基于順序統(tǒng)計(jì)量的加速度計(jì)恒加壽命試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)

趙曉東，穆希輝

（1.陸軍工程大學(xué) 石家莊校區(qū)，石家莊 050003；2.特種勤務(wù)研究所 石家莊營(yíng)區(qū)，石家莊 050003）

某型遠(yuǎn)程制導(dǎo)火箭彈作為我軍遠(yuǎn)程精確打擊的重要力量，具有長(zhǎng)期貯存、一次使用的特點(diǎn)，加速度計(jì)作為其長(zhǎng)期貯存中的薄弱環(huán)節(jié)[1]，準(zhǔn)確評(píng)估加速度計(jì)的貯存壽命是關(guān)乎該遠(yuǎn)程制導(dǎo)火箭彈制導(dǎo)精度和作戰(zhàn)效能發(fā)揮的重大問題。加速度計(jì)是長(zhǎng)壽命、高可靠性產(chǎn)品，要在較短時(shí)間內(nèi)評(píng)估其貯存壽命，必須開展加速度計(jì)的加速壽命試驗(yàn)和分析[2]。

與步進(jìn)和序進(jìn)壽命試驗(yàn)相比，恒加壽命試驗(yàn)應(yīng)用最為廣泛，試驗(yàn)與評(píng)估技術(shù)也最為成熟，具有方法簡(jiǎn)單和結(jié)果準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，但其存在著樣本量大和試驗(yàn)時(shí)間長(zhǎng)的問題。為改進(jìn)恒加壽命試驗(yàn)，有些研究者對(duì)恒加壽命試驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了研究。陳文華[2]對(duì)雙應(yīng)力的恒加壽命試驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了研究；沙美妤[3]采用極大似然估計(jì)法對(duì)球軸承的恒加壽命試驗(yàn)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)；Duan[4]通過伽馬過程對(duì)單應(yīng)力的恒加退化試驗(yàn)方案進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)；Wang[5]使用M 最優(yōu)法則對(duì)恒加試驗(yàn)方案進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)；Gao[6]將多應(yīng)力轉(zhuǎn)化為單應(yīng)力，對(duì)恒加壽命試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了探討。但上述優(yōu)化設(shè)計(jì)都是在模型參數(shù)先驗(yàn)信息已知的情況下，對(duì)恒加壽命試驗(yàn)方案進(jìn)行的優(yōu)化設(shè)計(jì)，同時(shí)，其多以產(chǎn)品正常使用應(yīng)力水平下的一個(gè)P 分位壽命的漸近方差最小為優(yōu)化目標(biāo)，具有一定的局限性[7]。

針對(duì)上述問題，本文基于順序統(tǒng)計(jì)量和整體線性無偏估計(jì)理論，以每個(gè)應(yīng)力水平下的樣本分配為設(shè)計(jì)變量，同時(shí)以加速度計(jì)在正常應(yīng)力水平下中位壽命估計(jì)值的方差最小和模型參數(shù)的協(xié)方差陣行列式最小為優(yōu)化目標(biāo)，建立加速度計(jì)定數(shù)截尾恒加壽命試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，對(duì)加速度計(jì)的恒加壽命試驗(yàn)方案進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 加速壽命方案

1.1 加速度計(jì)預(yù)實(shí)驗(yàn)

在加速度計(jì)加速貯存試驗(yàn)設(shè)計(jì)之前，需開展加速預(yù)試驗(yàn)作為加速貯存摸底試驗(yàn)，得到的試驗(yàn)信息主要包括以下三點(diǎn)：

1）確定加速度計(jì)的可加速性；

2）確定加速度計(jì)加速退化應(yīng)力水平上界；

3）確定加速度計(jì)性能參數(shù)是否存在退化規(guī)律。

依據(jù)該型加速度計(jì)的貯存規(guī)范（溫度小于30℃，濕度小于70%RH）推斷其在貯存過程中敏感應(yīng)力主要包括溫度和濕度，因此選擇溫度、濕度為加速試驗(yàn)的應(yīng)力類型。

