田文杰，陳福彬，佟 盟，馮 潔

（1.北京信息科技大學(xué)傳感器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100101；2.云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，昆明 650500）

石英晶體是一種高穩(wěn)定性的各向異性壓電材料，廣泛應(yīng)用于頻標(biāo)及數(shù)字化信息處理領(lǐng)域。由于石英晶體的各向異性，由石英晶體構(gòu)成的元件特性（如力敏特性、溫度特性等）與晶體的切割方式（即切型）密切相關(guān)，即石英晶體的切型及振動(dòng)模態(tài)與應(yīng)用領(lǐng)域相關(guān)[1-4]。在石英晶體力敏特性應(yīng)用領(lǐng)域常用的是AT 切。這種切型不僅有較好的力敏特性，而且有較寬的頻率溫度穩(wěn)定性，在石英數(shù)字式力傳感器及慣性器件開(kāi)發(fā)應(yīng)用領(lǐng)域倍受人們的關(guān)注[5]。但在傳統(tǒng)的基于兩個(gè)單電極石英諧振器配對(duì)使用的過(guò)程中，如何克服溫度特性引起的慢性漂移一直是石英力敏諧振器在應(yīng)用領(lǐng)域難于解決的瓶頸問(wèn)題[6-9]。因此，本文針對(duì)石英材料溫度特性及應(yīng)用環(huán)境因素對(duì)石英力敏特性應(yīng)用過(guò)程的干擾問(wèn)題，根據(jù)石英晶體的壓電效應(yīng)，在分析晶體諧振頻率與晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)上，用MATLAB 數(shù)值計(jì)算方法，計(jì)算了石英晶體薄圓片受徑向力作用時(shí)，晶片內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力數(shù)值變化及分布情況。根據(jù)晶體振動(dòng)的能陷理論、波在晶體中的傳播特性及力作用對(duì)晶體諧振頻率的影響，設(shè)計(jì)并制作了不同基頻及不同電極數(shù)的集成式石英力敏諧振器集群，并將同一晶體基片上的不同位置的諧振器的諧振頻率進(jìn)行差頻處理，以此抑制晶體材料因素對(duì)諧振頻率的干擾，再將得到的差頻信號(hào)進(jìn)行疊加處理，達(dá)到提高諧振器集群力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)的目的。

1 石英晶體的力敏感機(jī)理

石英晶體為SiO2，由于原子的特殊排列結(jié)構(gòu)，構(gòu)成了石英晶體的特殊性質(zhì)。這種性質(zhì)與晶體的軸向相關(guān)，軸向不同對(duì)應(yīng)的特性不同，此即石英晶體的各向異性特性。壓電特性是石英晶體最顯著的特性，也是石英元件得到廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)。

晶體的壓電特性體現(xiàn)了晶體應(yīng)力T、應(yīng)變S、電場(chǎng)E、電位移D之間的相互作用，這種關(guān)聯(lián)關(guān)系可用四類壓電方程來(lái)描述。壓電方程不同，對(duì)應(yīng)的變量及應(yīng)用領(lǐng)域不同。對(duì)于利用石英晶體壓電特性的力敏諧振器，晶體一般工作于高頻諧振狀態(tài)，壓電方程選應(yīng)變S和外加電場(chǎng)E為自變量，應(yīng)力T及電位移D為因變量。所以，壓電方程為

式中，c是彈性剛度常數(shù)，e是壓電應(yīng)力常數(shù)，ε為介電常數(shù)，et為e的轉(zhuǎn)置矩陣。

對(duì)于長(zhǎng)、寬、厚分別為a、b、d的大薄片石英晶體（a,b>>d），在電場(chǎng)激勵(lì)作用下，晶體諧振頻率[5]為

式中，m、n為奇實(shí)數(shù)，c55、c66為彈性剛度常數(shù)分量，ρ為晶體密度。由式(2)知，晶體諧振頻率主要由厚度、晶體密度及剛度常數(shù)分量決定。

