易卦與代數(shù)

丁光濤

(安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241003)

引 言

《易經(jīng)》是我國一部重要的古代典籍，其有一個抽象的符號體系：兩爻——四象——八卦——六十四卦，幾千年的傳承、闡發(fā)、研究和應(yīng)用，與這個符號體系相關(guān)聯(lián)，形成一個內(nèi)容龐大而又條理分明，要素簡單卻能包羅萬象的學(xué)術(shù)體系，用以說明自然、社會和人生，直到現(xiàn)代仍有眾多學(xué)者對其進到廣泛而深入的研討，其中包括與現(xiàn)代自然科學(xué)相關(guān)的研究[1-4]。歷史上，《易經(jīng)》研究與數(shù)學(xué)緊密相關(guān)，重要的研究領(lǐng)域之一是象數(shù)學(xué)說，近幾十年考古發(fā)現(xiàn)表明，易卦符號體系與數(shù)的關(guān)系源遠流長，早在商周時期就有由數(shù)字寫成的易卦，即數(shù)字卦的存在[5]。在20世紀(jì)的科學(xué)易研究的一個重要方面是將現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識與傳統(tǒng)易卦學(xué)說聯(lián)系起來，這種研究代表性的成果就是易卦體系可以與數(shù)學(xué)上的二進位制之間相聯(lián)系[6,7]。最近，我們討論了六十四卦的三種構(gòu)成方式，指出易卦體系也可以與四進位制、八進位制相對應(yīng)[8]。本文將從代數(shù)角度來研究易卦體系[9，10]，引入幾種不同的共軛運算和乘法，并將兩爻、四象和八卦與通常的實數(shù)、復(fù)數(shù)和四元數(shù)等數(shù)系的“基數(shù)”聯(lián)系比較，得到一個結(jié)論，即以四象和八卦為“基數(shù)”，可以構(gòu)成與復(fù)數(shù)、四元數(shù)并行但是又不同的數(shù)系。然后，將四象和八卦的代數(shù)運算推廣到六十四卦?，F(xiàn)代社會進入數(shù)字時代，算法起著越來越重要的作用，相當(dāng)數(shù)系的出現(xiàn)，會導(dǎo)致新的算法出現(xiàn)，這就是說，這種基于易卦的代數(shù)研究，可能對于數(shù)字社會和信息技術(shù)的發(fā)展具有相當(dāng)重要的意義。

2 兩爻四象八卦的共軛運算和乘法運算

2.1 爻和卦的共軛運算

前人在研究卦象時發(fā)現(xiàn)，這些卦“二二相耦，非覆即變”。所謂“覆”，即將卦象中全部爻位顛倒；所謂“變”，即將卦象中每個爻的陰陽互變。

基于這種觀念，我們引入八卦的三種“共軛”變換：(1)陰陽共軛變換，即將每爻的陰陽性質(zhì)互變；記以*，

這種八卦的“二二相耦，非覆即變”，同樣適合于四象，故對于四象也能夠引入上述三種共軛變換。

對八卦為

2.2 四象和八卦的直接乘法運算

在引入共軛變換后，進一步引入卦象的乘法運算。由四象，八卦的構(gòu)成可以確定，爻的乘法運算是基礎(chǔ)，爻的乘法規(guī)定為：

利用上述字母記法，可以將爻的乘法寫成

e·e=e，ē·ē=e，e·ē=ē·e=ē

在爻的乘法基礎(chǔ)上定義四象、八卦的乘法，最簡單的是直接乘法，其乘積由對應(yīng)爻位上爻的乘積決定，記為“?”，例如：

利用字母符號記法，上述直接乘法寫成

兩爻、四象和八卦的直接乘法規(guī)則可以用乘積表表示如下：

表1 兩爻直接乘積表

表2 四象直接乘積表

表3 八卦直接乘積表

引入直接乘積法后可見，四象(八卦)的陰陽共軛就是對應(yīng)的四象(八卦)與太陰(坤卦)的直接乘積。還容易驗證，四象和八卦的直接乘積滿足交換律和結(jié)合律，在直接乘法規(guī)則下，四象和八卦分別構(gòu)成兩個對易群，群中單位元分別是太陽a和乾卦E，每一個四象和八卦都是自身的逆元。