預(yù)試驗(yàn)共開啟2 個(gè)溫濕度試驗(yàn)箱進(jìn)行試驗(yàn)，一個(gè)為溫度單應(yīng)力試驗(yàn)，一個(gè)為恒濕（75%RH）溫度雙應(yīng)力步進(jìn)應(yīng)力試驗(yàn)。試驗(yàn)過程中的試驗(yàn)箱運(yùn)用說明如下：

A 試驗(yàn)箱進(jìn)行高溫步進(jìn)應(yīng)力加速試驗(yàn)，溫度應(yīng)力依次為：S1=70℃，S2=85℃，S3=95℃，S4=105℃，S5= 110℃；

B 試驗(yàn)箱進(jìn)行恒濕（75%RH）溫度步進(jìn)應(yīng)力加速試驗(yàn)，溫度應(yīng)力依次為：S1=70℃，S2=85℃，S3=95℃，S4=105℃，S5=110℃。

當(dāng)B 試驗(yàn)箱溫度應(yīng)力高于95℃時(shí)無法施加濕度條件，直接將B 試驗(yàn)箱中的樣本拿到A 試驗(yàn)箱，一并進(jìn)行S4=105℃，S5=110℃試驗(yàn)。

用5 個(gè)同批次的加速計(jì)新品作為試驗(yàn)樣品，進(jìn)行35 天不間斷試驗(yàn)。另根據(jù)人機(jī)功效最大化原則，在溫度應(yīng)力S1、S2、S3、S4下各試驗(yàn)、測(cè)試7 天，如果還有樣品沒有失效，則繼續(xù)放在S5下進(jìn)行試驗(yàn)。每一應(yīng)力水平下試驗(yàn)時(shí)間包括應(yīng)力持續(xù)時(shí)間、加速度計(jì)檢測(cè)時(shí)間以及升溫降溫時(shí)間。

通過專用的檢測(cè)設(shè)備，采用定周期檢測(cè)方法進(jìn)行加速度計(jì)失效時(shí)間的測(cè)量，每周檢測(cè)3 次，分別在每周的第2 天、第5 天和第7 天（即改變應(yīng)力水平時(shí)）開始檢測(cè)程序：進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，需將加速度計(jì)恢復(fù)在正常應(yīng)力水平S0（室溫25℃）下進(jìn)行檢測(cè)，以保證測(cè)試條件的一致性。

試驗(yàn)的終止條件如下：1）加速度計(jì)發(fā)生不可修復(fù)故障；2）加速度計(jì)出現(xiàn)故障，如果確認(rèn)該故障在其使用過程中不可能出現(xiàn)，或者出現(xiàn)故障的應(yīng)力水平遠(yuǎn)高于其技術(shù)規(guī)范極限且確保已有足夠的安全余量，則可終止試驗(yàn)；3）試驗(yàn)溫度長(zhǎng)時(shí)間（大于15 天）穩(wěn)定在110℃而無失效樣本產(chǎn)生，可終止試驗(yàn)。

按照上述試驗(yàn)方案，進(jìn)行加速度計(jì)的預(yù)實(shí)驗(yàn)，其失效分布如圖1所示。

加速計(jì)的具體失效情況如表1所示。

圖1 加速度計(jì)預(yù)試驗(yàn)失效分布圖 Fig.1 Distribution of accelerometer pre-test failures

表1 加速度計(jì)預(yù)試驗(yàn)失效情況表 Tab.1 Failures in accelerometer pre-test

從圖1和表1中可以看出，4 次失效分別發(fā)生在85℃（1 個(gè)）、95℃（1 個(gè)）以及110℃（2 個(gè)）下，對(duì)失效的樣本進(jìn)行了失效分析。結(jié)果顯示，預(yù)試驗(yàn)中1 號(hào)和4 號(hào)樣品輸出異常，3 號(hào)和5 號(hào)樣品超差。分析結(jié)果同自然貯存中加速度計(jì)的故障形式一致，說明加速度計(jì)具有顯著的可加速性。