當(dāng)晶體受力F（單位厚度上的力，量綱N·m-1）作用時(shí)，晶體的內(nèi)應(yīng)力將使結(jié)構(gòu)參數(shù)（c、d、ρ）產(chǎn)生微量變化，從而導(dǎo)致晶體的諧振頻率發(fā)生改變?chǔ)。由于石英晶體具有各向異性特性，晶體諧振頻率的變化Δf不僅與力作用F的大小有關(guān)，而且與力作用的方位（方向）ψ有關(guān)。它們之間的關(guān)系可用力靈敏度系數(shù)Sf(ψ)表示為

對(duì)于薄圓形晶片，在直徑方向施加徑向力F時(shí)，晶體內(nèi)P點(diǎn)的應(yīng)力與F間的關(guān)系可用如圖1所示的模型來(lái)描述。

圖1 徑向力作用下薄圓片晶體的應(yīng)力模型 Fig.1 Stress model of thin wafer under radial force

圖1中，xoz為力作用坐標(biāo)系，ox軸與力F共線；x0z0為晶體坐標(biāo)系。對(duì)于AT 切石英薄片，ox0軸為晶體的電軸，ψ為力作用方位角（即作用力方向與ox0軸的夾角）。在F的作用下，晶片內(nèi)P點(diǎn)產(chǎn)生的兩個(gè)分應(yīng)力σ1、σ2為

式中，λ、μ為由邊界及力平衡條件決定的參數(shù)（量綱N·m-1），α、β、γ、δ為由晶體彈性柔順常數(shù)張量矩陣元素決定的材料常數(shù)（無(wú)量綱。晶體彈性的各向異性就體現(xiàn)在這些材料參數(shù)上）。

對(duì)At 切石英晶體，

所以，晶片內(nèi)P點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)為兩個(gè)分應(yīng)力σ1、σ2之合。為簡(jiǎn)化方程需要，引入極坐標(biāo)系，并將P(r,θ)點(diǎn)的應(yīng)力σ1、σ2投影到r、θ方向即可得到極坐標(biāo)系下P點(diǎn)的正應(yīng)力σr、σθ及切應(yīng)力τrθ。

式中fr(R,θ)、fθ(R,θ)、f rθ(R,θ)為由邊界條件確定的附加補(bǔ)償函數(shù)（可由r=R時(shí)，晶體邊界自由，即σr(R,θ)= 0、σθ(R,θ)=0 及τr θ(R,θ)=0，反推求得）。

2 數(shù)值計(jì)算

晶體受徑向力作用時(shí)，內(nèi)部的應(yīng)力分布由式(5)進(jìn)行描述，但解析式極為復(fù)雜?？捎肕ATLAB 數(shù)值計(jì)算及ANSYS 有限元方法進(jìn)行模擬分析。

在徑向力作用下，對(duì)于AT 切石英薄圓片，可得到中心點(diǎn)P(0,0)的應(yīng)力σr(0,0)、σθ(0,0)、τrθ(0,0)與方位角ψ之間的解析式為：

式(6)可用圖2描述。

用MATLAB 數(shù)值計(jì)算軟件進(jìn)行空間應(yīng)力計(jì)算，可得到直觀的應(yīng)力分布三維圖。MATLAB 數(shù)值計(jì)算程序的編制方法如下：

1）設(shè)定結(jié)構(gòu)參數(shù)R及狀態(tài)量F、ψ；

2）根據(jù)晶體材料的柔順常數(shù)矩陣、晶體的切型及加力F、方位角ψ，計(jì)算得到材料參數(shù)α、β、γ、δ及對(duì)應(yīng)晶體切型的λ、μ；

3）根據(jù)式(4)(5)求出σr、σθ、τrθ。

圖2 圓片中心應(yīng)力與加力方位角的關(guān)系 Fig.2 Relationship between stress at center of wafer and azimuth angle of applied force

