于濤 王益博 孫漢旭 趙偉

摘要：針對受擾球形移動機(jī)器人的直線運(yùn)動控制問題，提出一種基于滑模干擾觀測器和雙冪次趨近律的分層滑?？刂品椒āＴ摽刂品椒ɡ没８蓴_觀測器對未知擾動進(jìn)行在線估計(jì)，并且采用基于滑模干擾觀測器的分層滑模控制器實(shí)現(xiàn)被控機(jī)器人系統(tǒng)的連續(xù)魯棒控制。首先設(shè)計(jì)被控系統(tǒng)的第一層和第二層滑動變量，然后基于第一層滑動變量定義系統(tǒng)的輔助滑動變量?；谒x的輔助滑動變量設(shè)計(jì)滑模干擾觀測器，然后基于所設(shè)計(jì)的滑模干擾觀測器和第二層滑動變量，采用改進(jìn)的雙冪次趨近律設(shè)計(jì)分層滑?？刂破?。從理論上分析所設(shè)計(jì)的分層滑?？刂破髯饔孟麻]環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提控制方法的有效性。

關(guān)鍵詞：球形機(jī)器人;直線運(yùn)動;分層滑?？刂?干擾觀測器;雙冪次趨近律

中圖分類號：TP273 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-5124（2019）09-0123-07

收稿日期：2018-10-10;收到修改稿日期：2018-11-23

基金項(xiàng)目：遼寧省自然科學(xué)基金指導(dǎo)計(jì)劃項(xiàng)目（201602379）;遼寧省教育廳科學(xué)技術(shù)研究一般項(xiàng)目（L2015241）

作者簡介：于濤（1980-），男，天津市人，講師，博士，研究方向?yàn)闄C(jī)器人運(yùn)動分析與控制、滑?？刂评碚撆c應(yīng)用。

0 引言

隨著科技發(fā)展，移動機(jī)器人在不同的應(yīng)用領(lǐng)域中發(fā)揮著日益重要的作用。球形移動機(jī)器人是一種具有球形外殼，并且通過滾動方式穿越地表環(huán)境的移動機(jī)器人。球形機(jī)器人移動時不需要借助任何可見的外部驅(qū)動，而且在工作空間中滾動時必須服從球——平面非完整約束。因此，球形移動機(jī)器人需要采用相對新穎的運(yùn)動機(jī)構(gòu)、巧妙復(fù)雜的動態(tài)分析方法和先進(jìn)的控制算法[1-3]。球形外殼賦予球形移動機(jī)器人耐用、不會傾倒、與外界環(huán)境完全隔離的優(yōu)點(diǎn)，在巡邏監(jiān)視[4]、外星探測[5]、環(huán)境監(jiān)測[6]、水下作業(yè)[7]，甚至兒童教育[8]等方面球形移動機(jī)器人都有著廣泛的應(yīng)用。

球形移動機(jī)器人在工作空間內(nèi)的滾動模式可以分為二維平面滾動模式和三維空間滾動模式。在二維平面滾動模式下，球形移動機(jī)器人進(jìn)行典型的直線運(yùn)動。從球形移動機(jī)器人直線運(yùn)動控制方法的研究現(xiàn)狀[9-14]來看，大部分現(xiàn)有方法[9-13]采用被控對象的標(biāo)稱模型[9-11]或標(biāo)稱模型的線性化模型[12-13]來設(shè)計(jì)控制器;但由于實(shí)際對象中不可避免地存在著很多無法用數(shù)學(xué)模型精確描述的不確定性，并且在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時忽略了這些不確定性對控制性能的不良影響，導(dǎo)致基于上述方法[9-13]的控制器在實(shí)際中很難實(shí)現(xiàn)預(yù)期的性能品質(zhì)。由此可知，球形移動機(jī)器人直線運(yùn)動的魯棒控制問題是目前該領(lǐng)域中亟待解決的重要問題之一。

針對球形移動機(jī)器人直線運(yùn)動的魯棒控制問題，本文設(shè)計(jì)一種基于滑模干擾觀測器和雙冪次趨近律的分層滑模控制器。具體而言，首先基于第一層滑動變量設(shè)計(jì)球殼和單擺子系統(tǒng)的滑模干擾觀測器，然后提出一種改進(jìn)的雙冪次趨近律以使第二層滑動變量快速收斂于零，最后基于改進(jìn)的雙冪次趨近律和滑模干擾觀測器設(shè)計(jì)連續(xù)的分層滑?？刂破?。并通過理論分析與仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的分層滑?？刂破鞔_保閉環(huán)控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。I球形機(jī)器人直線運(yùn)動的動力學(xué)模型