對(duì)發(fā)生故障的4 臺(tái)加速度計(jì)進(jìn)行故障分析，確定4 臺(tái)加速度計(jì)發(fā)生故障的部位均為敏感頭，其中輸出異常是由于敏感頭擺片組梁斷和腹帶松動(dòng)造成，超差均是由于敏感頭腹帶松動(dòng)造成，所以加速度計(jì)雖然兩種失效模式不同，但其失效原因基本一致，故后續(xù)的數(shù)據(jù)分析都基于一種失效模式展開。另外，加濕環(huán)境中加速度計(jì)的失效模式與不加濕環(huán)境中加速度計(jì)的失效模式相同，且加濕環(huán)境中加速度計(jì)的失效均發(fā)生在110℃的高溫下，此時(shí)濕度已經(jīng)無法保證，因此，濕度應(yīng)力并不是加速度計(jì)失效的關(guān)鍵應(yīng)力。

1.2 加速壽命模型

根據(jù)加速度計(jì)預(yù)試驗(yàn)的結(jié)果，以及其自然貯存數(shù)據(jù)的分析結(jié)果[1]發(fā)現(xiàn)，濕度對(duì)于加速度計(jì)壽命的影響從數(shù)據(jù)規(guī)律上難以體現(xiàn)，無法定量刻畫。所以，試驗(yàn)應(yīng)力僅采用溫度應(yīng)力作為加速應(yīng)力。

由于確定溫度應(yīng)力為加速應(yīng)力，因此選擇Arrhenius 模型作為加速模型。Arrhenius 模型表明壽命特征隨著溫度上升而按指數(shù)下降，對(duì)模型取對(duì)數(shù)可得：

其中，ξ表示產(chǎn)品的特征壽命，T為溫度應(yīng)力，a和b為待定的參數(shù)，ε為測(cè)量誤差，壽命特征的對(duì)數(shù)是溫度倒數(shù)的線性函數(shù)。

1.3 加速系數(shù)預(yù)估

依據(jù)加速度計(jì)的自然貯存壽命[1]分析結(jié)果，威布爾函數(shù)和I 型極大值分布函數(shù)可以作為加速度計(jì)的分布函數(shù)。經(jīng)分析[8]，根據(jù)加速系數(shù)的定義，I 型極大值分布沒有可加速性，故選擇威布爾函數(shù)作為分布函數(shù)。在求得分布函數(shù)之后，根據(jù)加速度計(jì)在不同溫度條件下的平均貯存壽命及可靠壽命，可以對(duì)加速系數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

設(shè)步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)共有k個(gè)應(yīng)力，其中S0為常規(guī)應(yīng)力水平。在應(yīng)力Si下共有ri個(gè)產(chǎn)品失效，失效時(shí)間分別為：

其中，τi為Si下的截尾時(shí)間（即應(yīng)力水平改變的時(shí)刻），

各應(yīng)力水平下加速度計(jì)貯存壽命的分布函數(shù)為：

其中，mi和η i分別為應(yīng)力Si下的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)，并作出以下基本假設(shè)：

假設(shè)I各應(yīng)力水平Si下的形狀參數(shù)mi相等；

假設(shè)II產(chǎn)品的特征壽命η i與所施加應(yīng)力Si，滿足Arrhenius 加速方程：

假設(shè)III產(chǎn)品剩余壽命僅依賴于失效累積量和當(dāng)時(shí)的應(yīng)力水平，而與累積方式無關(guān)。

由假定I 分布的形狀參數(shù)mi相等，則應(yīng)力Si下第j個(gè)失效樣本的失效時(shí)間折算到給定應(yīng)力Sq下的失效時(shí)間為：

到達(dá)試驗(yàn)截尾時(shí)間τk仍未失效的樣本折算到給定應(yīng)力水平Sq下的時(shí)間為：

其中，T q、Ti是應(yīng)力水平S q、Si下的熱力學(xué)溫度，b是加速模型中確定的參數(shù)。

根據(jù)以上分析，可得似然函數(shù)如下：

通過解如下方程組：

結(jié)合加速度計(jì)的預(yù)試驗(yàn)失效數(shù)據(jù)，將加速度計(jì)失效時(shí)間折算到90℃，可以得到模型未知參數(shù)極大似然估計(jì)值如下：

