構(gòu)造輔助圓突破教學(xué)難點(diǎn)的實(shí)踐策略
——談數(shù)學(xué)專(zhuān)題課《構(gòu)造輔助圓》

孫 明

(江蘇省常州市新北區(qū)龍虎塘中學(xué) 213000)

一、教學(xué)背景

對(duì)于平面幾何問(wèn)題,學(xué)生常常想到的是構(gòu)造直線(xiàn)形輔助線(xiàn)來(lái)轉(zhuǎn)化條件,從而利用三角形、四邊形的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.但輔助線(xiàn)的添加就被局限在直線(xiàn)形,而實(shí)際上曲線(xiàn)形輔助線(xiàn)在一些特定條件下,更有利于條件的集中.輔助圓是曲線(xiàn)形輔助線(xiàn)的代表,利用圓就會(huì)讓圖形的條件更豐富，而學(xué)生對(duì)此又很少了解.基于學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓；直徑所對(duì)的圓周角是直角；同弧所對(duì)的圓周角相等.感悟動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所形成的軌跡，逐步培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想，探究解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的途徑的能力.之前聽(tīng)過(guò)某教師的《構(gòu)造輔助圓》專(zhuān)題課，教師運(yùn)用幾何畫(huà)板直接呈現(xiàn)輔助圓，少了學(xué)生發(fā)現(xiàn)輔助圓的過(guò)程，可想而知學(xué)生的收獲甚少.故本人想借此節(jié)課，和學(xué)生一起探究，通過(guò)多種探究方法的對(duì)比，來(lái)突破構(gòu)造輔助圓的難點(diǎn).

二、教學(xué)解析

例1(到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)模型)如圖1所示，在凸四邊形ABCD中，AB=BC=BD,∠ABC=80°，求∠ADC的度數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：新知識(shí)的形成都有其固定的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，找準(zhǔn)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，才能突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn).本題是根據(jù)圓的集合定義，學(xué)生能想到A、D、C三點(diǎn)到點(diǎn)B的距離相等，因此都在以B為圓心的圓上，構(gòu)造圓不困難.

例2如圖3,在矩形紙片ABCD中,AB=2,AD=3,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將△AEF沿EF所在直線(xiàn)翻折,得到△A′EF.(1)在折疊過(guò)程中，點(diǎn)A′所形成的軌跡是怎樣的？

(2)求A′C的長(zhǎng)的最小值.

難點(diǎn)突破分析：引導(dǎo)學(xué)生由舊入新，組織積極的遷移，促成由已知到未知的推理，認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單與復(fù)雜問(wèn)題的聯(lián)系，不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).此題對(duì)于尖子學(xué)生來(lái)說(shuō)很快找到圖中三段相等的線(xiàn)段EA=EA′=EB,根據(jù)例1構(gòu)造輔助圓.但對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，折疊問(wèn)題的情景不理解，在復(fù)雜問(wèn)題中不能簡(jiǎn)化背景.因此，我設(shè)計(jì)了第一小問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生再去畫(huà)出另一A′點(diǎn).發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生畫(huà)不對(duì)位置，原因是沒(méi)有分析出折疊過(guò)程中的不變量.所以讓學(xué)生再動(dòng)手去折一折，將得到的A′ 點(diǎn)描出來(lái)得到圖4后再一起分析變化與不變的量，得到圖5.A′C的最值顯然是E、A′、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，得到圖6.例1與例2要突出“共同點(diǎn)”，進(jìn)而突破重、難點(diǎn).

例3(定長(zhǎng)對(duì)直角模型)如圖7，△ABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=12，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠APC=90°，連接BP，線(xiàn)段BP長(zhǎng)的最小值為_(kāi)___．

難點(diǎn)突破分析：此題找不到到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的模型了，先讓學(xué)生用直角尺依據(jù)定長(zhǎng)為AC畫(huà)出不同的點(diǎn)P(圖8)后讓學(xué)生交流點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么.發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在以定長(zhǎng)AC為直徑的圓上，構(gòu)造圓(圖9)后求最短距離與例2一樣分析.例3與例2有知識(shí)的不同點(diǎn)也有知識(shí)的相同點(diǎn)，要讓學(xué)生歸納總結(jié).

例4(定長(zhǎng)對(duì)銳角模型)如圖10，四邊形ABCD中，∠BAC=∠BDC=50°，∠DBC=30°，求∠BAD的度數(shù).

難點(diǎn)突破分析：根據(jù)∠BAC=∠BDC這一條件發(fā)現(xiàn)有一定長(zhǎng)是BC，∠BAC=∠BDC=50°說(shuō)明BC不是直徑，與例3有類(lèi)似的地方也有不同的地方.說(shuō)明BC是同一條不是直徑的弦，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等的定理，構(gòu)造△ABC的外接圓(圖11)解決問(wèn)題.

三、教學(xué)反思

每節(jié)課我們都要圍繞一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，并進(jìn)行有效的挖掘與延伸，針對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況，對(duì)知識(shí)中難以理解接受的知識(shí)進(jìn)行有效的突破.衡量數(shù)學(xué)教學(xué)是否有效的基本標(biāo)準(zhǔn)之一，就是看教師在教學(xué)中能否突出重點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生實(shí)際，突破難點(diǎn).這節(jié)課的難點(diǎn)突破的方法是通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生去動(dòng)手折一折、畫(huà)一畫(huà)、想一想；同伴交流等形式去操作.本節(jié)課對(duì)于程度較好的學(xué)生，能夠掌握構(gòu)造輔助圓的基本方法，中等的學(xué)生能夠在幾何題中想到利用輔助圓，基礎(chǔ)薄弱學(xué)生也能夠想得起輔助圓，輔助線(xiàn)的構(gòu)造可以是直線(xiàn)形，也可以是曲線(xiàn)形.