高楊 張大鵬 劉婷婷

摘要：薄膜體聲波諧振器（FBAR）力學(xué)傳感器有很大的應(yīng)用潛力，但其敏感機(jī)理應(yīng)力負(fù)載效應(yīng)尚不能被準(zhǔn)確描述。為準(zhǔn)確描述應(yīng)力負(fù)載效應(yīng)，預(yù)測(cè)FBAR力學(xué)傳感器的頻率靈敏度，提出一種攝動(dòng)與有限元聯(lián)合求解方法，并利用該方法計(jì)算FBAR微加速度計(jì)的頻率一加速度靈敏度。首先，在COMSOL有限元軟件中計(jì)算FBAR微加速度計(jì)在加速度下其壓電層AIN的平均偏置應(yīng)力;接著，在COMSOL中計(jì)算單個(gè)FBAR的諧振頻率與相應(yīng)的振型;最后，將有限元的計(jì)算數(shù)據(jù)和AIN的材料常數(shù)代入攝動(dòng)積分公式中，得到FBAR微加速度計(jì)的頻率一加速度靈敏度約為-98.879kHz/g，與文獻(xiàn)報(bào)道的實(shí)驗(yàn)結(jié)果-100kHz/g相吻合，驗(yàn)證方法的可行性。

關(guān)鍵詞：微加速度計(jì);薄膜體聲波諧振器;頻率偏移;攝動(dòng);有限元

中圖分類(lèi)號(hào)：TP212.1;TB931 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-5124（2019）09-0001-05

收稿日期：2019-02-21;收到修改稿日期：2019-04-25

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（61574131）;四川省教育廳資助科研項(xiàng)目（17ZA0402）

作者簡(jiǎn)介：高楊（1972-），男，四川綿陽(yáng)市人，研究員，博士，研究方向?yàn)镸EMS（微電子機(jī)械系統(tǒng)）。

0 引言

隨著移動(dòng)通信技術(shù)的發(fā)展，薄膜體聲波諧振器（thin film bulk acoustic wave resonator，F(xiàn)BAR）便以其高Q值、小體積、可集成化等特點(diǎn)，在射頻濾波器應(yīng)用中得到了飛速發(fā)展。在傳感檢測(cè)應(yīng)用中FBAR也表現(xiàn)出了很大的潛力[1]，比如生物化學(xué)檢測(cè)[2-3]、力學(xué)檢測(cè)[4-5]。用于生物化學(xué)檢測(cè)的FBAR傳感器依賴于FBAR的質(zhì)量負(fù)載效應(yīng)，其靈敏度的預(yù)測(cè)方法由Sauerbrey方程[6]給出。FBAR力學(xué)傳感器目前主要采用實(shí)驗(yàn)測(cè)試[4，7-9]的方法，其敏感機(jī)理并未被深入研究，且靈敏度的預(yù)測(cè)方法報(bào)道較少。1996年Kosinski[10]在研究晶體諧振器由加速度導(dǎo)致的頻率偏移時(shí)，將其敏感機(jī)理總結(jié)為波速的變化和結(jié)構(gòu)尺寸的變化，前者主要是壓電體非線性彈性行為，后者主要是線性機(jī)械行為。2005年Weber等[11]對(duì)FBAR的敏感機(jī)理進(jìn)行進(jìn)一步探索，涉及壓電薄膜厚度的變化、壓電薄膜密度的變化和壓電薄膜彈性常數(shù)的變化。2007年Campanella等[12]提出FBAR的敏感機(jī)理可能是電極化效應(yīng)。2017年趙俊武[13]總結(jié)了FBAR力傳感器的敏感機(jī)理為FBAR的幾何結(jié)構(gòu)的改變和FBAR材料性質(zhì)的改變，并類(lèi)比于質(zhì)量負(fù)載效應(yīng)，將FBAR在受到外界應(yīng)力或應(yīng)變作用時(shí)諧振頻率發(fā)生偏移的現(xiàn)象命名為應(yīng)力負(fù)載效應(yīng)。2018年文獻(xiàn)[14]驗(yàn)證了在應(yīng)力負(fù)載效應(yīng)中，電極化效應(yīng)對(duì)諧振頻率的影響是可以忽略的。在FBAR應(yīng)力負(fù)載效應(yīng)中主要是聲速的變化，而聲速的變化主要是由壓電薄膜彈性常數(shù)的變化引起的。壓電薄膜彈性常數(shù)的變化是非線性彈性行為，可以通過(guò)攝動(dòng)積分公式來(lái)描述。