所以，對(duì)半徑R=7 mm 的AT 切石英晶體薄圓片，在徑向力F(=1 N)與x0軸方向的夾角即方位角為ψ時(shí)，用MATLAB 數(shù)值計(jì)算得到的應(yīng)力在xoz平面內(nèi)的分 布如表1所示。徑向力作用下，內(nèi)部應(yīng)力分布可近似用六次函數(shù)式描述。

晶體邊緣力作用點(diǎn)附近的應(yīng)力σr與加力方位角的關(guān)系如圖3所示，應(yīng)力的大小相對(duì)于ψ=90°即oz0軸對(duì)稱。因此，在徑向力作用下，薄圓形晶體片上的不同位置，其對(duì)應(yīng)的應(yīng)力變化差異較大。若在薄圓片上的不同位置設(shè)置諧振器時(shí)，相應(yīng)的力敏特性也將存在較大差異，而且與力作用方位存在密切的關(guān)系。

在徑向力作用下，同一晶片不同位置晶體應(yīng)力變化的ANSYS 有限元分析結(jié)果與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的諧振器的力靈敏度系數(shù)的關(guān)系研究參見(jiàn)文獻(xiàn)[10]所述。

圖3 徑向力（F=1 N,R =7 mm）作用下，晶體邊緣力作用點(diǎn)的σr 與ψ 的關(guān)系 Fig.3 Relationship between σr at wafer edge and the azimuth ψ under radial force (F=1 N,R =7 mm)

表1 徑向力（F=1 N，R =7 mm）作用下，應(yīng)力分布與加力方位角的關(guān)系 Tab.1 Relationship between stress distribution and azimuth under radial force (F=1 N,R =7 mm)

3 多電極諧振器集群結(jié)構(gòu)

在分析徑向力作用下石英晶片內(nèi)應(yīng)力分布的基礎(chǔ)上，以晶體表面為對(duì)稱面在晶片不同位置設(shè)立電極，以構(gòu)成多個(gè)獨(dú)立的諧振器。這些諧振器因在晶片上所處的位置不同，同一徑向力作用時(shí)，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力變化不同，因此，相應(yīng)的力靈敏度系數(shù)Sf也不同。若將各諧振器的諧振頻率彼此間進(jìn)行差頻處理，根據(jù)同基晶體諧振器諧振頻率信號(hào)的共模抑制原理，可抑制晶體材料因素對(duì)諧振頻率的影響，即得到的差頻信號(hào)中，力敏特性仍然存在，但材料的溫頻特性及工藝差異等因素引起的干擾得到了抑制[11]。這就是諧振器差頻應(yīng)用的基礎(chǔ)。據(jù)此設(shè)計(jì)的三電極、四電極、六電極諧振器結(jié)構(gòu)如圖4(a)(b)(c)所示，諧振器上下電極引線各自錯(cuò)位獨(dú)立，以避免引線對(duì)諧振器振動(dòng)模態(tài)的干擾。

圖4中，晶片直徑為14 mm，圖4(a)(b)對(duì)應(yīng)的三電極、四電極諧振器晶片厚度約為0.166 mm，圖4(c)六電極諧振器晶片厚度約為0.083mm。各諧振器電極中心位置均勻分布于與晶片同心、半徑為4 mm 的圓周上。諧振器的電極直徑?及電極引線寬度h分別為：三電極?=3 mm、h=1.2 mm，四電極?=3 mm、h=1.2 mm，六電極?=1 mm、h=0.5 mm。諧振器電極及電極引線可用Pt、Au、Cu、Al 等金屬材料，采用蒸鍍或沉積 的方法進(jìn)行制備。其中，以Au 為電極材料，采用蒸鍍方法得到的三電極、四電極、六電極諧振器實(shí)物圖片如圖5(a)(b)(c)所示（蒸鍍電極時(shí)，先用鉻Cr 打底，厚度200 ?，再鍍Au 2700 ?）。諧振器電極引線再用彈簧連線（圖5(d)所示）與激勵(lì)電路連接。

圖4 諧振器電極位置結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) Fig.4 Position design of resonator electrodes

