汪立新，單鈞麟，秦偉偉，沈 強(qiáng)，段志強(qiáng)

（火箭軍工程大學(xué) 控制工程系，西安 710025）

兩輪前后布局的單軌式陀螺平衡車(chē)采用控制力矩陀螺作為平衡控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)，具有節(jié)能環(huán)保、重量輕、行動(dòng)靈活等優(yōu)點(diǎn)，是一種適應(yīng)性強(qiáng)、應(yīng)用范圍廣闊的新型平衡車(chē)輛，引起了國(guó)內(nèi)外公司和科研團(tuán)隊(duì)的廣泛關(guān)注[1-2]。由于缺少車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)的陀螺效應(yīng)及車(chē)把轉(zhuǎn)向的離心力作用，陀螺平衡車(chē)的靜態(tài)平衡控制實(shí)現(xiàn)難度較 大[3]，對(duì)控制器性能要求嚴(yán)苛，同時(shí)它又是自主駕駛等相關(guān)應(yīng)用的研究基礎(chǔ)，因此提升陀螺平衡車(chē)靜態(tài)平衡控制性能具有重要意義。

文獻(xiàn)[4]采用極點(diǎn)配置方法控制平衡車(chē)靜態(tài)穩(wěn)定，控制器設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔，但對(duì)于系統(tǒng)極點(diǎn)的設(shè)計(jì)過(guò)于依賴經(jīng)驗(yàn)，且無(wú)法對(duì)性能指標(biāo)進(jìn)行量化；文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)了一種滑模變結(jié)構(gòu)控制器，使得穩(wěn)定控制的調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量得到改善，同時(shí)也出現(xiàn)了系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近抖動(dòng)嚴(yán)重的問(wèn)題；文獻(xiàn)[6]闡述了基于級(jí)聯(lián)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的雙回路自抗擾控制原理，仿真實(shí)驗(yàn)表明將其應(yīng)用于陀螺平衡車(chē)控制能夠有效提升系統(tǒng)穩(wěn)定裕度和抗干擾能力，然而控制器復(fù)雜度和能量消耗較高，在實(shí)際應(yīng)用中存在困難。

對(duì)比以上控制方法，線性二次型調(diào)節(jié)器（Linear Quadratic Regulator,LQR）作為一種多變量最優(yōu)反饋控制方法，能夠同時(shí)最小化系統(tǒng)狀態(tài)量誤差和控制器輸出，此外還具有穩(wěn)定性高、設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、實(shí)用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。實(shí)際應(yīng)用中狀態(tài)加權(quán)矩陣Q和控制加權(quán)矩陣R是設(shè)計(jì)人員要選擇的主要參數(shù)，通常由專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)和試錯(cuò)法相結(jié)合進(jìn)行確定，需要耗費(fèi)大量時(shí)間且難以保證控制效果。文獻(xiàn)[7]采用搜索能力較強(qiáng)的粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization,PSO）算法選取加權(quán)矩陣，設(shè)計(jì)了垂直起降微型飛行器的懸停穩(wěn)定LQR 控制器，在較好滿足控制需求的同時(shí)增強(qiáng)了系統(tǒng)魯棒性，但它存在兩個(gè)陷阱：易陷入局部最優(yōu)和收斂速度慢。

量子粒子群優(yōu)化（Quantum Particle Swarm Opti- mization,QPSO）算法是基于粒子群模型，從量子力學(xué)角度出發(fā)提出的一種新型全局優(yōu)化算法。它將粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以波函數(shù)的形式進(jìn)行描述，取代傳統(tǒng)PSO 算法中速度和位置的表示方式，使得粒子能夠以一定概率出現(xiàn)在空間任何位置，對(duì)全局搜索性能有了很大的改進(jìn)。此外，QPSO 算法模型更加簡(jiǎn)單，控制參數(shù)更少，對(duì)復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題的處理具有更好的效果[8]。

本文針對(duì)陀螺平衡車(chē)靜態(tài)平衡控制問(wèn)題設(shè)計(jì)LQR 控制器，使用QPSO 算法智能地搜索出使系統(tǒng)性能良好的最優(yōu)Q、R權(quán)值矩陣參數(shù)，通過(guò)與PSO 優(yōu)化和經(jīng)驗(yàn)法得到的結(jié)果進(jìn)行仿真對(duì)比和試驗(yàn)驗(yàn)證，證明QPSO 方法對(duì)陀螺平衡車(chē)LQR 參數(shù)優(yōu)化的有效性。