LGQ-I型三驅(qū)動球形機(jī)器人的三維模型如圖1所示，其本體結(jié)構(gòu)主要包括球殼、內(nèi)框、單擺和直流電機(jī)。與BYQ-XII型三驅(qū)動球形機(jī)器人[14]相比，LGQ-I型三驅(qū)動球形機(jī)器人內(nèi)框的尺寸和質(zhì)量較小，而單擺的質(zhì)量和擺桿的長度較大。因此，LGQ-I型三驅(qū)動球形機(jī)器人的單擺質(zhì)量相對總體質(zhì)量的占比很高，因而能夠提供較大的偏心力矩，可以實(shí)現(xiàn)更迅速、更靈活的滾動運(yùn)動。

當(dāng)球殼內(nèi)的長軸電機(jī)帶動內(nèi)框和單擺相對球殼轉(zhuǎn)動時，球形機(jī)器人能夠進(jìn)行向前或向后的直線滾動。當(dāng)軌道電機(jī)帶動內(nèi)框和單擺相對球殼轉(zhuǎn)動時，球形機(jī)器人能夠完成原地轉(zhuǎn)向動作。當(dāng)短軸電機(jī)帶動單擺相對內(nèi)框轉(zhuǎn)動時，球形機(jī)器人能夠在進(jìn)行滾動運(yùn)動時向左或向右轉(zhuǎn)向。由此可見，LGQ-I型三驅(qū)動球形機(jī)器人具有一定的容錯能力。當(dāng)短軸電機(jī)或軌道電機(jī)出現(xiàn)故障時，球形機(jī)器人仍能實(shí)現(xiàn)全方位的滾動運(yùn)動。

LGQ-I型三驅(qū)動球形機(jī)器人直線運(yùn)動的簡化模型如圖2所示，在長軸電機(jī)輸出力矩：的作用下，球形機(jī)器人在XOZ平面內(nèi)滾動。其中，球殼的質(zhì)量為m₁，內(nèi)框的質(zhì)量為m₂，單擺的質(zhì)量為m₃，球殼的半徑為r，單擺的擺桿長度為l，內(nèi)框的轉(zhuǎn)動慣量為I，球殼的滾動角度為θ，球心的水平位移為x，單擺的擺動角度為φ。

基于拉格朗日法建立球形移動機(jī)器人直線運(yùn)動的動力學(xué)模型，球形機(jī)器人系統(tǒng)的動能U為其中M=m₁+m₂+m₃，J=m₃l²+I。

球形機(jī)器人系統(tǒng)的勢能V為

V=-m₃9lcosφ（2）

利用含耗散函數(shù)的拉格朗日方程，由式（1）和式（2）可得球形移動機(jī)器人直線運(yùn)動的運(yùn)動方程為其中μ為粘滯摩擦系數(shù);g為重力加速度。

假設(shè)球殼在地面滾動時不打滑，則有如下關(guān)系式成立：

θ=x/r θ=x/r（4）

將式砰）代入式（3），可得球形移動機(jī)器人直線運(yùn)動的動力學(xué)模型為

M（q）q+N（q，q）=Fτ（5）

式中：

由動力學(xué)模型式（5），可得直線運(yùn)動時球形機(jī)器人系統(tǒng)的非完整約束條件為

式中：

將球形移動機(jī)器人直線運(yùn)動的動力學(xué)模型式（5）表示成如下形式：式中d₁（t）和d₂（t）表示包含外部干擾和模型不確定性的未知擾動。不失一般性，假設(shè)未知擾動dl₁t）和d₂（t）有界，即存在正常數(shù)L₁和L₂，使得|d₁（t）|≤L₁，|d₂（t）|≤L₂;f₁（x，φ，φ），f₂（x，φ，φ），b₁（φ），b₂（φ）的表達(dá)式分別為

2 基于干擾觀測器的分層滑?？刂?/p>

2.1 問題描述

對于球形移動機(jī)器人，其直線運(yùn)動的控制目標(biāo)是：通過合理地設(shè)計(jì)控制律τ（t），使球心位置x（t）和單擺擺角φ（t）分別收斂至各自的期望值x_ref（t）和φ_ref（t）。不失一般性，假設(shè)球心和單擺擺角的期望軌跡x_ref（t）和φ_ref（t）關(guān)于時間t二階可導(dǎo)。根據(jù)被控機(jī)器人系統(tǒng)的控制目標(biāo)，分別設(shè)計(jì)球殼子系統(tǒng)和單擺子系統(tǒng)的第一層滑動變量s₁（t）和s₂（t）為k2>0。

