張大朋，白 勇，章浩燕，朱克強

(1.浙江大學 建筑工程學院，杭州 310058；2.寧波大學 海運學院，寧波 315211)

有纜ROV(水下機器人)可以安全有效地到達海洋深水區(qū)域進行作業(yè)，是開展深?？碧降闹匾ぞ?。本文結合作者之前的研究成果[1]，對纜索三維幾何形態(tài)模型進行了研究。所用纜索三維動態(tài)偏微分方程模型為Albow模型[2]，通過對纜索動態(tài)偏微分方程在時間和空間上離散化處理，將無法確定纜索單元長度的問題轉化為纜索單元可確定問題，并采用有限差分法進行了求解，得到航行器直航狀態(tài)下纜索的幾何形態(tài)結果，以及回轉狀態(tài)時纜索的幾何形態(tài)結果。通過將計算結果與實驗值進行對比分析，發(fā)現(xiàn)計算結果基本在允許誤差范圍內，說明建立纜索動態(tài)模型對航行器運動狀態(tài)進行預測是可行的。這種計算模型不但可以避免聲納監(jiān)測橫搖速度及縱蕩速度的盲區(qū)問題，而且可以較為精確地預測航行器的運動[3]。

1 纜索的三維模型

1.1 三維模型坐標系建立

如圖1所示，建立三套坐標系，即地面坐標系(i,j,k)，纜索局部坐標系(τ,n,b)，航行器運動坐標系(iv,jv,kv)。

航行器的運動坐標系與地面坐標系之間的關系可表示為如下

(1)

式中：(φ，θ，ψ)分別為水下航行器的橫搖角、縱搖角和艏搖角。

纜索的局部坐標系與地面坐標系之間的關系可以用下式表示

(2)

纜索局部坐標系與航行器運動坐標系之間的關系為

圖1 三維模型坐標示意簡圖Fig.1 The schematic of the three-dimensional model

(3)

式中：(α，β)為如果讓整體坐標系與局部坐標系重合，由整體坐標系到纜索局部坐標系需要繞坐標軸旋轉的角度。

1.2 纜索三維模型動力方程

y(s,t)=[TVτVnVbαβ]T

(4)

方程(4)代表纜索的幾何形態(tài)，其中，t表示水下航行器運動時間，s表示弧長，T表示纜索內部張力，Vc=[VτVnVb]T表示纜索某點處的速度向量。因此，纜索的動態(tài)方程可以用以下偏微分方程表示

(5)

式中：ρ為流體密度，kg/m3；m是單位長度纜索的質量，kg/m；A是纜索未伸長前的橫截面積，m2；m1為單位長度纜索實際質量，m1=m+ρA，kg/m；wc為水中纜索單位長度的重量，N/m；e為1/EA；ct為切向拖曳力系數(shù)；cn為法向拖曳力系數(shù)；d為纜索拉伸后的直徑，m；J為局部坐標系下流體的順勢速度，J=[Jτ，Jn，Jb]T，m/s；U為纜索的相對速度，U=[UτUnUb]T，U=Vc-J，m/s。

1.3 纜索三維模型動力方程邊界條件

纜索與水下航行器連接端的三個邊界條件

Vc(0，t)=WT(α,β)R(φθψ)(V+Ω×rc)

(6)

由于岸上卷筒對纜索的作用力主要是切向力，因此卷筒與纜索連接端運動速度的法線方向和副法線方向的速度分量均為零，因此第四及第五個邊界條件如下所示

Vn(St，t)=0Vb(St，t)=0

(7)

卷筒與纜索連接端的第六個邊界條件表示為

(8)

1.4 纜索對航行器的作用力

初始時刻，拖點處航行器所受纜索的作用力及力矩為T(0,t),Γf(0,t)。航行器所受纜索作用力，在航行器運動坐標系中可以表示如下

(9)

拖點處航行器受纜索的作用力矩，在航行器動態(tài)坐標系中，纜索拖點處由纜索引起的力矩可以表示為

(10)

1.5 纜索三維模型求解過程

求解纜索的動態(tài)偏微分方程的數(shù)值方法有很多，由于本系統(tǒng)中纜索長度并非定值，而是受到滾筒和航行器的控制，隨著航行器的移動，纜索的浸水量在不斷變大。本文主要采用有限差分法進行求解，最后通過將計算結果與實驗結果及其他算法結果進行對比，來說明有限差分法對求解纜索動態(tài)偏微分方程的優(yōu)勢。

首先假設纜索的浸水初始長度為0，Sτ表示τ時刻纜索的長度。纜索的浸水總長的求解方程可以表示如下

(11)

t=k+1時刻，即將入水的纜索單元的近似動態(tài)偏微分方程，下面對纜索偏微分方程進行有限差分求解。

邊界條件

Vc(S0，tk+1)=WT(α(S0，tk+1)，β(S0，tk+1))R(φ,θ,ψ)(V+Ω×rc)

(12)

Vn(Sk+1,tk+1)=0

(13)

Vb(Sk+1,tk+1)=0

(14)

(15)

總結以上求解過程可知，運用有限差分法通過Matlab求解纜索三維動態(tài)方程的步驟總結如下：

(1)設定步長及計算總時間。

(2)設定計算的初始值，本文中初始時刻時，浸水纜索的長度為0，此刻，由于卷筒出纜端還未出纜，因此初始時刻卷筒出纜端與航行器連接端一致。由此，將代入纜索的初始形態(tài)即中求解。

