者是指同組節(jié)點之間具有零延時同步，后者是指不同組節(jié)點之間具有延遲同步。此外，同組節(jié)點的動態(tài)特性與不同組節(jié)點的動態(tài)特性具有明顯的區(qū)別，這就為非均勻網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)節(jié)點之間構(gòu)建同步提供了可能[9]。最近報道發(fā)現(xiàn)，目前研究主要集中于如何獲得高質(zhì)量的組內(nèi)同步[10]，卻很少關(guān)注于如何獲得高質(zhì)量的組間同步。實際上，組間同步同樣可以在動態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中發(fā)揮重要作用，例如，在基于混沌同步的保密通信網(wǎng)絡(luò)中，信息不僅可以通過組內(nèi)同步在組內(nèi)節(jié)點之間傳輸，同樣可以通過組間同步在不同組節(jié)點之間傳輸[11-12]。此外，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的抑制或者興奮也可通過組間同步達(dá)到一致[7]。目前，只有少量關(guān)于網(wǎng)絡(luò)組間同步的探索研究，而研究結(jié)果表明組間同步系數(shù)還無法達(dá)到組內(nèi)同步水平，這就限制了組間同步的實際應(yīng)用。

筆者理論證明了通過非對稱耦合可以提高激光器環(huán)網(wǎng)絡(luò)的組間同步。在該系統(tǒng)中，四個激光器被分成兩組，每組兩個激光器光頻(波長)相同但不相鄰。筆者研究了在對稱耦合和非對稱耦合方式下激光器的組間同步特性。結(jié)果表明，在對稱耦合方式下，激光器組間同步具有飽和效應(yīng)——同步系數(shù)穩(wěn)定于0.8到0.9之間。在非對稱耦合方式下，激光器組間同步可被提高至0.9以上，且最大值可達(dá)0.98.此外，該結(jié)構(gòu)下組間同步系數(shù)大于0.9的魯棒性參數(shù)區(qū)間可達(dá)數(shù)十吉赫茲。分析表明組間同步質(zhì)量增強(qiáng)主要得益于非對稱耦合的注入鎖定效應(yīng)。

1 理論模型

如圖1所示，環(huán)形網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)由四個帶有光反饋的半導(dǎo)體激光器構(gòu)成。根據(jù)激光器的光頻(波長)，這四個激光器被分成A，B兩組。每一組包含具有相同光頻(波長)的兩個激光器，但這兩個激光器不直接耦合。在A組內(nèi)的激光器表示為LDA1，LDA2，B組內(nèi)的激光器表示為LDB1，LDB2.除了光頻(波長)外，激光器的其他參數(shù)一致。此外，激光器的耦合延遲和反饋延遲均保持相同且表示為τ.從A組激光器耦合進(jìn)B組激光器的耦合強(qiáng)度表示為σAB，從B組激光器耦合進(jìn)A組激光器的耦合強(qiáng)度表示為σBA.如果σAB=σBA，該環(huán)形結(jié)構(gòu)就是對稱的；如果σAB≠σBA，該環(huán)形結(jié)構(gòu)就是非對稱的。環(huán)結(jié)構(gòu)激光器模型LDm(m=A1,A2,B1,B2)是根據(jù)L-K方程建立的[13]，如等式(1)-(5)所示：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

在上述方程中，引入了激光器互耦合項和光反饋項。其中，Em(t)為激光器LDm的光場復(fù)振幅；Nm(t)代表對應(yīng)的載流子數(shù)，Gm(Nm(t))代表光增益函數(shù)。I為激光器的偏置電流并將其設(shè)置在1.25倍閾值電流處。A是線寬增強(qiáng)因子，τp是光子壽命，τn是載流子壽命，τin是激光器腔內(nèi)往返時間，g是差分增益，N0是透明載流子數(shù)，ε是增益飽和系數(shù)，β是自發(fā)輻射速率，kf代表反饋強(qiáng)度且四個激光器的反饋強(qiáng)度均相同。激光器LDA1,A2和LDB1,B2之間的頻率失諧定義為Δυ=(ωA1,A2-ωB1,B2)/2π，ωA1,A2和ωB1,B2分別是激光器LDA1,A2和LDB1,B2自由運(yùn)行時的角頻率，且ωA1=ωA2,ωB1=ωB2.此外，激光器自發(fā)輻射過程通過引入獨(dú)立的高斯白噪聲χA1,A2,B1,B2進(jìn)行模擬[14]。

圖1 混沌半導(dǎo)體激光器環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of chaotic laser diode ring

激光器的混沌同步質(zhì)量通過計算時序的互相關(guān)進(jìn)行定量表征，其定義如下[15]：

(6)