注1：由于球心的運(yùn)動軌跡x（t）和單擺擺角的運(yùn)動軌跡φ（t）滿足約束條件式（6），當(dāng)給定球心的期望軌跡x_ref（t）時，可由式（6）相應(yīng)地求得單擺擺角的期望軌跡φ_ref（t）。特別地，當(dāng)球形移動機(jī)器人在地面上保持靜止或勻速前進(jìn)時，即在球形移動機(jī)器人直線運(yùn)動的位置控制問題或速度控制問題中，由式（6）可以推得單擺擺角的期望值為_ref=0。

由式（7）和式（8），進(jìn)一步可得s₁（t）和s₂（t）為

s₁（t）=h₁+b₁τ+d₁s₂（t）=h₂+b₂τ+d₂（9）式中h₁=f₁+k₁ex-x_ref，h₂=f₂+k₂eφ-φ_ref。

基于所設(shè)計(jì)的第一層各滑動變量s₁（t）和s₂（t），進(jìn)一步定義第二層滑動變量s₃（t）為

s₃（t）=c₁·s₁（t）+c₂·s₂（t）（10）式中c₁>0，c₂>0。

對式（10）求導(dǎo)并由式（9），可得s₃（t）為

s₃（t）=c₁s₁+c₂s₂=h₃+b₃τ+c₁d₁+c₂d₂（11）式中h₃=c₁h₁+c₂h₂，b₃=c₁b₁+c₂b₂。

至此，球形移動機(jī)器人直線運(yùn)動的控制目標(biāo)轉(zhuǎn)化為：在被控機(jī)器人系統(tǒng)式（7）存在未知擾動d₁（t）和d₂（t）的條件下，通過合理地設(shè)計(jì)控制τ（t）使式（11）所示的第二層滑動變量s₃（t）→0。

2.2 滑模干擾觀測器設(shè)計(jì)

首先采用滑模干擾觀測器對未知擾動dl（t）和d₂（t）進(jìn)行在線估計(jì)，然后在此基礎(chǔ)上采用雙冪次趨近律設(shè)計(jì)分層滑?？刂破饕源_?；瑒幼兞縮₃（t）快速趨近于零。

定義輔助滑動變量σ₁（t）和σ₂（t）為

σ_i（t）=s_i（t）+z_i（t），z_i（t）=-h_i-b_iτ-u_i，i=1，2

（12）式中z_i為滑模干擾觀測器i的內(nèi)部變量，u_i為待設(shè)計(jì)的滑模干擾觀測器i的注入項(xiàng)。

由式（9）和式（12），可以得到

σ_i（t）=s_i+z_i=d_i-u_i（13）

基于式（13）所示的輔助滑動變量σ_i（t）的動態(tài)方程，設(shè)計(jì)滑模干擾觀測器i的注入項(xiàng)u_i（t）為

u_i（t）=ε_isign（σ_i），ε_i=L_i+ρ_i（14）式中ρ_i>0。很容易證明[15]，采用式（14）所示的滑模干擾觀測器注入項(xiàng)u_i（t），輔助滑動變量σ_i（t）能夠在有限時間t_ri≤|σ_i（0）|/ρ_i內(nèi)收斂于零。

設(shè)滑模干擾觀測器i的注入項(xiàng)u_i（t）的等效控制為u_eq，i（t）。由等效控制原理和式（13）可知：在輔助滑動面σ_i（t）=0上，等效控制u_eq，i（t）能夠準(zhǔn)確估計(jì)未知擾動d_i（t），即u_eq，i（t）=d_i（t），■t≥t_r，i。

實(shí)際中，采用干擾觀測器注入項(xiàng)u_i（t）的一階低通濾波平均值來計(jì)算其等效控制u_eq，i（t），即

γ_iu_eq，i（t）+u_eq，i（t）=u_i（t）（15）式中γ_i>0。

在式（15）中，選取很小的濾波時間常數(shù)γ_i，可使實(shí)際等效控制u_eq，i（t）足夠準(zhǔn)確地逼近理想等效控制u_eq，i（t）a因此滑模干擾觀測器t可以通過式（15）所示的注入項(xiàng)等效控制u_eq，i（t）對未知擾動d_i（t）進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)，即：