(3)設定邊界條件，由于本文中所用纜索有兩個連接端，即纜索與水下航行器尾端的連接處(拖點)，以及纜索與岸上卷筒的連接端。因此，在求邊界條件時，兩個連接端的邊界條件都要考慮。

(4)確定每段纜索元的長度。

2 纜索三維模型案例分析

2.1 直航案例

本案例中所述纜索為輕質等浮力纜索，首端連接在航行器的尾部(作為拖點)，拖點在航行器運動坐標系中表示為rc=(-0.5，0，0)；尾端與卷筒相連(作為放纜端)，卷筒直徑約為0.2 m，并假設卷筒放纜端保持松弛狀態(tài)，即此處纜索張力為零，那么在放纜處，卷筒與纜索的滑動摩擦力產生的力矩為Γf=0。纜索的相關參數(shù)及流體的相關參數(shù)見表1。

表1 直航案例中纜索與流體參數(shù)表Tab.1 Parameters of cable and seawater

航行器前進過程中直航運動

u=1 ，v=w=0，p=q=r=0及θ=φ=ψ=0

(16)

拖點處纜索張力的大小隨St變化而變化，進一步分析，可以從浸水纜索總長得到關系式St=t。因此，拖點處纜索張力求解方程式可以近似表示為

(17)

2-a 直航情況下纜索內部張力變化圖2-b 直航情況下纜索幾何形態(tài)圖圖2 直航時的響應結果Fig.2 The dynamic response of the model during direct sailing

由圖2-a可知，在初始時刻，航行器拖點處的纜索張力為0，且張力大小隨著航行器運動時間推移呈線性增長趨勢。據此可推斷，航行器的驅動力在直航過程中，需要不斷增大，否則無法保持航行器勻速直航運動狀態(tài)。從張力的增長方式上看，直航情況下，拖點處纜索的張力隨時間推移線性增長，可以據此來求得一段時間內纜索內部最大張力，從而為拖曳過程中航行器直航時間、距離及升沉限制提供依據。同時，在設計有纜ROV系統(tǒng)時，應充分考慮纜索對航行器的動態(tài)影響，并根據直航過程中纜索的幾何形態(tài)來預測航行器的運動狀態(tài)，從而指導航行器作業(yè)。

觀察圖2-b可知，直航情況下，纜索的幾何形態(tài)y(Sk+1,tk+1)在X-Y-Z地面坐標系中近乎呈一條直線。這說明，在航行器以某一確定速度直航時，可保證纜索水下構型不發(fā)生彎扭及纏繞，而呈現(xiàn)近乎直線的狀態(tài)。

表2 回轉運動參數(shù)Tab.2 Parameters of the turning process

2.2 回轉案例

為了求得航行器回轉運動時，纜索的幾何形態(tài)。其中，纜索的具體參數(shù)、計算時所用時間步長及基本假設與直航情況相同。航行器回轉運動時的運動參數(shù)如表2所示。

圖3 回轉運動纜索形態(tài)俯視圖Fig.3 The configuration of the cable during turning process

數(shù)據來源回轉運動開始沉深(m)回轉運動終點沉深(m)絕對差值(m)最低沉深(m)實驗值10.0510.137.452.49有限差分模型11.9711.148.233.21

表3中的實驗值是將實驗測得的一系列數(shù)據求均值得到的。從表3與圖3中實驗值與模擬值的數(shù)據對比可以看出，運用有限差分模型得到的開始沉深、終點沉深及最低沉深與實驗值的誤差較小，均在有效范圍之內。由此可見，建立纜索回轉運動模型來預測航行器的運動，是有效的，避免了實時監(jiān)測過程中對橫搖及垂蕩速度監(jiān)測的盲區(qū)[4-6]。這里需要指出的是，由于升沉運動的方向使得其在升沉方向的附連水質量較大，這就導致其實驗時受到的水的阻尼力較大，因此也就導致了實驗值和有限差分模型計算出的最低沉深差別較大，除此之外，水的黏性也是造成沉深的實驗值和仿真值有一定差異的一個原因。如果對實驗中水流的相關參數(shù)進行進一步調整的話，可進一步減小誤差。

3 結論

根據計算結果可確定浸水纜索的幾何形態(tài)[7-14]， 這對實際的工程實踐有很強的指導意義。仿真結果告訴我們：

(1)在設計有纜ROV系統(tǒng)時，應充分考慮纜索對航行器的動態(tài)影響，并根據直航過程中纜索的幾何形態(tài)來預測航行器的運動狀態(tài)，從而指導航行器作業(yè)。

(2)在航行器以某一確定速度直航時，可保證纜索水下構型不發(fā)生彎扭及纏繞，而呈現(xiàn)近乎直線的狀態(tài)。

(3)由于浸水纜索的長度隨著時間推移在不斷增長，那么纜索單元的數(shù)目也將隨著拖曳時間的推移在不斷增多，所以無法單純地將纜索切分為定長度定數(shù)目的纜索單元。然而，目前由于有限差分法只能在確定每個纜索單元的長度后才能進行求解，因此，在采用有限差分法時，需要首先確定纜索元的長度。這也是本文的不足，后續(xù)將對本研究方法進行進一步優(yōu)化。