1 陀螺平衡車(chē)系統(tǒng)建模

陀螺平衡車(chē)系統(tǒng)主要由兩輪前后布局單軌式車(chē)體、控制力矩陀螺、嵌入式系統(tǒng)開(kāi)發(fā)平臺(tái)、姿態(tài)傳感器、電源驅(qū)動(dòng)裝置，以及安全隔離架等部分組成，具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中控制力矩陀螺是一種基于角動(dòng)量交換原理實(shí)現(xiàn)力矩平衡控制的慣性執(zhí)行機(jī)構(gòu)，廣泛應(yīng)用于航天器姿態(tài)控制等領(lǐng)域[9]。

陀螺平衡車(chē)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的平衡原理同自行車(chē)較為相似，但當(dāng)其處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，車(chē)輪旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的陀螺效應(yīng)和車(chē)把轉(zhuǎn)向引起的離心力作用等均無(wú)法產(chǎn)生，僅依靠控制力矩陀螺進(jìn)動(dòng)產(chǎn)生的陀螺力矩抵消重力矩分量和外界干擾力矩。其平衡控制過(guò)程為：當(dāng)平衡車(chē)偏離平衡位置時(shí)，姿態(tài)傳感器將敏感到的角度信號(hào)傳遞給嵌入式平臺(tái)中的微處理器，由微處理器控制直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)控制力矩陀螺的飛輪轉(zhuǎn)子在高速自轉(zhuǎn)的同時(shí)和陀螺框架一起相對(duì)車(chē)體進(jìn)動(dòng)，根據(jù)陀螺力矩效應(yīng)會(huì)對(duì)車(chē)體產(chǎn)生一個(gè)反作用力矩使系統(tǒng)回到平衡狀態(tài)。

圖1 陀螺平衡車(chē)結(jié)構(gòu)圖 Fig.1 Structure of gyroscopic balancing vehicle

由陀螺平衡車(chē)靜止?fàn)顟B(tài)下的平衡原理，結(jié)合拉格朗日方程可以推導(dǎo)出其靜態(tài)平衡動(dòng)力學(xué)方程。將平衡車(chē)系統(tǒng)視為由車(chē)體、高速旋轉(zhuǎn)的飛輪和陀螺框架組成的剛體系，參考坐標(biāo)系建立和相關(guān)參數(shù)定義分別如圖2和表1所示。

n維廣義坐標(biāo)下包含有勢(shì)力的拉格朗日方程為

圖2 模型參考坐標(biāo)系 Fig.2 Reference frame of the vehicle system model

表1 陀螺平衡車(chē)參數(shù) Tab.1 Parameters of gyroscopic balancing vehicle

式中，T為系統(tǒng)動(dòng)能，V為系統(tǒng)勢(shì)能，q i為第i維廣義坐標(biāo)，Qi為第i維廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力。

對(duì)陀螺平衡車(chē)系統(tǒng)有：

對(duì)廣義坐標(biāo)q1=θ，其廣義力

聯(lián)立式(1)(2)(3)(4)可得關(guān)于傾角θ的動(dòng)力學(xué)方程為

式中，Ir=Irf+Irg，Ip=Ipf+Ipg。

對(duì)廣義坐標(biāo)q2=α，其廣義力

同理，可得關(guān)于進(jìn)動(dòng)角α的動(dòng)力學(xué)方程為

2 量子粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法由鳥(niǎo)群遷徙過(guò)程中的飛行特征抽象而來(lái)，算法中的每個(gè)粒子與生物個(gè)體相對(duì)應(yīng)，由具體的位置和速度向量進(jìn)行描述，通過(guò)對(duì)解空間進(jìn)行搜索獲得最優(yōu)的適應(yīng)個(gè)體和參數(shù)值，但由于每個(gè)粒子只能在確定的軌道上搜索和更新，因此無(wú)法充滿全部可行域而容易陷入局部最優(yōu)解。孫俊等人[10]提出用具有高度隨機(jī)性的人類(lèi)智能行為代替鳥(niǎo)群飛行運(yùn)動(dòng)，并通過(guò)類(lèi)比將量子力學(xué)理論中的不確定性引入基本粒子群模型，建立了能夠?qū)崿F(xiàn)全局優(yōu)化的量子行為模型。

假定每個(gè)粒子被束縛在以點(diǎn)P= (p,0)為中心的一維δ勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，并處于一定的能量狀態(tài)，其量子態(tài)概率分布可由定態(tài)波函數(shù)ψ(X)進(jìn)行描述：