u_eq，i（t）=d_i（t），■t≥t_r，i（16）

2.3 分層滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

記t_r3=max（t_r1，t_r2）。由式（11）和式（16），可以得到：

s₃（t）=h₃+b₃τ+c₁u_eq1+c₂h_eq2，■t≥t_r3（17）

為使第二層滑動變量s₃（t）快速收斂于零，本文提出一種改進(jìn)的雙冪次趨近律，然后基于改進(jìn)的雙冪次趨近律設(shè)計(jì)分層滑模控制器。

基于文獻(xiàn)[16]提出的雙冪次趨近律，設(shè)計(jì)改進(jìn)的雙冪次趨近律為式中λ₁>0，λ₂>0，λ₃>0，α>1，0<β<1。

注2：在改進(jìn)的雙冪次趨近律式（18）中，前2項(xiàng)為冪次趨近項(xiàng)，第3項(xiàng)為指數(shù)趨近項(xiàng)。如果不考慮控制增益A_i的影響，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑動面S3=0（即|s₃|>1）時，第1項(xiàng)起主導(dǎo)作用;當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近滑動面S3=0（即|s₃|<1）時，第2項(xiàng)起主導(dǎo)作用;在系統(tǒng)狀態(tài)的趨近過程中，第3項(xiàng)的作用始終介于第1項(xiàng)和第2項(xiàng)之間。由此可見，改進(jìn)后的雙冪次趨近律具有更快的趨近速度。由s₃=|s₃|sign（s₃）可見，指數(shù)趨近項(xiàng)-λ₃s₃實(shí)際上是冪指數(shù)為1的冪次趨近項(xiàng)。由此可知，改進(jìn)的雙冪次趨近律式（18）實(shí)際上是一種特殊的三冪次趨近律。

由式（17）和式（1g），可得分層滑模控制器為

2.4 穩(wěn)定性分析

分析1;對于式（7）所示的球形機(jī)器人系統(tǒng)，按式（8）和式（10）設(shè)計(jì)各層滑動變量，并按式（12）和式（14）設(shè)計(jì)滑模干擾觀測器，如果采用式（19）所示的分層滑?？刂破?，那么第二層滑動變量s₃（t）及其導(dǎo)數(shù)s₃（t）能夠在有限時間內(nèi)收斂于零。

證明：將控制律式（19）代入式（11），可以得到

為便于分析，將第二層滑動變量s₃（t）的收斂過程分為兩個階段。第1階段為輔助滑動變量σ_i（t）的收斂階段（0r3

分析2：對于式（7）所示的球形機(jī)器人系統(tǒng)，按式（8）和式（10）設(shè)計(jì)各層滑動變量，并按式（12）和式（14）設(shè)計(jì)滑模干擾觀測器，如果采用式（19）所示的分層滑?？刂破?，那么第一層滑動變量s₁（t）和s₂（t）漸近收斂于零。

對于按式（8）設(shè)計(jì)的第一層各滑動變量，由文獻(xiàn)[18]定理4.2的證明可知，在分層滑?？刂破魇剑?9）的作用下，滑動變量s₁（t）和s₂（t）漸近收斂于零，即

3 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文提出的控制方法的有效性，利用Matlab/Simulmk仿真環(huán)境進(jìn)行球形移動機(jī)器人直線運(yùn)動的速度控制實(shí)驗(yàn)。LGQ-1型三驅(qū)動球形機(jī)器人的各參數(shù)分別為：m₁=1.45 kg，m₂=0.65kg，m₃=3.5kg，r=0.15m，1=7.63×10^-4kg·m²，l=0.107m，μ=0.02N·m/（rad/s）。

設(shè)球形移動機(jī)器人的初始狀態(tài)為：x（0）=0，x（0）=0，φ（0）=0，φ（0）=0。設(shè)球形移動機(jī)器人的期望速度為x_ref=1m/s，相應(yīng)地選取球心的期望軌跡為x_ref（t）=t，單擺擺角的期望值為φ_ref=0。仿真實(shí)驗(yàn)中，重力加速度取為g=9.81m/s²，長軸電機(jī)的最大輸出力矩設(shè)為|τ|_max=3.7N·m。設(shè)仿真時間為T=6s，采樣時間為t_s=0.001s。

為檢驗(yàn)本文提出的控制方法的控制性能和魯棒性，假設(shè)實(shí)際球形機(jī)器人帶有10%的參數(shù)不確定性，在此基礎(chǔ)上與文獻(xiàn)[14]提出的控制方法進(jìn)行對比分析。將文獻(xiàn)[14]提出的控制方法應(yīng)用于直線運(yùn)動的速度控制問題時，需要將球形移動機(jī)器人的期望軌跡y_d和滑動面s₁的等效控制τ_eq1相應(yīng)地修改為