本文利用攝動(dòng)與有限元聯(lián)合求解的方法，計(jì)算了文獻(xiàn)[7]報(bào)道的一種FBAR微加速度計(jì)的頻率靈敏度，并將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)報(bào)道的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的可行性。

1 方法

1.1 攝動(dòng)積分法

1978年Tiersten[15]給出了攝動(dòng)積分公式，并利用該公式研究了溫度對(duì)諧振器的影響[16-17]。之后Kosinski[18]將攝動(dòng)與結(jié)構(gòu)理論相結(jié)合，研究了石英晶體諧振器的加速度靈敏度。攝動(dòng)法是擾動(dòng)介質(zhì)的非線性模型和彈性波機(jī)械性質(zhì)變分分析的結(jié)合[19]，對(duì)于純彈性非線性的案例：式（1）ω和ω_μ分別為擾動(dòng)后和擾動(dòng)前壓電諧振器的諧振角頻率，△_μ表示諧振角頻率的變化，下標(biāo)μ表示第μ個(gè)特征模態(tài)。式（2）H_μ的娜由式（3）給出。式（3）給出的積分公式看起來(lái)很復(fù)雜，但本質(zhì)上可以理解為：H_μ表示諧振器在振動(dòng)模態(tài)下隨空間變化的有效彈性常數(shù)的加權(quán)平均值，其權(quán)重因子由振動(dòng)模態(tài)的振型決定。g_γ^μ表示對(duì)振動(dòng)模態(tài)下實(shí)際位移u_γ^μ的歸一化振型，壓電體的體積為v上標(biāo)p同樣表示第μ個(gè)特征模態(tài)。cc_LγMα被稱為彈性常數(shù)的偏置系數(shù)，△c_LγMα為由偏場(chǎng)引起的彈性常數(shù)線性變化。式（4）N_μ飾為位移的歸一化系數(shù)。式（5）中ρ₀為壓電體的密度。式（6）中c_LγJM和c_LJMα分別為二階彈性勁度常數(shù)的不同分量（除非特別指出，后文將彈性勁度常數(shù)簡(jiǎn)稱為彈性常數(shù)），C_LγMαAB為三階彈性常數(shù)，s_αJKN、s_γJKN和SABKN分別為二階彈性順度常數(shù)的不同分量，δ_γα為Kronecker張量，T_KN¹表示壓電體受到擾動(dòng)從而產(chǎn)生的靜態(tài)偏置應(yīng)力。

若偏置應(yīng)力T_KN¹在壓電體內(nèi)分布是均勻的，可設(shè)材料輔因子k_LγMαKN和振動(dòng)模態(tài)因子U_LγMα分別為：

最后得到由擾動(dòng)引起的相對(duì)頻率偏移△μ/ωμ：

因此諧振器頻率一偏置應(yīng)力靈敏度Γ_KN可以寫(xiě)為

Γ_KN=k_LγMαKNU_LγMα（11）

1.2 攝動(dòng)與有限元的聯(lián)合求解

當(dāng)FBAR傳感器受外界載荷時(shí)，F(xiàn)BAR受限于安裝結(jié)構(gòu)而發(fā)生變形，此時(shí)FBAR內(nèi)產(chǎn)生偏置應(yīng)力，而偏置應(yīng)力的存在會(huì)導(dǎo)致壓電薄膜的彈性常數(shù)變化。一階攝動(dòng)積分公式有效地將含擾動(dòng)影響的復(fù)雜特征值問(wèn)題式分解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題：求解擾動(dòng)的應(yīng)力偏置和求解無(wú)擾動(dòng)時(shí)的振動(dòng)問(wèn)題。因此，采用攝動(dòng)與有限元聯(lián)合求解FBAR諧振頻率偏移，有限元軟件使用COMSOL Multiphysics軟件，具體步驟如下：