式中，X為粒子在空間中位置，L為δ勢(shì)阱特征長(zhǎng)度。 結(jié)合蒙特卡洛法模擬出單個(gè)粒子精確位置表達(dá)式[10]

將上述結(jié)果擴(kuò)展到包含M個(gè)粒子的N維搜索空間，并考慮粒子位置隨時(shí)間的變化。為保證算法收斂性，對(duì)于粒子i在t時(shí)刻的第j維δ勢(shì)阱特征長(zhǎng)度Li,j(t) 需滿足條件通常情況下由式(10)確定：

式中，α為收縮-擴(kuò)張因子，控制粒子位置坐標(biāo)的收斂性能，pbesti,j(t)為t時(shí)刻粒子i歷史最優(yōu)位置的第j維坐標(biāo)，X i,j(t)為粒子i在t時(shí)刻的第j維坐標(biāo)。則具有量子行為的一般粒子進(jìn)化方程可表述為：

式中，i=1,2,…,M；j=1,2,…,N；pi,j(t)為粒子i在t時(shí)刻的第j維δ勢(shì)阱中心隨機(jī)坐標(biāo)；gbest j(t)為t時(shí)刻M個(gè)粒子中最優(yōu)位置的第j維坐標(biāo)；為第j維坐標(biāo)隨機(jī)系數(shù)。

3 基于QPSO 的LQR 控制器參數(shù)優(yōu)化

3.1 LQR 控制器設(shè)計(jì)

對(duì)陀螺平衡車(chē)靜態(tài)平衡動(dòng)力學(xué)方程在平衡位置附近進(jìn)行線性化處理可得：

式中：

LQR 控制器設(shè)計(jì)關(guān)鍵是確定最優(yōu)反饋控制量u(t) =-Kx(t)，使得式(14)二次型指標(biāo)取得最小值：

式中，K=-R-1BTP為狀態(tài)反饋矩陣，Q、R為權(quán)值矩陣，矩陣P由黎卡提方程 -PA-ATP+PBR-1BTP-Q=0 確定。

可以看出：Q、R權(quán)值矩陣為待設(shè)定參數(shù)，只有適當(dāng)取值才能獲得較好的控制效果；傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)試錯(cuò)法耗時(shí)長(zhǎng)且效果并不理想；隨著智能算法研究的深入和完善，考慮采用量子粒子群算法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，在Simulink 環(huán)境下搭建QPSO 優(yōu)化的LQR 控制器模型，如圖3所示。

圖3 QPSO 優(yōu)化的LQR 控制器Simulimk 模型 Fig.3 Simulimk model of LQR controller based on quantum particle swarm optimization

3.2 混合指標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)

由式(11)可知，粒子每一步進(jìn)化需要得到當(dāng)前全體粒子最優(yōu)位置和個(gè)體粒子歷史最優(yōu)位置坐標(biāo)，因此通過(guò)建立適應(yīng)度函數(shù)對(duì)粒子優(yōu)劣進(jìn)行評(píng)價(jià)[11]，經(jīng)過(guò)多次迭代提高粒子適應(yīng)度函數(shù)值，最終使所有粒子收斂到全局最優(yōu)位置得到相應(yīng)優(yōu)化參數(shù)?？紤]到實(shí)際情況下系統(tǒng)受擾動(dòng)偏離平衡位置時(shí)，應(yīng)在盡量短的時(shí)間內(nèi)以較小的擺動(dòng)準(zhǔn)確回復(fù)到平衡狀態(tài)，把LQR 二次型性能指標(biāo)、系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間和響應(yīng)峰值作為重要參考標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)為了避免框架進(jìn)動(dòng)飽和造成系統(tǒng)失穩(wěn)，將最大控制量也作為一項(xiàng)適應(yīng)度指標(biāo)。由于各項(xiàng)指標(biāo)的單位不同，絕對(duì)數(shù)值相差較大，進(jìn)行對(duì)數(shù)和比值變換后定義混合指標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)f為：

3.3 Q、R 矩陣優(yōu)化流程

設(shè)權(quán)值矩陣Q=diag(q1,q2,q3,q4),R=r均為正定的,則待優(yōu)化參數(shù)向量為x=(q1,q2,q3,q4,r)。將粒子位置坐標(biāo)賦值給Q、R矩陣參數(shù)，并傳遞到LQR 控制器的Simulink 模型中進(jìn)行系統(tǒng)仿真，根據(jù)仿真輸出計(jì)算粒子適應(yīng)度函數(shù)值，當(dāng)適應(yīng)度函數(shù)值收斂或迭代達(dá)到設(shè)定次數(shù)時(shí)停止更新，輸出適應(yīng)度函數(shù)f和Q、R矩陣參數(shù)變化曲線，QPSO 算法優(yōu)化陀螺平衡車(chē)LQR 參數(shù)的具體流程如圖4所示。