3 四象和八卦的其他乘法

在上述直接乘法基礎(chǔ)上，結(jié)合幾種共軛運算，可以引入其他幾種乘法。以八卦為例說明如下：

(1)陰陽共軛乘法，以⊙表示。兩個八卦的陰陽共軛乘積等于被乘八卦與相乘八卦的陰陽共軛的直積，容易驗證，兩個八卦的陰陽共軛乘積等于兩個相乘八卦的直積的陰陽共軛。如

對于這種乘法以后不擬詳細討論。

(2)轉(zhuǎn)置共軛乘法，以×表示。兩個八卦的轉(zhuǎn)置共軛乘積等于被乘的八卦與相乘八卦的轉(zhuǎn)置共軛的直積，如：

這種乘法一般不滿足交換律和結(jié)合律。

(3)復(fù)合共軛乘法，以?表示。兩個八卦的復(fù)合共軛乘積等于被乘的八卦與相乘八卦的復(fù)合共軛的直積，如

這種乘積也不滿足交換律與結(jié)合律。

下面比較詳細地討論四象和八卦的轉(zhuǎn)置共軛乘積，對應(yīng)的乘積表如下：(表中行元素為被乘之素)

表4 四象轉(zhuǎn)置共軛乘積表

將表2、表3與表4、表5比較，可以看出直接乘法與轉(zhuǎn)置共軛的乘法之間的區(qū)別。已經(jīng)指出直接乘法滿足交換律和結(jié)合律，在多個四象或八卦連續(xù)相乘時，這種性質(zhì)說明這些相乘的四象或八卦的順序是無關(guān)緊要的，但是，對于轉(zhuǎn)置共軛乘法，交換律與結(jié)合律

表5 八卦轉(zhuǎn)置共軛乘積表

不成立，這時多個連乘的四象或八卦的順序就至關(guān)緊要了，它們的改變會導(dǎo)致結(jié)果的不同的。在這種多個元素連乘時，才能表明為什么在定義轉(zhuǎn)置共軛乘法中，是取后面相乘的四象或八卦作轉(zhuǎn)置共軛后，再與前面被乘的四象或八卦作直接相乘，因為這樣規(guī)定才是合理的可行的。

4 基于四象八卦構(gòu)成的新數(shù)系

數(shù)學(xué)上實數(shù)、復(fù)數(shù)和四元數(shù)的“基數(shù)”及其相反數(shù)分別是：1和-1；l，i，-i，-l；l，i，j，k，-i，-j，-k，-l。這些“基數(shù)”的乘法表如下：

表6 實數(shù)系基數(shù)乘法表

表7 復(fù)數(shù)系基數(shù)乘法表

表8 四元數(shù)系基數(shù)乘法表

如果試圖把兩爻、四象、八卦與上述三種數(shù)系的基數(shù)作如下對應(yīng)：

那么將發(fā)現(xiàn)，只有表1與表6與上述對應(yīng)相符合，而表2和表3，或表4和表5，都與表7和表8不相符合，換句話說，可以認(rèn)為兩爻與實數(shù)的基數(shù)相對應(yīng)，但是不能把四象和八卦與復(fù)數(shù)和四元數(shù)的基數(shù)對應(yīng)起來。

5 將共軛與乘法運算推廣到六十四卦

5.1 六十四卦的共軛變換

六十四卦的陰陽共軛可以直接從八卦推廣，即每爻的陰陽性質(zhì)互變，仍然以*號標(biāo)記。

多種構(gòu)成六十四卦方式，導(dǎo)致定義六十四卦轉(zhuǎn)置共軛變換也存在多種可能。第一種最簡單直接，組成的六爻位序全部翻轉(zhuǎn)，這是四象、八卦轉(zhuǎn)置共軛的直接推廣；第二種是組成的三個四象，上下位互換，中位不動，但每個四象內(nèi)的爻位不轉(zhuǎn)置；第三種是上下經(jīng)卦互換，且每個經(jīng)卦(八卦)內(nèi)的爻卦不轉(zhuǎn)置，等等。顯然，這三種轉(zhuǎn)置共軛的結(jié)果有相同有不同。這里為了轉(zhuǎn)置共軛定義簡單明確，而且與四象、八卦的轉(zhuǎn)置共軛一致，約定六十四卦的轉(zhuǎn)置共軛采用第一種方式，以符號T標(biāo)記。

