MIMO雷達(dá)二維低復(fù)雜度MUSIC測(cè)向算法

袁曉壘，王鵬飛，郭玉霞

(1.中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽(yáng) 471009；2.航空制導(dǎo)武器航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽(yáng) 471009)

0 引 言

多輸入多輸出雷達(dá)(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO),作為一種新體制雷達(dá)，近年來(lái)引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注和研究。與相控陣一發(fā)多收模式不同，MIMO雷達(dá)通過(guò)各天線單元發(fā)射彼此正交的信號(hào)波形，接收天線采用相應(yīng)的匹配濾波可將各發(fā)射陣元發(fā)射的疊加在一起的接收信號(hào)進(jìn)行有效分離，將發(fā)射陣列孔徑和接收陣列孔徑有效地綜合在一起，形成大的虛擬陣列孔徑，提高雷達(dá)系統(tǒng)的角度分辨力，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)方位進(jìn)行快速、高精度的估計(jì)，具有抗干擾、低截獲的能力。

MIMO雷達(dá)的空間目標(biāo)角度估計(jì)是國(guó)內(nèi)外眾多專家的研究熱點(diǎn)，提出了一系列高分辨估計(jì)算法，如最大似然估計(jì)方法[1-2]、ESPRIT算法[3-5]、Capon算法[6-7]、MUSIC算法[8-10]。這些算法分別針對(duì)不同的應(yīng)用場(chǎng)景，可獲得較好的角度估計(jì)性能，但這些算法往往是針對(duì)均勻線陣而提出的。為同時(shí)獲得目標(biāo)方位角和俯仰角的空間角度信息，彈載平臺(tái)一般采用二維平面陣列。雖然這些算法可以經(jīng)過(guò)一定的擴(kuò)展將其應(yīng)用在二維陣列上，但天線陣元個(gè)數(shù)的增多導(dǎo)致陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣維度有較大的提高，而高分辨估計(jì)算法往往需要對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解或求逆運(yùn)算，導(dǎo)致算法計(jì)算復(fù)雜度急劇提高。

單基地MIMO雷達(dá)收發(fā)天線共址特性導(dǎo)致其收發(fā)聯(lián)合導(dǎo)向矢量中出現(xiàn)若干相同元素，即存在一定的信息冗余，本文通過(guò)構(gòu)造交換矩陣和降維矩陣，對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理，可大大降低陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的維度，減少M(fèi)IMO雷達(dá)二維MUSIC算法的計(jì)算復(fù)雜度。

1 數(shù)據(jù)模型

構(gòu)建彈載平臺(tái)天線陣面及其空間坐標(biāo)系，如圖1所示。彈載平臺(tái)天線陣面是一個(gè)布置在OXYZ坐標(biāo)系中XOY平面的矩形陣，其示意圖如圖1(a)所示，天線陣元位于XOY平面上，其陣列中心位于坐標(biāo)軸原點(diǎn)。設(shè)輻射方向?yàn)閆軸的正方向(彈軸指向)，即前半球方向。彈載平臺(tái)天線陣面用的坐標(biāo)系空間角定義如圖1(b)所示，坐標(biāo)系用兩個(gè)角度值(方位角和俯仰角)來(lái)表示三維空間中的點(diǎn)，分別記為θ和φ。方位角θ定義為R點(diǎn)在XOY平面上投影線與X軸正方向之間的夾角，俯仰角φ定義為原點(diǎn)到R點(diǎn)的矢量OR與Z軸正方向之間的夾角。

圖1 二維面陣布陣及天線坐標(biāo)示意圖Fig.1 Diagrammatic sketch of 2-D array and antenna coordinate

圖1 (a)中，X軸方向的陣元間距記為dx，陣元個(gè)數(shù)為M；Y軸方向的陣元間距記為dy，陣元個(gè)數(shù)為N，則平面陣列的陣元總數(shù)為MN，陣列中第mn個(gè)陣元的位置坐標(biāo)記為

(1)