圖4 QPSO 算法優(yōu)化陀螺平衡車(chē)LQR 參數(shù)流程圖 Fig.4 Flowchart of LQR parameters optimization of gyroscopic balancing vehicle by QPSO algorithm

4 仿真及試驗(yàn)分析

4.1 參數(shù)設(shè)置

參數(shù)設(shè)置主要由陀螺平衡車(chē)結(jié)構(gòu)參數(shù)和QPSO 優(yōu)化算法參數(shù)兩部分組成，其中平衡車(chē)參數(shù)經(jīng)對(duì)實(shí)物進(jìn)行測(cè)量后計(jì)算得到：

根據(jù)以上參數(shù)求取模型狀態(tài)空間方程系數(shù)矩陣：

QPSO 算法參數(shù)設(shè)置中，種群規(guī)模數(shù)為50，最大 迭代次數(shù)為100，Q矩陣參數(shù)范圍為[10,500]，R矩陣參數(shù)范圍為[0,1]，加權(quán)系數(shù)λ1= 0.05，λ2= 0.35，λ3= 0.35，λ4= 0.25，收縮-擴(kuò)張因子α的一種對(duì)收斂速度提升較為有效的取值方式為[12]

式中，α1=1.78 和α2=0.5 分別是α的初始值和最終值，k是當(dāng)前迭代次數(shù)，K是最大允許迭代次數(shù)。

4.2 仿真結(jié)果及分析

根據(jù)4.1 節(jié)中的參數(shù)設(shè)置進(jìn)行仿真，Q、R矩陣參數(shù)和適應(yīng)度函數(shù)f的尋優(yōu)曲線如圖5和圖6所示。圖5中，縱坐標(biāo)q1、q2、q3、q4 為權(quán)值矩陣Q的參數(shù)值，r為權(quán)值矩陣R的參數(shù)值。從圖5～6 中可以看出，算法經(jīng)過(guò)30 次左右迭代后達(dá)到收斂狀態(tài)，具體尋優(yōu)參數(shù)值為：

圖5 Q、R 矩陣參數(shù)優(yōu)化曲線 Fig.5 Optimization curves of Q and R matrix parameters

圖6 適應(yīng)度函數(shù)變化曲線 Fig.6 Variation curve of the fitness function

初步考察采用QPSO 進(jìn)行陀螺平衡車(chē)LQR 參數(shù)優(yōu)化的可行性，分別由經(jīng)驗(yàn)法、PSO 優(yōu)化和本文方法優(yōu)化得到的參數(shù)在陀螺車(chē)初始傾角θ0= 0.1 rad 條件下基于Simulink 模型進(jìn)行陀螺平衡車(chē)LQR 控制零輸入響應(yīng)仿真，結(jié)果如圖7和圖8所示。其中經(jīng)驗(yàn)法選取的一組控制參數(shù)為

PSO 優(yōu)化參數(shù)為

由以下條件實(shí)驗(yàn)得到：學(xué)習(xí)因子c1=2.5，c2=2.5，速度邊界vmin= -1.0，vmax=1.0，慣性權(quán)重w=2，種群規(guī)模為50，最大迭代次數(shù)為100。

由圖7和圖8可以看出，3 種方法所設(shè)計(jì)的LQR控制器都能滿足靜態(tài)平衡控制要求，但PSO 算法和QPSO 算法優(yōu)化后的控制性能明顯優(yōu)于經(jīng)驗(yàn)法，同時(shí)QPSO 算法與PSO 算法相比調(diào)節(jié)時(shí)間相近，超調(diào)量更小，響應(yīng)速度更快，能夠滿足陀螺車(chē)平衡控制的快速性和穩(wěn)定性要求，同時(shí)避免因進(jìn)動(dòng)角超調(diào)量過(guò)大造成控制力矩陀螺自鎖現(xiàn)象的發(fā)生。