圖5 諧振器實(shí)物圖片 Fig.5 Picture of resonator

4 諧振器的力敏特性

將不同位置的諧振器與對(duì)應(yīng)的激勵(lì)電路連接，并使各個(gè)諧振器獨(dú)立工作于基頻狀態(tài)，如圖6所示（諧振器采用晶體振蕩器模塊SM5009（系列）驅(qū)動(dòng)，電源選用高效線性穩(wěn)壓模塊AMS1117（系列），它們的工作溫度為-40℃～85℃，存儲(chǔ)溫度-65℃～150℃，溫度測(cè)試時(shí)可將負(fù)溫?cái)U(kuò)展到-55℃測(cè)量）。用實(shí)驗(yàn)室設(shè)計(jì)的徑向加力裝置，如圖7(b)，在砝碼托盤上通過(guò)加、減砝碼的方式在沿晶體的x軸方向（ψ= 0°）施加徑向力（為防止加力時(shí)晶片脆裂，在晶片與力作用點(diǎn)間墊一層厚約0.2 mm 的薄膜），并用Agilent-53132A 型數(shù)字式頻率計(jì)（10 位半）測(cè)量徑向力變化時(shí)對(duì)應(yīng)的諧振器諧振頻率，并計(jì)算頻率變化量，測(cè)試過(guò)程如圖7所示。得到的三電極、四電極、六電極諧振器集群的力敏特性關(guān)系如圖8(a)(b)(c)所示。

圖6 六電極激勵(lì)電路及力敏特性測(cè)試原理 Fig.6 Six-electrode excitation circuit and principle of force sensitive test

圖7 諧振器力敏特性實(shí)際測(cè)試過(guò)程示意圖 Fig.7 Diagram of testing process of resonator force sensitivity

圖8 多電極諧振器集群的力-頻敏感特性關(guān)系 Fig.8 Force-frequency sensing characteristics of multi-electrode resonator

由圖8(a)(b)(c)的力敏特性曲線可知，同一晶片不同位置的諧振器對(duì)應(yīng)的力靈敏度系數(shù)Sf差異較大，且諧振頻率為20 MHz 的諧振器比10 MHz 諧振器具有更高的力靈敏度系數(shù)。若將各諧振器的諧振頻率彼此間進(jìn)行差頻處理，則差頻信號(hào)中力敏特性仍然存在，而干擾因素將得到抑制。若將得到的多個(gè)差頻信號(hào)進(jìn)行疊加處理，則可有效地提高諧振器集群的力敏感特性，同時(shí)進(jìn)一步改善輸入-輸出線性關(guān)系。

5 頻率信號(hào)差頻及疊加融合

對(duì)圖4、圖5所示的諧振器集群結(jié)構(gòu)，用ki-j表示電極i與電極j對(duì)應(yīng)的諧振器的差頻的力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)（即變化的單位力所對(duì)應(yīng)的頻率變化量），kijl表示電極i、電極j、電極l之間彼此差頻后再疊加求和得到的力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)，則對(duì)圖4(a)、圖5(a)所示的10 MHz三電極諧振器集群結(jié)構(gòu)及圖8(a)對(duì)應(yīng)的力敏特性，在ψ= 0 時(shí)，可將P1與P2、P1與P3、P3與P2作差頻處理，其差頻信號(hào)對(duì)應(yīng)的力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)為k(P1－P2)≈250 Hz/N，k(P1－P3)≈130 Hz/N，k(P3－P2)≈120 Hz/N（將圖8中的加力砝碼換算為力，在北京地區(qū)1 克（g）砝碼對(duì)應(yīng)的力= 9.8015×10-3N）。若再將得到的三個(gè)差頻信號(hào)作疊加融合，則疊加信號(hào)的力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)k(123)可達(dá)到約500 Hz/N。