考慮單基地MIMO雷達(dá)收發(fā)陣列采用如圖1(a)所示的M×N平面矩形陣，陣元間距均為信號(hào)波長(zhǎng)的一半，即dx=dy=λ/2。發(fā)射陣列發(fā)射K個(gè)具有帶寬B和相同中心頻率f0的正交波形，第k個(gè)信號(hào)的俯仰角和方位角為(θk,φk)，則經(jīng)匹配濾波后陣列輸出第l個(gè)快拍時(shí)的信號(hào)x(l)∈C(MN)2×1為

x(l)=As(l)+v(l)l=1,2,…,L

(2)

(3)

假設(shè)at(θk,φk)和ar(θk,φk)在L個(gè)快拍內(nèi)保持不變，則陣列輸出信號(hào)的協(xié)方差矩陣R∈C(MN)2×(MN)2為

R=E{x(l)xH(l)}

(4)

在實(shí)際應(yīng)用中，不可能得到無(wú)窮多的數(shù)據(jù)快拍來(lái)充分估計(jì)協(xié)方差矩陣，常常用有限的數(shù)據(jù)樣本對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，表達(dá)式為

(5)

2 基本MIMO二維MUSIC算法

首先對(duì)協(xié)方差矩陣R進(jìn)行特征值分解：

(6)

式中：U∈C(MN)2×(MN)2為協(xié)方差矩陣的特征矢量；Λ=diag{λ1,…,λ(MN)2}∈C(MN)2×(MN)2為由協(xié)方差矩陣特征值λ1,…,λ(MN)2構(gòu)成的對(duì)角陣；Λs=diag{λ1,…,λK}∈CK×K為由前K個(gè)大特征值構(gòu)成的對(duì)角陣；Us為由前K個(gè)大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量構(gòu)成的信號(hào)子空間矩陣；Λv為由剩余的(MN)2-K個(gè)特征值構(gòu)成的對(duì)角陣；Uv為由剩余的(MN)2-K個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量構(gòu)成的噪聲子空間矩陣。

其次，構(gòu)造MUSIC空間譜函數(shù)為

(7)

分別在方位角搜索范圍θ∈[-180°,180°]和俯仰角搜索范圍φ∈[0°,90°]進(jìn)行譜峰搜索，將P(θ,φ)的最大峰值作為目標(biāo)的角度估計(jì)值。

由文獻(xiàn)[10]分析指出，上述基本MUSIC算法的計(jì)算復(fù)雜度為O((MN)4L+(MN)6+Q((MN)2((MN)2-K)+(MN)2-K))。其中，Q為角度搜索總次數(shù)，可看出其計(jì)算復(fù)雜度很高，不利于工程實(shí)時(shí)性實(shí)現(xiàn)。

3 低復(fù)雜度MIMO二維MUSIC算法

單基地雷達(dá)收發(fā)陣列采用相同的天線陣，造成了一些陣元自由度的冗余。通過(guò)構(gòu)造交換矩陣和降維矩陣得到一種低復(fù)雜度MIMO二維MUSIC算法。

根據(jù)陣列信號(hào)處理理論和矢量間Kronecker積特性[11]可知，兩個(gè)具有范德蒙德結(jié)構(gòu)的矢量之間進(jìn)行Kronecker積運(yùn)算會(huì)出現(xiàn)如下特性 (以三元素矢量為例)：

a=[1,exp(-jΩ),exp(-j2Ω)]T∈C3×1

(8)

由b∈C9×1的表達(dá)式可明顯發(fā)現(xiàn)，b中的元素只有5個(gè)是互不相同的(即1，exp(-jΩ)，exp(-j2Ω)，exp(-j3Ω)，exp(-j4Ω))，而其他4個(gè)元素(即exp(-jΩ)，exp(-j2Ω)，exp(-j2Ω)，exp(-j3Ω))分別是這5個(gè)元素其中之一，因此矢量a的Kronecker積b包含9個(gè)元素，但僅5個(gè)有效自由度，即有4個(gè)自由度冗余。