式中：括號<·>表示在一定的時間范圍內(nèi)求平均，P(t)表示激光器輸出信號的光功率，該值正比于光場幅度的平方?；ハ嚓P(guān)函數(shù)的最大值用于表征激光器的同步質(zhì)量。數(shù)值模擬研究中所用的參數(shù)如表1所示。

表1 數(shù)值模擬參數(shù)Table 1 Values of parameters used in simulations

2 模擬結(jié)果

2.1 對稱耦合(σAB=σBA)

在本節(jié)內(nèi)容中，首先研究了對稱耦合方式下(σAB=σBA)激光器環(huán)的混沌同步特性。圖2所示為激光器LDA1,LDA2,LDB1,LDB2的時序及其互相關(guān)函數(shù)。如圖2(a)和圖2(b)所示，混沌激光器LDA1和LDA2具有相似的時序，而其同步系數(shù)在零延時處接近1.激光器LDB1和LDB2也具有類似的同步現(xiàn)象。這表明兩組激光器均可獲得高質(zhì)量的組內(nèi)零延時同步。對比之下，如圖2(a)和圖2(c)所示，激光器LDA1和LDB1之間沒有明顯的同步特征。通過對其做互相關(guān)運(yùn)算，如圖2(g)所示，他們的相關(guān)性在延時2 ns處為0.81.這表明激光器LDA1和LDB1建立了組間延遲同步，但其同步質(zhì)量較組內(nèi)同步較差。需要注意的是，這里只以組A中的激光器LDA1和組B中的激光器LDB1為例進(jìn)行上述說明，類似的現(xiàn)象同樣可以在其他兩個激光器中觀察到。進(jìn)一步研究了隨著對稱耦合強(qiáng)度的增加，激光器同步特性的變化情況。如圖3所示，激光器LDA1和LDA2(三角形)、LDB1和LDB2(正方形)之間分別建立了高質(zhì)量的零延時同步，其同步系數(shù)接近1.這表明，在對稱耦合方式下，無論耦合強(qiáng)度如何改變，組內(nèi)激光器可以一直建立高質(zhì)量的組內(nèi)零延時同步。對比之下，如圖1中圓形所示，激光器LDA1和LDB1之間建立的組間同步系數(shù)隨著耦合強(qiáng)度的增加呈現(xiàn)快速增長隨后穩(wěn)定保持在0.8～0.9的趨勢。類似的現(xiàn)象也曾在相關(guān)文獻(xiàn)中報道[16]。可以發(fā)現(xiàn)，在對稱耦合方式下，很大耦合強(qiáng)度范圍內(nèi)均可建立具有飽和效應(yīng)的組間同步。但需要注意的是，模擬中所用的最大耦合強(qiáng)度設(shè)置為0.62，這在實際中不僅可以保證激光器工作在混沌狀態(tài)[17]還可以避免由于強(qiáng)注入導(dǎo)致激光器損壞。

眾所周知，激光器頻率失諧也是一個影響混沌同步質(zhì)量的重要參數(shù)。圖4給出了在不同對稱耦合強(qiáng)度下，激光器頻率失諧對組間同步質(zhì)量的影響。圖4(a)和圖4(b)分別為在負(fù)頻率失諧以及正頻率失諧情況下激光器LDA1和LDB1之間的同步系數(shù)。需要注意的是，用于將激光器進(jìn)行分組的頻率失諧一直存在，因此頻率失諧為0的情況并未給出。從圖4(a)或者圖4(b)中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)耦合強(qiáng)度位于0.02～0.3時，組間同步系數(shù)隨著頻率失諧絕對值的增加而降低。當(dāng)耦合強(qiáng)度增加至0.3以上時，頻率失諧將不再對組間同步系數(shù)產(chǎn)生明顯影響，其同步系數(shù)穩(wěn)定于0.8～0.9.該現(xiàn)象與圖3所示結(jié)果一致。這表明在對稱耦合方式下組間同步質(zhì)量增強(qiáng)遇到了瓶頸。

圖2 激光器(a) LDA1，(b) LDA2，(c) LDB1，(d) LDB2的時序以及激光器(e) LDA1和LDA2，(f) LDB1和LDB2，(g) LDA1和LDB1之間的互相關(guān)。激光器耦合強(qiáng)度和頻率失諧設(shè)置為σAB=σBA=0.12，Δυ=-1 GHzFig.2 Temporal outputs (a) LDA1, (b) LDA2, (c) LDB1, and (d) LDB2. Cross-correlation function (CCF) between (e) LDA1 and LDA2, (f) LDB1 and LDB2, (g) LDA1 and LDB1. The coupling strength and frequency detuning parameters are chosen as σAB=σBA=0.12, Δυ=-1 GHz