據(jù)此，可得加速模型如下：

常溫為25℃，如果加速壽命試驗(yàn)的溫度應(yīng)力分別選80℃、95℃、110℃、130℃，不難得到產(chǎn)品壽命均值的加速系數(shù)如下：

1.4 恒加試驗(yàn)方案

1.4.1 溫度應(yīng)力水平的確定

在恒加應(yīng)力試驗(yàn)中，一般選擇3～5 個(gè)應(yīng)力水平進(jìn)行試驗(yàn)[3]。本試驗(yàn)方案由于受到試驗(yàn)樣本量較少，同時(shí)，由加速模型可以看出，模型的待估參數(shù)有3 個(gè)（阿倫尼烏斯模型中的參數(shù)a和b，威布爾分布中的形狀參數(shù)m），所以試驗(yàn)數(shù)據(jù)的最小可解條件為3 個(gè)加速應(yīng)力水平。因此，加速度計(jì)的加速壽命試驗(yàn)選擇三個(gè)應(yīng)力水平（S1＜S2＜S3）。

根據(jù)加速度計(jì)預(yù)試驗(yàn)結(jié)果和加速系數(shù)的預(yù)估結(jié)果，選擇S1=80℃，S3=110℃，并根據(jù)溫度應(yīng)力倒數(shù)等間隔取值公式，確定S2。即：

1.4.2 試驗(yàn)樣品的選取與分組

選取8 個(gè)同批次的新品加速度計(jì)，分配到已經(jīng)確定的三個(gè)應(yīng)力水平，具體的樣本分配可以由試驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)確定。

1.4.3 測(cè)定失效時(shí)間

根據(jù)加速度計(jì)的技術(shù)規(guī)范確定的失效標(biāo)準(zhǔn)，判斷受試樣品是否失效，并采用定周期測(cè)試方法，即預(yù)先確定若干個(gè)測(cè)試時(shí)間，

當(dāng)ni個(gè)樣品在應(yīng)力Si下進(jìn)行壽命試驗(yàn)到τi時(shí)，對(duì)受試驗(yàn)品逐個(gè)檢查受試指標(biāo)，判定是否失效，這樣可以得到在檢測(cè)周期 (τi-1,τi)內(nèi)樣品失效數(shù)li，而這li個(gè)失效產(chǎn)品的準(zhǔn)確失效時(shí)間是無法獲得的，這種情況稱為定周期測(cè)試。用等間隔方式估計(jì)此li個(gè)失效樣品在(τi-1,τi)內(nèi)的失效時(shí)間，即?。?/p>

其中，τi、τi-1是檢測(cè)時(shí)間，l i為檢測(cè)周期內(nèi)的失效數(shù)，h是時(shí)間（小時(shí)）。

檢測(cè)時(shí)間由試驗(yàn)操作人員確定，在高應(yīng)力水平下，試驗(yàn)的檢測(cè)間隔應(yīng)該較為致密，在低應(yīng)力水平下，檢測(cè)時(shí)間間隔可以相對(duì)疏松。

1.4.4 試驗(yàn)停止時(shí)間

由于試驗(yàn)樣本只有8 個(gè)，總量較小，因此被測(cè)樣本全部出現(xiàn)故障試驗(yàn)停止。

2 優(yōu)化設(shè)計(jì)理論

與傳統(tǒng)的極大似然估計(jì)法相比，基于順序統(tǒng)計(jì)量的方法具有如下優(yōu)點(diǎn)：

1）順序統(tǒng)計(jì)量的部分性質(zhì)不依賴于母體的分布并且計(jì)算量很小，使用起來比較方便，而且由于產(chǎn)品故障或壽命數(shù)據(jù)的時(shí)間性特點(diǎn)，在可靠性數(shù)據(jù)分析中，順序統(tǒng)計(jì)量是一種非常重要的統(tǒng)計(jì)量；