1）求解FBAR結(jié)構(gòu)的偏置應(yīng)力。在COMSOL中建立FBAR傳感器的結(jié)構(gòu)模型，加載外界載荷并利用穩(wěn)態(tài)分析，得到FBAR結(jié)構(gòu)的偏置應(yīng)力分布云圖。定義壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負(fù)。外界載荷可以是加速度、壓力或溫度。

2）計(jì)算FBAR壓電層的平均偏置應(yīng)力。采用平均偏置應(yīng)力可以簡(jiǎn)化計(jì)算，利用COMSOL中的體平均求解壓電層的平均偏置應(yīng)力，并擬合出外界載荷與平均偏置應(yīng)力的關(guān)系式。

3）求解FBAR的特征模態(tài)和特征頻率。一般FBAR傳感器結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，為簡(jiǎn)化計(jì)算，可以建立單個(gè)FBAR的結(jié)構(gòu)模型，結(jié)構(gòu)、尺寸和邊界條件均與傳感器中保持一致，定義FBAR壓電層為積分域，使用特征頻率分析，得到FBAR縱波模式所對(duì)應(yīng)的特征頻率和相應(yīng)的振型，并計(jì)算振動(dòng)模態(tài)因子U_LγMα。

4）計(jì)算頻率一偏置應(yīng)力靈敏度。根據(jù)壓電層的彈性常數(shù)和平均偏置應(yīng)力的方向，利用壓電材料（AIN）彈性常數(shù)與應(yīng)力的關(guān)系，得到的值，并計(jì)算材料輔因子k_LγMαKN。

5）計(jì)算FBAR傳感器的頻率靈敏度。將振動(dòng)模態(tài)因子和材料輔因子代入式（11）中，得到FBAR的頻率靈敏度，再利用擬合的外界載荷一平均偏置應(yīng)力的關(guān)系式，得到FBAR傳感器頻率一外界載荷的靈敏度。

2 案例計(jì)算

本算例的結(jié)構(gòu)模型來(lái)自于文獻(xiàn)[7]報(bào)道的一種FBAR微加速度計(jì)。文獻(xiàn)并沒(méi)有給出FBAR微加速度計(jì)的全部結(jié)構(gòu)參數(shù)，只給出了電極Pt的厚度為0.18μm，壓電層厚度為0.7～1μm，F(xiàn)BAR的面積為20×100μm²，諧振頻率約為2.7GHz，因此需要通過(guò)文獻(xiàn)中的掃描電鏡照片（SEM）估計(jì)FBAR微加速度計(jì)的其他結(jié)構(gòu)參數(shù)。FBAR微加速度計(jì)的結(jié)構(gòu)及尺寸如圖1所示，F(xiàn)BAR壓電層的厚度為0.7μm，4個(gè)支撐梁上的FBAR（底電極Pt-壓電層AIN-頂電極Pt）的厚度均為1.06μm。計(jì)算過(guò)程中所涉及的材料參數(shù)如表1所示，AIN的三階彈性常數(shù)[20]如表2所示，表中與后面的計(jì)算均使用縮寫(xiě)下標(biāo)表示。AIN共有10個(gè)獨(dú)立的三階彈性常數(shù)，其他三階彈性常數(shù)均可通過(guò)對(duì)稱關(guān)系[21]得到。

在COMSOL軟件中建立FBAR微加速度計(jì)的三維模型，并使用固體力學(xué)接口。支撐梁一端連接質(zhì)量塊，另一端固定，加速度a₃沿z軸負(fù)方向作用于質(zhì)量塊。利用穩(wěn)態(tài)分析，計(jì)算加速度a₃與FBAR偏置應(yīng)力的關(guān)系。當(dāng)加速度a₃=1g（9.8m/s²）時(shí)，F(xiàn)BAR的偏置應(yīng)力（von Mises應(yīng)力）分布云圖如圖2所示，圖中紅色虛線框內(nèi)FBAR部分為有源區(qū)，在有源區(qū)內(nèi)偏置應(yīng)力分布均勻，紅色箭頭表示主應(yīng)力方向，即有源區(qū)內(nèi)偏置應(yīng)力主要為沿x軸方向的拉應(yīng)力。其他方向（沿y軸方向和沿z軸方向）的應(yīng)力遠(yuǎn)小于沿x軸方向的應(yīng)力，因此可以忽略。利用穩(wěn)態(tài)分析中的參數(shù)化掃描，計(jì)算不同加速度下FBAR的偏置應(yīng)力。再利用體平均，得到有源區(qū)內(nèi)壓電層（AIN）沿x軸方向的平均偏置應(yīng)T₁¹（Pa）與加速度a₃（g）的關(guān)系，如圖3所示。其擬合關(guān)系式為：