正方形代表激光器LDB1和 LDB2之間的同步系數(shù)。三角形代表激光器LDA1和LDA2之間的同步系數(shù)。環(huán)形代表激光器LDA1和LDB1之間的同步系數(shù)。激光器耦合強(qiáng)度和頻率失諧設(shè)置為σAB=σBA=0.02～0.62，Δυ=-1 GHz圖3 激光器同步系數(shù)隨對稱耦合強(qiáng)度的變化情況(σAB=σBA)Fig.3 Synchronization coefficient (SC) of LDs as a function of symmetric coupling strength (σAB=σBA)

激光器耦合強(qiáng)度和頻率失諧設(shè)置為σAB=σBA=0.02～0.62,Δυ=-30～-1 GHz，1-30 GHz圖4 激光器LDA1和LDB1同步系數(shù)隨頻率失諧和對稱耦合強(qiáng)度的變化情況Fig.4 Color coded synchronization coefficient of LDA1 and LDB1 as a function of frequency detuning and symmetric coupling strength

2.2 非對稱耦合(σAB≠σBA)

在本節(jié)內(nèi)容中，進(jìn)一步研究了在非對稱耦合方式下(σAB≠σBA) 激光器環(huán)的混沌同步特性。圖5所示為激光器LDA1,LDA2,LDB1,LDB2的時序及其互相關(guān)函數(shù)。很明顯，激光器LDA1和LDA2，以及LDB1和LDB2的混沌輸出呈現(xiàn)零延時同步。這表明即使耦合方式從非對稱耦合變?yōu)閷ΨQ耦合，組內(nèi)激光器仍保持高質(zhì)量的零延時同步。更加有意思的是，如圖5(g)所示，激光器LDA1和LDB1在2 ns延時處建立了同步系數(shù)為0.93的組間同步。該結(jié)果與圖2(g)結(jié)果對比說明，非對稱耦合可以提高組間同步質(zhì)量，但不改變同步類型，即延遲同步。同樣，在該研究中只以組A中的激光器LDA1和組B中的激光器LDB1為例進(jìn)行上述說明，類似的現(xiàn)象同樣可以在其他兩個激光器中觀察到。進(jìn)一步研究了隨著對非稱耦合強(qiáng)度的增加，激光器同步特性的變化情況。如圖6所示，隨著耦合強(qiáng)度的增加，激光器組內(nèi)同步系數(shù)仍然穩(wěn)定在1附近，該結(jié)果與圖3所示結(jié)果類似。但可以發(fā)現(xiàn)，隨著耦合強(qiáng)度的增加，組間同步系數(shù)逐漸增加，并且在耦合強(qiáng)度為0.62時組間同步系數(shù)達(dá)到最大值0.98，最終實現(xiàn)了組間同步質(zhì)量的增強(qiáng)。

圖5 激光器 (a) LDA1，(b) LDA2，(c) LDB1，(d) LDB2的時序以及激光器 (e) LDA1和LDA2，(f) LDB1和LDB2，(g) LDA1和LDB1之間的互相關(guān)。激光器耦合強(qiáng)度和頻率失諧設(shè)置為σAB=0.51，σBA=0.02，Δυ=-1 GHFig.5 Temporal outputs (a) LDA1, (b) LDA2, (c) LDB1, and (d) LDB2. Cross-correlation function (CCF) between (e) LDA1 and LDA2, (f) LDB1 and LDB2, (g) LDA1 and LDB1. The coupling strength and frequency detuning parameters are chosen as σAB=0.51, σBA=0.02, Δυ=-1 GH

正方形代表激光器LDB1和LDB2之間的同步系數(shù)。三角形代表激光器LDA1和LDA2之間的同步系數(shù)。環(huán)形代表激光器LDA1和LDB1之間的同步系數(shù)。激光器耦合強(qiáng)度和頻率失諧設(shè)置為σAB=0.02～0.62，σBA=0.02，Δυ=-1 GHz圖6 激光器同步系數(shù)隨非對稱耦合強(qiáng)度的變化情況(σAB≠σBA)Fig.6 Synchronization coefficient (SC) of LDs as a function of asymmetric coupling strength (σAB≠σBA)