2）將順序統(tǒng)計(jì)量引入加速壽命試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，運(yùn)用整體最佳線性無偏估計(jì)理論，解決了模型參數(shù)先驗(yàn)信息未知情形下的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題；

3）對(duì)于樣本量較小的壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)，綜合利用不同應(yīng)力間的橫向信息，從而提高評(píng)估的精度。

2.1 模型假設(shè)

1）加速度計(jì)壽命在統(tǒng)計(jì)上相互獨(dú)立[9-10]；

2）在任一應(yīng)力水平下，加速度計(jì)壽命服從威布爾分布；

3）在各應(yīng)力水平下，產(chǎn)品壽命分布的參數(shù)σ保持不變；

4）壽命分布的參數(shù)μ是應(yīng)力的線性函數(shù)，即

其中，x= 1/T，模型參數(shù)a、b、σ由試驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)得到。

2.2 順序統(tǒng)計(jì)量

設(shè)總體的密度函數(shù)為f(t)，分布函數(shù)為F(t)，T1,是總體的一個(gè)樣本，其值為將其從小到大排列，則稱為順序統(tǒng)計(jì)量，T(n)稱為該樣本的最大順序統(tǒng)計(jì)量，T(1)為最小順序統(tǒng)計(jì)量。

2.3 最佳線性無偏估計(jì)

最常使用的極大似然估計(jì)方法只有在大樣本情況下才具有良好的性質(zhì)，整體最佳線性無偏估計(jì)方法綜合利用不同應(yīng)力間的橫向信息，可以提高參數(shù)的估計(jì)精度。

加速度計(jì)壽命t服從威布爾分布，累計(jì)失效函數(shù)為：

其中，η為特征壽命，m為形狀參數(shù)。

令y= lnt，則轉(zhuǎn)化為I 型極小值分布，其累積失效函數(shù)為：

其中，位置參數(shù)μ= lnη，尺度參數(shù)σ= 1/m。

密度函數(shù)為

令y= lnt，極小值分布的前qj個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量分別

由于

所以

其中，εji服從均值0，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的極小值分布為

分別對(duì)a、b、σ求偏導(dǎo)，得到以下三個(gè)線性方程：

求解線性方程組即可得到a、b、σ的估計(jì)值

3 試驗(yàn)方案的優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 優(yōu)化準(zhǔn)則和目標(biāo)

根據(jù)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的不同要求，加速壽命試驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)主要有兩類優(yōu)化準(zhǔn)則，即D 最優(yōu)準(zhǔn)則和V 最優(yōu)準(zhǔn)則。根據(jù)不同的優(yōu)化準(zhǔn)則，可以得到不同的優(yōu)化計(jì)算結(jié)果。本文同時(shí)采用兩種優(yōu)化準(zhǔn)則，避免單一優(yōu)化準(zhǔn)則的局限性，并通過兩種優(yōu)化準(zhǔn)則的對(duì)比分析，驗(yàn)證試驗(yàn)方案優(yōu)化設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確性。

3.1.1 D 最優(yōu)準(zhǔn)則

考慮模型參數(shù)估計(jì)精度的要求，一般以最小化模型參數(shù)的協(xié)方差陣的行列式為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。協(xié)方差陣的行列式越小，參數(shù)估計(jì)精度就越高，即D 最優(yōu)準(zhǔn)則優(yōu)準(zhǔn)則下試驗(yàn)方案的最優(yōu)解。

基于整體最佳線性無偏估計(jì)理論，模型參數(shù)的協(xié)方差陣為：

其中，

根據(jù)前面分析加速度計(jì)實(shí)際壽命服從威布爾分布，可以轉(zhuǎn)化為I 型極小值分布，則μjk是第個(gè)j應(yīng)力水平下，標(biāo)準(zhǔn)I 型極小值分布的第k個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量的均值，vjkl是第j個(gè)應(yīng)力水平下，標(biāo)準(zhǔn)I 型極小值分布的第k個(gè)和第l個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量的協(xié)方差。