3.1 構(gòu)造交換矩陣

基于上述結(jié)論，觀察單基地MIMO雷達(dá)收發(fā)聯(lián)合導(dǎo)向矢量表達(dá)式，即

a(θk,φk)=at(θk,φk)?ar(θk,φk)=

aty(θk,φk)?atx(θk,φk)?ar(θk,φk)

(9)

可發(fā)現(xiàn)，若存在交換矩陣G∈R(MN)2×(MN)2，R為實(shí)數(shù)集，將X軸一維線陣導(dǎo)向矢量atx(θk,φk)與陣面接收導(dǎo)向矢量ar(θk,φk)進(jìn)行位置交換，即可得到如下表達(dá)式：

aG(θk,φk)=Ga(θk,φk)=aty(θk,φk)?ar(θk,φk)?atx(θk,φk)=(aty(θk,φk)?ary(θk,φk))?

(arx(θk,φk)?atx(θk,φk))

(10)

可將X軸一維線陣發(fā)射和接收導(dǎo)向矢量聯(lián)系在一起，Y軸一維線陣發(fā)射和接收導(dǎo)向矢量聯(lián)系在一起。由矩陣?yán)碚揫11]可計(jì)算得到交換矩陣G∈R(MN)2×(MN)2的表達(dá)式為

G=(IN?P)

(11)

其中:m=1,2,…,MN;n=1,2,…,M;矩陣P∈RM×M2N為行置換矩陣，滿足PPH=IM2N。經(jīng)過(guò)交換處理的陣列接收數(shù)據(jù)可表示為

xG(l)=Gx(l)=AGs(l)+vG(l)

(12)

式中：vG(l)=Gv(l)；AG=[aG(θ1,φ1),…,aG(θk,φk)]。

3.2 構(gòu)造降維矩陣

通過(guò)對(duì)式(8)分析可知，X軸一維線陣發(fā)射-接收聯(lián)合導(dǎo)向矢量arx(θk,φk)?atx(θk,φk)，Y軸一維線陣發(fā)射-接收聯(lián)合導(dǎo)向矢量aty(θk,φk)?ary(θk,φk)存在自由度冗余，可構(gòu)造降維矩陣對(duì)其進(jìn)行有效去除來(lái)降低陣列處理的自由度。

若存在降維矩陣H(N,N)∈RN2×(2N-1),H(M,M)∈RM2×(2M-1)，將交換處理后的聯(lián)合導(dǎo)向矢量aG(θk,φk)進(jìn)行降維處理，即可得到如下表達(dá)式：

aG(θ,φ)=(aty(θk,φk)?ary(θk,φk))?

(arx(θk,φk)?atx(θk,φk))=

H(N,N)?H(M,M)b(θk,φk)

(13)

式中:b(θ,φ)為降維后的發(fā)射-接收聯(lián)合導(dǎo)向矢量，其表達(dá)式為

b(θ,φ)=by(θ,φ)?bx(θ,φ)∈C((2N-1)(2M-1))×1

(14)

其中:by(θ,φ)∈C(2N-1)×1為降維處理后Y軸一維線陣發(fā)射-接收聯(lián)合導(dǎo)向矢量；bx(θ,φ)∈C(2M-1)×1為降維處理后X軸一維線陣發(fā)射-接收聯(lián)合導(dǎo)向矢量。

由文獻(xiàn)[11]中矩陣?yán)碚摽捎?jì)算得到降維矩陣H(N,N)∈RN2×(2N-1)的表達(dá)式為

(15)

式中:IN為維度為N×N的單位陣；0N×m為維度為N×m的全零矩陣。

由交換矩陣H(N,N)∈RN2×(2N-1),H(M,M)∈RM2×(2M-1)內(nèi)部元素特性及Kronecker積的性質(zhì)，可構(gòu)造如下的對(duì)角陣:

Z∈R((2N-1)(2M-1))×((2N-1)(2M-1))

Z=(HT(N,N)H(N,N))?