進(jìn)一步，圖7給出了在不同非對稱耦合強(qiáng)度下，激光器頻率失諧對組間同步質(zhì)量的影響。與圖4對稱耦合方式下的結(jié)果對比表明，在非對稱耦合方式下組間同步系數(shù)大于0.9的區(qū)間可占整個參數(shù)區(qū)間的很大一部分，達(dá)數(shù)十吉赫茲。此外，發(fā)現(xiàn)高質(zhì)量組間同步在負(fù)頻率失諧的參數(shù)范圍明顯大于正頻率失諧的參數(shù)范圍。出現(xiàn)上述現(xiàn)象的原因分析如下：激光器的頻率失諧是通過測量自由運(yùn)行激光器的頻率差獲得的。在外部激光器注入下，靜態(tài)激光器的波長將會發(fā)生紅移[18]。為了獲得同步系數(shù)大于0.9的組間同步，注入強(qiáng)度σAB要遠(yuǎn)大于σBA，即激光器LDB1,B2接收的注入強(qiáng)度明顯高于LDA1,A2接收的注入強(qiáng)度。對比于激光器LDB1,B2對LDA1,A2的影響，激光器LDA1,A2對LDB1,B2的影響發(fā)揮主要作用。這導(dǎo)致激光器LDA1,A2和LDB1,B2之間的負(fù)頻率失諧將會得到補(bǔ)償，從而使得高質(zhì)量組間同步具有較寬的參數(shù)調(diào)節(jié)范圍。對于正頻率失諧而言，外部光注入將會進(jìn)一步增大失諧，這將導(dǎo)致組間同步質(zhì)量下降，高質(zhì)量組間同步參數(shù)區(qū)間也將會隨之減小。

激光器耦合強(qiáng)度和頻率失諧設(shè)置為σAB=0.02～0.62，σBA=0.02, Δυ=-30～-1 GHz，1-30 GHz圖7 激光器LDA1和LDB1同步系數(shù)隨頻率失諧和非對稱耦合強(qiáng)度的變化情況Fig.7 Color coded SC of LDA1 and LDB1 as a function of frequency detuning and asymmetric coupling strength

3 討論與結(jié)論

利用非對稱耦合，可以打破對稱耦合下組間同步飽和狀態(tài)，將其最大提高至0.98，這歸結(jié)于非對稱耦合方式下的注入鎖定效應(yīng)[19]。為了更加清晰地揭示這一現(xiàn)象，研究了注入鎖定狀態(tài)下激光器的光譜。可以發(fā)現(xiàn)，如圖8(a)和圖8(b)所示，在注入鎖定條件下激光器LDA1和LDB1的光譜具有高相似性，特別是中心波長處。這主要是因為耦合強(qiáng)度σAB遠(yuǎn)大于σBA，進(jìn)而激光器LDB1的輸出被激光器LDA1放大和鎖定，同步系數(shù)大于0.9的組間同步即可建立。對比之下，如圖8(c)和圖8(d)所示，在非注入鎖定條件下，激光器LDB1的光譜明顯不同于激光器LDA1的光譜。這主要是因為耦合強(qiáng)度σAB相對于σBA并不是足夠大，進(jìn)而導(dǎo)致激光器LDB1的輸出無法被激光器LDA1完全鎖定。

圖8 激光器LDA1和LDB1在(a), (b)注入鎖定條件下的光譜，激光器耦合強(qiáng)度和頻率失諧設(shè)置為σAB=0.6，σBA=0.02，Δυ=-1 GHz以及(c), (d)非注入鎖定條件下的光譜，激光器耦合強(qiáng)度和頻率失諧設(shè)置為σAB=0.6，σBA=0.2，Δυ=-1 GHzFig.8 Optical spectra of (a) LDA1, (b) LDB1 in the injection-locking region with parameters of σAB=0.6, σBA=0.02, Δυ=-1 GHz, and optical spectra of (c) LDA1, (d) LDB1 in the injection-unlocking region with parameters of σAB=0.6, σBA=0.2, Δυ=-1 GHz

本文研究了在對稱耦合和非對稱耦合方式下，混沌半導(dǎo)體激光器環(huán)系統(tǒng)的組間同步特性。數(shù)值研究結(jié)果表明，在對稱耦合方式下組間同步呈現(xiàn)飽和狀，其同步系數(shù)穩(wěn)定于0.8～0.9.在非對稱耦合方式下，組間同步系數(shù)可被提高至0.9以上，且最大值可達(dá)0.98.此外，該高質(zhì)量組間同步的參數(shù)調(diào)節(jié)范圍可達(dá)數(shù)十吉赫茲.分析表明，這是由組間激光器非對稱耦合導(dǎo)致的注入鎖定效應(yīng)引起的。受益于該效應(yīng)，環(huán)形激光器網(wǎng)絡(luò)的整體同步性能得到了大幅提高，這將助益于其在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用。