通過上述公式可以看出：最小化協(xié)方差陣的行列式可以等價(jià)為最小化矩陣CM的行列式，通過最小化CM行列式可以求得在D 最優(yōu)準(zhǔn)則下試驗(yàn)方案的最優(yōu)解。

3.1.2 V 最優(yōu)準(zhǔn)則

考慮對(duì)產(chǎn)品壽命預(yù)測(cè)的精度要求，一般選取正常使用應(yīng)力水平下的一個(gè)P 分位壽命的漸近方差為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，即V 最優(yōu)準(zhǔn)則。最小化分位點(diǎn)壽命估計(jì)值的漸近方差，可求得V 最優(yōu)準(zhǔn)則下試驗(yàn)方案的最優(yōu)解。

威布爾分布可以用線性—極值/正態(tài)模型來進(jìn)行方差估計(jì)。對(duì)線性—極值/正態(tài)模型來講，在轉(zhuǎn)化應(yīng)力x下，產(chǎn)品分位點(diǎn)壽命g P(x) 是參數(shù)γ0、γ1、σ的函數(shù)，zp是標(biāo)準(zhǔn)極值分布的P階分位數(shù)，其估計(jì)值為：

漸進(jìn)方差為：

那么，在正常工作應(yīng)力x0下，P分位壽命的漸進(jìn)方差為：

3.2 試驗(yàn)約束條件

3.3 試驗(yàn)設(shè)計(jì)變量

優(yōu)化設(shè)計(jì)變量為每個(gè)應(yīng)力水平下分配的樣本數(shù)。

在試驗(yàn)樣本量的分配中，分配準(zhǔn)則為：低應(yīng)力下分配的樣本數(shù)不應(yīng)少于高應(yīng)力下分配的樣本數(shù)；同時(shí)，由于加速度計(jì)可靠性較高，試驗(yàn)時(shí)間不能過長(zhǎng)。因此，對(duì)于恒加試驗(yàn)而言，需要綜合考慮試驗(yàn)效率和試驗(yàn)精度對(duì)于試驗(yàn)的影響。

3.4 優(yōu)化流程

1）開展加速度計(jì)的預(yù)實(shí)驗(yàn)，處理失效數(shù)據(jù)，確定加速度計(jì)的壽命分布模型；

2）確定加速度計(jì)恒加壽命試驗(yàn)的溫度應(yīng)力水平和試驗(yàn)樣本總量；

3）按照樣本分配原則，列出樣本在不同溫度應(yīng)力水平下的所有分配方案；

4）利用不同溫度應(yīng)力水平下樣本失效時(shí)間的順序統(tǒng)計(jì)量，通過最佳線性無偏估計(jì)，估計(jì)不同分配方案下加速計(jì)的壽命分布模型參數(shù)；

5）求解模型參數(shù)協(xié)方差陣的行列式，找出其最小值所對(duì)應(yīng)的樣本分配方案；

6）求解0.5 分位點(diǎn)壽命的漸進(jìn)方差，找出其最小值所對(duì)應(yīng)的樣本分配方案；

7）對(duì)比兩類優(yōu)化準(zhǔn)則的求解結(jié)果，確定加速度計(jì)最終的加速壽命優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。

4 優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

對(duì)于可能進(jìn)行的試驗(yàn)方案（8 個(gè)試驗(yàn)樣品分配到三個(gè)應(yīng)力水平下），分別計(jì)算得到V 最優(yōu)和D 最優(yōu)的求解結(jié)果，并以（8|5,2,1）為例說明計(jì)算過程。

4.1 最佳線性無偏估計(jì)

設(shè)在95℃、110℃、130℃下分別有5、2、1 個(gè)樣本進(jìn)行定數(shù)截尾試驗(yàn)，完全失效的失效時(shí)間分別為t11≤t12≤t13≤t14≤t15、t21≤t22、t31。

以應(yīng)力水平S1(T1=95℃)情況下為例：

令y= lnt，極小值分布的5 個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量為y11≤y12≤y13≤y14≤y15。

由于y1i=μ+σy10i,(i= 1,2,3,4,5)，所以：

其中，ε1i服從均值0，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的極小值分布EV( 0,σ) ,(i= 1,2,3,4,5)，在應(yīng)力水平S2(T2=110℃)、S3(T3=130℃)下與以上內(nèi)容相似。