為確保兩種控制方法均能提供最優(yōu)的控制性能，對基于兩種控制方法的控制器各參數(shù)進(jìn)行充分整定。在進(jìn)行仿真對比時，基于本文方法的控制器各參數(shù)分別為：k₁=0.64，k₂=5.9，c₁=7.1，c₂=2.6，ε₁=6.5，ε₂=28，λ₁=7.4，λ₂=9.2，λ₃=9.4，α=1.5，β=0.5?；谖墨I(xiàn)[14]方法的控制器各參數(shù)分別為：λ₁=1.1，λ₂=7.5，α₁=7.1，α₂=1.6，ω（0）=2.3，σ=0.4，φ=0.1，k=8.3。

基于本文方法的控制器的控制效果如圖3至圖5所示。圖3為球心速度、單擺擺角和長軸電機(jī)輸出力矩的變化曲線，可見在基于本文方法的連續(xù)分層滑?？刂破魇剑?9）作用下，球心速度和單擺擺角分別于3.122s和3.039s收斂至各自的期望值。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法能夠有效實(shí)現(xiàn)球形移動機(jī)器人直線運(yùn)動的連續(xù)魯棒控制。圖4和圖5分別為各輔助滑動變量和各層滑動變量的變化曲線，可見各滑動變量均能快速地收斂于零。具體而言，由圖4可見輔助滑動變量的整體收斂時間為t_r3=0.149s，進(jìn)而由式（22）可知第二層滑動變量的收斂時間估計(jì)為t_r4<0.637s;又圖5可見第二層滑動變量的實(shí)際收斂時間為t_r4=0.622s。由此可知，第二層滑動變量的實(shí)際收斂時間t_r4與式（23）所示的估算結(jié)果是相符的。

基于文獻(xiàn)[14]方法的控制器的控制效果如圖6所示。可以看出，在基于文獻(xiàn)[14]方法的控制器作用下，球心速度和單擺擺角分別于3.48s和2.891s收斂至各自的期望值。需要指出的是，雖然兩種控制方法均能實(shí)現(xiàn)被控球形機(jī)器人系統(tǒng)的連續(xù)魯棒控制，但本文方法采用的是連續(xù)的控制律，而文獻(xiàn)[14]方法采用的是連續(xù)化的控制律，這也是兩種控制方法的重要區(qū)別之一。此外，由仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可見：當(dāng)球心速度趨于穩(wěn)定后，長軸電機(jī)仍需提供一定的平衡力矩以補(bǔ)償內(nèi)框與球殼之間的粘滯摩擦力。由動力學(xué)模型式（5）可以推得，長軸電機(jī)輸出的平衡力矩為τ_SS=μx_ref/r?？紤]到參數(shù)不確定性的影響，由上式可以求得長軸電機(jī)實(shí)際輸出的平衡力矩為τ_SS=0.133N·m，所得結(jié)果與仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一致的。

為評價球形機(jī)器人速度控制器的控制性能，分別定義球心速度平均跟蹤誤差E（x）和單擺擺角平均跟蹤誤差E（φ）為式中n為采樣點(diǎn)個數(shù)，t_i為第i個采樣時間點(diǎn)。

由式（25）可以分別求得在基于本文方法的控制器作用下和基于文獻(xiàn)[14]方法的控制器作用下，球心速度平均跟蹤誤差E（x）和單擺擺角平均跟蹤誤差E（φ）。以上兩種控制器作用下，各性能指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果如表1所示。

由表可以看出，相較于基于文獻(xiàn)[14]方法的控制器，在基于本文方法的控制器作用下，球心速度平均跟蹤誤差E（t）和單擺擺角平均跟蹤誤差E（φ）均較小。性能指標(biāo)E（x）和E（φ）的對比結(jié)果表明，基于本文方法的控制器具有較好的控制性能。

4 結(jié)束語

本文探討了帶有未知擾動的球形移動機(jī)器人的直線運(yùn)動控制問題，提出一種基于滑模干擾觀測器和改進(jìn)的雙冪次趨近律的分層滑?？刂品椒?。本文提出的控制方法利用干擾觀測器注入項(xiàng)的等效控制對被控機(jī)器人系統(tǒng)的未知擾動進(jìn)行在線估計(jì)，并且采用基于干擾觀測器注入項(xiàng)的等效控制和改進(jìn)的雙冪次趨近律的連續(xù)分層滑?？刂破鲗?shí)現(xiàn)被控機(jī)器人系統(tǒng)的快速穩(wěn)定。從理論上證明了各輔助滑動變量和各層滑動變量的收斂性，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文設(shè)計(jì)的分層滑?？刂破髂軌蛱峁┝己玫目刂菩阅芎汪敯粜浴?/p>

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（編輯：莫婕）