對(duì)圖4(b)、圖5(b)及圖8(b)所示的10 MHz 四電極諧振器集群及力敏特性，在ψ= 0 時(shí)，可將差異較大的P1與P2、P4，P3與P2、P4進(jìn)行差頻處理，對(duì)應(yīng)的力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)k(P1－P2)≈170 Hz/N，k(P1－P4)≈174 Hz/N，k(P3－P2)≈177 Hz/N，k(P3－P4)≈180 Hz/N。若再將k(P1－P2)、k(P1－P4)、k(P3－P2)、k(P3－P4)作疊加融合，則疊加信號(hào)的力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)k(1234)可達(dá)到約701 Hz/N。

對(duì)圖4(c)、圖5(c)及圖8(c)所示的20 MHz 六電極諧振器集群及力敏特性，在ψ= 0 時(shí)，用同樣的方法，將差異較大的P1與P2、P3、P5、P6，P4與P2、P3、P5、P6，P2、P5與P6進(jìn)行差頻處理，其對(duì)應(yīng)的力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)為：

若將所得結(jié)果再進(jìn)行疊加求和，則最終疊加信號(hào)的力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)k(123456)可達(dá)到8655.8 Hz/N。

由以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果得，對(duì)同基多電極石英力敏諧振器，采用差頻及差頻信號(hào)疊加方法，可有效提升諧振器最終頻率信號(hào)的力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)。在允許的情況下，同一基片集成的諧振器的數(shù)量越多，可選擇的差頻配對(duì)形式越多，再經(jīng)疊加求和后對(duì)諧振器集群整體的力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)的提升效果越好；同時(shí)，諧振頻率越高，力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)越大，差頻及疊加后對(duì)力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)的提升效果越明顯。

6 溫度漂移抑制

從材料結(jié)構(gòu)角度，石英晶體諧振頻率的溫度特性，與晶體的切型密切相關(guān)。對(duì)AT 切型的石英晶體，切角產(chǎn)生1′的誤差時(shí)，與之對(duì)應(yīng)的頻率-溫度系數(shù)平均值將產(chǎn)生10-7/℃的變化。 因此，對(duì)于同一切型的晶片，切角及工藝誤差對(duì)晶體諧振頻率的溫度特性影響十分明顯。但對(duì)同一晶片而言，在晶片平面不同位置的諧振器，它們的頻率-溫度特性應(yīng)該是完全相同的，若將這些不同位置的諧振器的諧振頻率進(jìn)行差頻處理，溫度的干擾將得到抑制，甚至被完全消除，此即本文差頻處理的核心目的。但由于諧振器電極制備、激勵(lì)電路等因素的影響，同一晶片不同位置的諧振器的諧振頻率溫度特性規(guī)律基本相同，但仍存在微小差異。

諧振器的諧振頻率溫度特性測(cè)試示意如圖9所示。先將諧振器封裝于玻璃瓶?jī)?nèi)并與激勵(lì)電路連接，再將諧振器及電路置放于高低溫試驗(yàn)箱內(nèi)，接通電源及數(shù)字式頻率計(jì)。讓高低溫試驗(yàn)箱降溫致-55℃并保存30 min后，在-55℃～+70℃的范圍內(nèi)，溫度每隔10℃，相鄰溫度點(diǎn)過(guò)渡時(shí)間15 min，并在測(cè)試點(diǎn)再穩(wěn)衡15 min 后用頻率計(jì)測(cè)試不同位置諧振器的諧振頻率，實(shí)驗(yàn)過(guò)程如圖10所示。不同位置的諧振器的頻率溫度特性的測(cè)試結(jié)果如圖11 所示。將不同位置的諧振器的諧振頻率作差頻處理，得到的差頻信號(hào)的頻率溫度特性如圖12 所示。

比較圖11、圖12 的結(jié)果可知，在-55℃～70℃范圍內(nèi)，差頻前溫度引起的頻率變化量約800 Hz，而差頻后的頻率變化量約300 Hz。差頻后，溫度對(duì)頻率信號(hào)的影響得到了一定程度的抑制。

圖9 諧振器諧振頻率溫度特性測(cè)試示意 Fig.9 Test of frequency and temperature characteristics of resonator