分別對(duì)a、b、σ求偏導(dǎo)，得到以下三個(gè)線性方程：

求解線性方程組即可得a、b、σ的估計(jì)值a?、b?、σ? 。

4.2 優(yōu)化準(zhǔn)則和目標(biāo)求解

4.2.1 D 最優(yōu)準(zhǔn)則

模型參數(shù)的協(xié)方差陣為：

其中，

例如：

其中，

4.2.2 V 最優(yōu)準(zhǔn)則

取0.5 分位點(diǎn)壽命，常溫為25℃，即298K，h=(1 ,1/298,0)，那么，漸進(jìn)方差為：

4.3 結(jié) 果

依照上述計(jì)算過程，分別計(jì)算得到各試驗(yàn)方案下V最優(yōu)和D 最優(yōu)的求解結(jié)果，如表2所示，其中：(n|n1,n2,n3)分別代表樣本總數(shù)、應(yīng)力水平S1下的樣本數(shù)、應(yīng)力水平S2下的樣本數(shù)、應(yīng)力水平S3下的樣本數(shù)；σ= 1m，m是威布爾分布中的形狀參數(shù)。

表2 優(yōu)化計(jì)算結(jié)果 Tab.2 Optimized design results

在表2中，V 最優(yōu)一列計(jì)算的是加速度計(jì)均值的漸近方差的估計(jì)值，根據(jù)V 最優(yōu)準(zhǔn)則，漸近方差越小，則表示試驗(yàn)的估計(jì)精度越高。D 最優(yōu)一列計(jì)算的是矩陣CM的行列式的值，根據(jù)D 最優(yōu)準(zhǔn)則，行列式的值越小，試驗(yàn)的估計(jì)精度越高。由以上的計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析可知，V 最優(yōu)和D 最優(yōu)這兩種優(yōu)化方法的求解結(jié)果一致，驗(yàn)證了加速度計(jì)恒加試驗(yàn)方案優(yōu)化設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確性，確定加速度計(jì)的試驗(yàn)方案為（8|4,2,2），即在應(yīng)力水平S1、S2、S3下分配的樣本量分別為4、2、2。

5 結(jié) 論

1）將順序統(tǒng)計(jì)量引入加速壽命試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，運(yùn)用整體最佳線性無偏估計(jì)理論，解決了模型參數(shù)先驗(yàn)信息未知情形下的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。

2）與常用的極大似然估計(jì)法相比，基于順序統(tǒng)計(jì)量和整體最佳線性無偏估計(jì)理論的參數(shù)估計(jì)方法，能夠綜合利用不同應(yīng)力間的橫向信息，提高參數(shù)的估計(jì)精度，在小樣本情況下也具有良好的性質(zhì)。

3）同時(shí)以加速度計(jì)在正常應(yīng)力水平下中位壽命估計(jì)值的方差最小和模型參數(shù)的協(xié)方差陣行列式最小為優(yōu)化目標(biāo)，兼顧了模型參數(shù)估計(jì)精度和加速度計(jì)壽命預(yù)測(cè)精度，避免了單一優(yōu)化目標(biāo)的局限性。

4）根據(jù)順序統(tǒng)計(jì)量和整體線性無偏估計(jì)理論，以每個(gè)應(yīng)力水平下的樣本分配為設(shè)計(jì)變量，同時(shí)以加速度計(jì)在正常應(yīng)力水平下中位壽命估計(jì)值的方差最小和模型參數(shù)的協(xié)方差陣行列式最小為優(yōu)化目標(biāo)，建立加速度計(jì)定數(shù)截尾恒加壽命試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。最后計(jì)算結(jié)果表明，兩種優(yōu)化目標(biāo)的求解結(jié)果一致，確定加速度計(jì)的試驗(yàn)方案為（8|4,2,2），即在應(yīng)力水平S1、S2、S3下分配的樣本量分別為4、2、2，驗(yàn)證了該方法的可靠性。