確定了轉(zhuǎn)置共軛定義后，六十四卦的復(fù)合共軛就是將陰陽共軛與轉(zhuǎn)置共軛組合起來，即組成六十四卦的六爻，全部陰陽互變，而且爻位全部翻轉(zhuǎn)，這種復(fù)合共軛仍然以符號+標(biāo)記。

5.2 六十四卦的直接乘法和轉(zhuǎn)置共軛乘法

六十四卦的乘法也只討論兩種；第一種是直接乘法，兩卦的直接乘積由六個對應(yīng)爻位上的兩爻直接乘積決定。例如，家人卦與既濟卦直積是夬卦，節(jié)卦與旅卦直積是坤卦：

第二種是轉(zhuǎn)置共軛乘法，由兩卦的乘積是被乘的六十四卦與相乘的六十四卦的轉(zhuǎn)置共軛的直接乘積決定，如家人卦與既濟卦的轉(zhuǎn)置共軛乘積為剝卦，節(jié)卦與旅館的轉(zhuǎn)置共軛乘積為頤卦：

顯然，只有第一種直接乘法是可交換可結(jié)合的，對這種乘法六十四卦構(gòu)成一個可交換群，單位元是乾卦，每一卦的逆元都是自身。

6 結(jié)論與討論

本文循著近世代教的觀念和方法，對傳統(tǒng)的易卦進行新的探討和闡釋：

(1)對四象和八卦引入三種共軛運算：陰陽共軛、轉(zhuǎn)置共軛和復(fù)合共軛。

(2)定義兩爻乘積，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合共軛運算，定義四象和八卦的乘法運算，重點討論了兩種：直接乘法和轉(zhuǎn)置共軛乘法。

(3)將兩爻、四象和八卦分別當(dāng)作某些數(shù)系的“基數(shù)”，發(fā)現(xiàn)與兩爻對應(yīng)的是實數(shù)系，但是，與四象和八卦對應(yīng)的數(shù)系，則分別與復(fù)數(shù)系和四元數(shù)系形似而實不同，但是，可以在四象和八卦作為基數(shù)的假設(shè)下，引入新的數(shù)系，這兩種新的數(shù)系可以看作實數(shù)系的推廣。

(4)將上述共軛運算和兩種乘法推廣到六十四卦。

以現(xiàn)代數(shù)學(xué)概念和方法來探討易卦，能夠啟迪新的數(shù)學(xué)思想，能夠產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)成果。例如，可以發(fā)展二進位制、四進位制、八進位制，這些進位制與傳統(tǒng)十進位制不同，但并行不悖，且在新的信息技術(shù)科學(xué)中獲得重要應(yīng)用。這種研究在當(dāng)代更有其必要，古代希臘畢達哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“一切皆數(shù)”，在后工業(yè)化社會，“一切皆信息”，信息表現(xiàn)為數(shù)據(jù)，故在一定程度上可以說，一切能夠表示為數(shù)據(jù)，算法的價值空前提高。如果能夠在數(shù)的基本領(lǐng)域研究上有所突破，觀念上有所創(chuàng)新，那么一定具有潛在的價值，故應(yīng)當(dāng)繼續(xù)研究基于四象和八卦上的新的數(shù)系和算法，探索引入的易卦代數(shù)在科技領(lǐng)域中可能的應(yīng)用。

此外，研究易卦結(jié)構(gòu)與排序問題時，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)六十四卦與遺傳因子之間的對應(yīng)[11-13]，還可以在六十四卦與輕子夸克之間建立對應(yīng)關(guān)系[13]，以及其它的眾多與自然科學(xué)技術(shù)相關(guān)的探索[14,15]，都顯示出傳統(tǒng)的易經(jīng)學(xué)說可能對現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)研究有啟發(fā)和促進作用，所以不論當(dāng)下的這些研究成果是多么不成熟，但這種借鑒中華傳統(tǒng)智慧，探索新的科學(xué)技術(shù)的努力，都應(yīng)當(dāng)繼續(xù)下去。