圖10 諧振器諧振頻率溫度特性測(cè)試過(guò)程示意圖 Fig.10 Diagram of testing process of frequency and temperature characteristics of resonator

圖11 同一晶片不同位置諧振器的溫頻特性 Fig.11 Temperature-frequency characteristics of resonators at different positions on the same wafer

圖12 差頻信號(hào)的溫頻特性 Fig.12 Temperature frequency characteristics of beat frequency signals

7 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

在一定的力作用方式下，諧振器的力敏特性，與諧振器的基片厚度（決定諧振頻率）及諧振器在基片上所處的位置有關(guān)。根據(jù)圖8所得結(jié)果：三電極（10 MHz）和四電極（10 MHz）諧振器的力敏特性明顯低于六電極（20 MHz）的力敏特性；而處于三電極P1位置、四電極P1和P3位置、六電極P1和P4位置的諧振器，其力敏特性較其它位置的諧振器力敏特性顯著，且經(jīng)差頻處理后，基頻較高的諧振器（20 MHz），其差頻信號(hào)的力敏感特性也較高；疊加處理后，20 MHz六電極諧振器集群的力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)（8655.8 Hz/N）分別是三電極諧振器集群（500 Hz/N）的17.3 倍，是四電極諧振器集群（701 Hz/N）的12.3 倍。由圖11～12的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，一方面說(shuō)明了同一基片上不同位置的諧振器的頻率溫度特性變化規(guī)律的相同（或相似）性，另一方面說(shuō)明諧振器頻率溫度特性不僅與晶體的切型有關(guān)，而且還與諧振器的制備、激勵(lì)電路、電極位置等因素有關(guān)，成因復(fù)雜。因此，解決諧振器溫度干擾是諧振器在高精度測(cè)試應(yīng)用領(lǐng)域存在的瓶頸難題。但實(shí)驗(yàn)表明，通過(guò)差頻處理，能有效地抑制溫度的干擾，若再將同一基片上的多個(gè)差頻信號(hào)進(jìn)行疊加融合，則可提高整個(gè)晶片（諧振器集群）的力敏感特性。

8 結(jié) 論

基于同一晶體基片的諧振器，其力敏特性與諧振器所處的位置、諧振頻率及力作用方位有關(guān)。在一定方位的徑向力作用下，將不同位置的諧振器的諧振頻率進(jìn)行差頻處理得到的差頻信號(hào)仍具有較好的力敏特性，但得到的差頻信號(hào)其溫度及材料等因素引起的干擾得到了較好地抑制。若將得到的差頻信號(hào)進(jìn)行疊加融合，則可進(jìn)一步提高諧振器整體的力敏特性（用力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)描述）。在允許情況下，同一晶體基片上的電極數(shù)越多，即諧振器越多，則諧振器間可選擇的配對(duì)形式越多，整體力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)的提升效果越好；諧振頻率越高，差頻及疊加信號(hào)的力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)的提升效果越明顯。測(cè)試結(jié)果表明：對(duì)于設(shè)計(jì)的10 MHz 三電極諧振器集群，差頻信號(hào)經(jīng)疊加處理后，其力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)可達(dá)500 Hz/N；對(duì)10 MHz 四電極結(jié)構(gòu)的諧振器集群，其力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)可達(dá)701 Hz/N；而對(duì)20 MHz六電極結(jié)構(gòu)的力敏諧振器集群，最終輸出信號(hào)的力-頻轉(zhuǎn)換系數(shù)可達(dá)8655.8 Hz/N（是三電極諧振器的17.3倍、四電極諧振器的12.3 倍）。在-55℃～70℃范圍內(nèi)，差頻前溫度引起的頻率變化量約800 Hz，差頻后的頻率變化量約300 Hz。經(jīng)差頻處理，溫度的干擾得到了一定程度的抑制。這種多電極集成式的力敏諧振器可用于高穩(wěn)定的數(shù)字式力傳感器及慣性敏感元件或姿態(tài)檢測(cè)控制系統(tǒng)。