圖7 傾角θ 仿真曲線 Fig.7 Simulation curve of tilt angle θ

圖8 進(jìn)動(dòng)角α 仿真曲線 Fig.8 Simulation curve of precession angle α

4.3 試驗(yàn)驗(yàn)證及分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證QPSO 優(yōu)化后的陀螺平衡車(chē)控制效果，搭建實(shí)物平臺(tái)進(jìn)行實(shí)時(shí)平衡控制試驗(yàn)。實(shí)物平臺(tái)結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中嵌入式系統(tǒng)開(kāi)發(fā)平臺(tái)使用NI公司的myRIO-1900，內(nèi)嵌ARM Cortex-A9 微處理器和Xilinx FPGA 定制化I/O，基于Labview Real-Time/ myRIO Module 實(shí)現(xiàn)控制程序設(shè)計(jì)?？刂屏赝勇莶捎脝慰蚣軜?gòu)型，飛輪自轉(zhuǎn)由Maxon RE35 直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)，框架進(jìn)動(dòng)由另一個(gè)Maxon RE40 直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)，配套的編碼器可反饋進(jìn)動(dòng)角度信號(hào)，轉(zhuǎn)速均由Copley驅(qū)動(dòng)器實(shí)現(xiàn)精確控制，姿態(tài)傳感器為Xsens Mti-300型慣性組件，用于輸出平衡車(chē)傾角。myRIO-1900 可通過(guò)內(nèi)置WIFI 模塊與PC 端進(jìn)行通信，實(shí)現(xiàn)控制參數(shù)調(diào)整和上位機(jī)界面實(shí)時(shí)姿態(tài)信息顯示。一塊12V Li電池為myRIO-1900 供電，兩塊24V Li 電池分別為兩個(gè)Maxon 電機(jī)供電。

設(shè)置陀螺車(chē)初始傾角θ0= 0.1 rad，分別將三種方法對(duì)應(yīng)的控制參數(shù)載入myRIO 1900 開(kāi)發(fā)平臺(tái)，試驗(yàn)采集從起控到平衡過(guò)程中陀螺車(chē)傾角、陀螺框架進(jìn)動(dòng)角和控制量信號(hào)各1000 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，采樣頻率100 Hz，得到陀螺車(chē)傾角、框架進(jìn)動(dòng)角和控制量試驗(yàn)曲線如圖9～11 所示。

可以看出，試驗(yàn)曲線與仿真結(jié)果基本吻合，圖9中QPSO 優(yōu)化下的傾角到達(dá)峰值較慢是因?yàn)閷?shí)際控制中要考慮到控制量指標(biāo)，而仿真時(shí)沒(méi)有這一限制，試驗(yàn)曲線存在波動(dòng)是因?yàn)閷?shí)際模型中存在的未建模動(dòng)態(tài)被激發(fā)所導(dǎo)致的。

圖9 傾角θ 試驗(yàn)曲線 Fig.9 Experimental curve of tilt angle θ

圖10 進(jìn)動(dòng)角α 試驗(yàn)曲線 Fig.10 Experimental curves of precession angle α

圖11 控制量試驗(yàn)曲線 Fig.11 Experimental curves of controlled variable

表2為三種方法對(duì)應(yīng)的具體控制性能指標(biāo)值。相 較于PSO 優(yōu)化和經(jīng)驗(yàn)法，QPSO 優(yōu)化下的傾角響應(yīng)峰值分別降低了17.07%和38.18%，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短了24.32%和56.64%，進(jìn)動(dòng)角響應(yīng)峰值分別降低了16.47%和36.61%，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短了18.03%和38.74%，最大控制量分別降低了10.78%和35.88%。

表2 陀螺平衡車(chē)控制性能指標(biāo)試驗(yàn)值 Tab.2 Test value of gyroscopic balancing vehicle control index

5 結(jié) 論

針對(duì)陀螺平衡車(chē)線性二次型調(diào)節(jié)器Q、R矩陣參數(shù)通常依靠經(jīng)驗(yàn)選取，需要耗費(fèi)較大時(shí)間精力且無(wú)法保證得到理想控制效果的問(wèn)題，本文將Q、R矩陣參數(shù)刻畫(huà)為具有量子行為的粒子位置坐標(biāo)，建立混合指標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)評(píng)價(jià)粒子優(yōu)劣，結(jié)合量子粒子群算法優(yōu)化流程進(jìn)行Simulink 仿真得到優(yōu)化參數(shù)，并在實(shí)物平臺(tái)上對(duì)優(yōu)化效果加以試驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明，量子粒子群優(yōu)化參數(shù)相較于粒子群優(yōu)化和經(jīng)驗(yàn)法參數(shù)使得系統(tǒng)控制性能明顯提升：傾角響應(yīng)峰值分別降低了17.07%和38.18%，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短了24.32%和56.64%；進(jìn)動(dòng)角響應(yīng)峰值分別降低了16.47%和36.61%，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短了18.03%和38.74%；最大控制量分別降低了10.78%和35.88%。