(HT(M,M)H(M,M))=

(HT(N,N)?HT(M,M))·

(H(N,N)?H(M,M))

(16)

同時(shí)，為了保證降維處理不會(huì)對(duì)噪聲能量進(jìn)行增強(qiáng)，特構(gòu)造歸一化降維矩陣:

QZ=Z-1/2·(HT(N,N)?HT(M,M))

(17)

對(duì)交換處理的陣列接收數(shù)據(jù)xG(l)進(jìn)行降維處理可得

y(l)=QZxG(l)=Z-1/2·(HT(N,N)?

HT(M,M))AGs(l)+QZvG(l)=

Z1/2Bs(l)+QZvG(l)

(18)

式中:B=[b(θ1,φ1),…,b(θk,φk)]；QZvG(l)為降維處理后的噪聲矢量，且其協(xié)方差表達(dá)式為

RZG=E{QZvG(l)(QZvG(l))H}=

(HT(N,N)?HT(M,M))HZ-1/2)=

(19)

降維后陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣Ry∈C((2M-1)(2N-1))×((2M-1)(2N-1))計(jì)算公式為

Ry=E{y(l)yH(l)}=

Z1/2BE{s(l)sH(l)}BHZ1/2+RZG=

(20)

顯然，通過(guò)行置換和降維處理，將原(MN)2×(MN)2維度的協(xié)方差矩陣R轉(zhuǎn)變?yōu)?(2M-1)(2N-1))×((2M-1)(2N-1))維度的協(xié)方差矩陣Ry，大大降低了計(jì)算復(fù)雜度。

對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解:

(21)

式中:Uy∈C((2M-1)(2N-1))×((2M-1)(2N-1))為協(xié)方差矩陣的特征矢量；Λy=diag{λ1,…,λ((2M-1)(2N-1))2}為由協(xié)方差矩陣特征值λ1,…,λ((2M-1)(2N-1))2構(gòu)成的對(duì)角陣；Λys=diag{λ1,…,λK}∈CK×K為由前K個(gè)大特征值構(gòu)成的對(duì)角陣;Uys為由前K個(gè)大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量構(gòu)成的信號(hào)子空間矩陣；Λyv為由剩余的((2M-1)(2N-1))2-K個(gè)特征值構(gòu)成的對(duì)角陣；Uyv為剩余特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量構(gòu)成的噪聲子空間矩陣。

其次，構(gòu)造MUSIC空間譜函數(shù)為

(22)

分別在方位角搜索范圍θ∈[-180°,180°]和俯仰角搜索范圍φ∈[0°,90°]上進(jìn)行譜峰搜索，將P(θ,φ)的最大峰值作為目標(biāo)的角度估計(jì)值。

在實(shí)際應(yīng)用中，不可能得到無(wú)窮多的數(shù)據(jù)快拍來(lái)充分估計(jì)協(xié)方差矩陣，常常用有限的數(shù)據(jù)樣本來(lái)對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，其表達(dá)式為

(23)

綜上所述，低復(fù)雜度MIMO二維MUSIC算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(1)構(gòu)造交換矩陣G，對(duì)接收數(shù)據(jù)x(l)進(jìn)行行置換，即xG(l)=Gx(l)；

(2)構(gòu)造歸一化降維矩陣QZ，對(duì)置換后接收數(shù)據(jù)xG(l)進(jìn)行降維變換，即y(l)=QZxG(l)；

(5)構(gòu)造MUSIC空間譜函數(shù)P(θ,φ)，進(jìn)行空間譜峰搜索來(lái)估計(jì)角度。

上述低復(fù)雜度MUSIC算法的計(jì)算復(fù)雜度為O(((2M-1)(2N-1))2L+((2M-1)(2N-1))3+

Q((2M-1)(2N-1)((2M-1)(2N-1)-K)+(2M-1)(2N-1)-K))。其中，Q為總共的角度搜索次數(shù)，相對(duì)傳統(tǒng)MUSIC算法，其計(jì)算復(fù)雜度已經(jīng)大大降低。