T₁¹=432.47×10³×a₃（12）

接下來(lái)需要計(jì)算FBAR的諧振頻率和相應(yīng)的振型，為簡(jiǎn)化計(jì)算，只需要在COMSOL中建立單個(gè)FBAR的三維模型，其結(jié)構(gòu)、尺寸和邊界條件均與微加速度計(jì)中FBAR保持一致。利用COMSOL中的特征頻率分析求解FBAR的諧振頻率及其相對(duì)應(yīng)的振型，F(xiàn)BAR的厚度拉伸模態(tài)（縱波模式）的振型如圖4所示，其諧振頻率約為2.3634GHz。定義FBAR有源區(qū)內(nèi)的壓電層為積分域，利用體積分計(jì)算振動(dòng)模態(tài)因子。由于主要考慮的是縱波模式，因此只需要計(jì)算振動(dòng)模態(tài)因子U₃₃=0.01648ppm/kPa。

然后利用AIN的二階彈性常數(shù)，計(jì)算得到彈性順度常數(shù)s_ABLM。當(dāng)加速度沿z軸方向作用于微加速度計(jì)時(shí)，F(xiàn)BAR產(chǎn)生的偏置應(yīng)力主要是沿x軸方向的拉應(yīng)力，因此平均偏置應(yīng)力為沿x軸方向的拉應(yīng)力T₁¹。利用表3中AIN單軸應(yīng)力P_/與彈性常數(shù)c₃₃的關(guān)系[22]得到。將上述計(jì)算結(jié)果代入式（8）中，得到FBAR在縱波模式下受沿x軸方向的平均偏置應(yīng)力T₁¹時(shí)，材料輔因子k₃₃₁=-5.87。

最后將振動(dòng)模態(tài)因子U₃₃和材料輔因子k₃₃₁代入式（11）中，并利用平均偏置應(yīng)T₁¹叫與加速度a₃的擬合式，得到FBRA頻率-加速度靈敏度約為-98.879kHz/g。負(fù)號(hào)表示諧振頻率向下漂移。而文獻(xiàn)[7]中微加速度計(jì)受到沿z軸負(fù)方向的加速度時(shí)，F(xiàn)BAR的諧振頻率向下偏移。按本文的符號(hào)規(guī)定，文獻(xiàn)[7]報(bào)道的實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果應(yīng)為-100kHz/g。本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)報(bào)道的實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果一致。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種攝動(dòng)與有限元聯(lián)合求解的方法，結(jié)合FBAR微加速度的案例，預(yù)測(cè)了FBAR受到加速度時(shí)的頻率偏移。首先利用COMSOL中的穩(wěn)態(tài)分析，求解FBAR微加速度計(jì)在受到沿z軸負(fù)方向的加速度時(shí)FBAR的偏置應(yīng)力。再利用體平均得到壓電層AIN的平均偏置應(yīng)力，并建立平均偏置應(yīng)力與加速度的擬合關(guān)系式。之后利用COMSOL中的特征頻率分析，單獨(dú)求解FBAR的諧振頻率和相應(yīng)的振型，并利用體積分計(jì)算振動(dòng)模態(tài)因子。接著根據(jù)AIN平均偏置應(yīng)力的方向，利用AIN彈性常數(shù)與應(yīng)力的關(guān)系，計(jì)算材料輔因子。最后將振動(dòng)模態(tài)因子和材料輔因子代入攝動(dòng)積分公式，利用平均偏置應(yīng)力與加速度的擬合關(guān)系式，得到FBAR微加速度計(jì)的頻率-加速度靈敏度約為-98.879kHz/g，與文獻(xiàn)報(bào)道的頻率-加速度靈敏度-100kHz/g吻合，驗(yàn)證了攝動(dòng)與有限元聯(lián)合求解方法的可行性。

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（編輯：李剛）