本文通過(guò)構(gòu)造交換矩陣和降維矩陣，將原發(fā)射-接收聯(lián)合導(dǎo)向矢量a(θk,φk)∈C(MN)2×1降維為新收發(fā)聯(lián)合導(dǎo)向矢量b(θ,φ)∈C((2N-1)(2M-1))×1，這種降維處理過(guò)程保留了a(θk,φk)中的有效信息，即(2N-1)(2M-1)個(gè)互不相同的元素，目標(biāo)角度信息就包含在這些元素中，摒棄了其他(MN)2-(2N-1)(2M-1)個(gè)冗余元素。該處理過(guò)程并未損失信息，不會(huì)造成性能損失。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

采用Monte Carlo實(shí)驗(yàn)來(lái)衡量算法的角度估計(jì)性能。定義求根均方誤差(Root Mean Square Error,RMSE)為

(24)

首先對(duì)比兩種MUSIC算法的計(jì)算復(fù)雜度，主要包括兩種算法運(yùn)行時(shí)間隨天線陣元數(shù)的變化，如圖2所示。計(jì)算機(jī)平臺(tái)配置：CPU-Intel(R)Core(TM)i7-3770，最高頻率3.39 GHz，物理內(nèi)存4 GHz，32位Windows XP Professional Service Pack3操作系統(tǒng)?？擅黠@看出，本文所提低復(fù)雜度MUSIC算法大大降低了計(jì)算復(fù)雜度，尤其當(dāng)陣元數(shù)較大時(shí)。

圖2 兩種算法不同陣元數(shù)下運(yùn)行時(shí)間對(duì)比Fig.2 Comparison of running time of two algorithms under different array elements

分別給定陣列接收數(shù)據(jù)快拍數(shù)和輸入SNR，對(duì)比基本MUSIC算法與所提算法的角度估計(jì)RMSE的變化如圖4所示。從圖4中可明顯看出，所提低復(fù)雜度MUSIC算法的角度估計(jì)性能與基本MUSIC算法的相近，甚至在低SNR和低快拍數(shù)情況下能獲得更低的RMSE。

圖3 所提算法得到的角度空間譜Fig.3 The angular space spectrum obtained by the proposed algorithm

圖4 兩種算法的角度估計(jì)性能RMSE對(duì)比Fig.4 Performance comparison of two algorithms for angle estimation

根據(jù)經(jīng)典陣列信號(hào)處理理論可知，陣列接收數(shù)據(jù)快拍數(shù)、信噪比對(duì)MUSIC算法性能的影響比較大，尤其當(dāng)快拍數(shù)較小、SNR較低時(shí)。若要使MUSIC算法性能損失較小，陣列接收數(shù)據(jù)快拍數(shù)需要大于協(xié)方差矩陣某一維度的2倍。顯然要實(shí)現(xiàn)相同的性能，所提降維算法需要的快拍數(shù)要小于基本MUSIC算法。當(dāng)陣列接收數(shù)據(jù)快拍數(shù)相同時(shí)，等效于所提算法的快拍數(shù)較多，因此所提降維算法的性能要略優(yōu)于基本MUSIC算法的性能。而當(dāng)陣列接收數(shù)據(jù)快拍數(shù)、SNR大到一定數(shù)值時(shí)，快拍數(shù)、SNR對(duì)算法性能的影響很小，因此快拍數(shù)較大、SNR較高時(shí)，所提降維算法的性能與基本MUSIC算法的性能幾乎相近。

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果充分說(shuō)明了所提算法的有效性，在降低計(jì)算復(fù)雜度的同時(shí)，又能獲得相同甚至更好的角度估計(jì)性能。

5 結(jié) 論

本文充分利用單基地MIMO雷達(dá)發(fā)射-接收聯(lián)合導(dǎo)向矢量間的特定結(jié)構(gòu)關(guān)系，通過(guò)構(gòu)造交換矩陣和降維矩陣，大大降低了協(xié)方差矩陣的維度，減少M(fèi)IMO雷達(dá)二維MUSIC算法的計(jì)算復(fù)雜度。通過(guò)仿真驗(yàn)證，所提算法不僅具有更低的計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)還具有和原MUSIC算法相近的角度估計(jì)性能，甚至在低SNR時(shí)能獲得更高的估計(jì)性能。